Название: Обратное дискретное преобразование Лапласа
Вид работы: реферат
Рубрика: Коммуникации и связь
Размер файла: 52.51 Kb
Скачать файл: referat.me-168152.docx
Краткое описание работы: Решетчатая функция как результат временного квантования непрерывного сигнала. Ее определение по изображению при помощи формул обратного дискретного преобразования Лапласа, с помощью разложения на простые дроби, способом разложения в степенной ряд.
Обратное дискретное преобразование Лапласа
Предмет: Теория Автоматического Управления
Тема: Обратное дискретное преобразование Лапласа
1. Обратное дискретное преобразование Лапласа
Решетчатая функция – это результат временного квантования непрерывного сигнала – которая представляет значение непрерывного сигнала в дискретные моменты времени. Решетчатая функция получается перемножением непрерывной функции на сигма-функцию. Ее можно определить по ее изображению, используя различные способы:
1. С помощью формул обратного дискретного преобразования Лапласа.
2. С помощью разложения на простые дроби.
3. С помощью разложения в степенной ряд.
В данном реферате мы рассмотрим обратное дискретного преобразование Лапласа.
2. Определение оригинала с помощью формул обратного дискретного преобразования Лапласа
Для непрерывных оригиналов обратное преобразование Лапласа имеет вид:
(1)
Для нахождения формул обратного дискретного преобразования Лапласа установим связь между плоскостями p и z. Отображение плоскости P в плоскость Z осуществляется с помощью подстановки z = epT .
Так как p = c+jw, то z = epT = ecT e j w T , где ecT - модуль z, а wT- фаза z.
Если с = 0, то
.
Соответствие между плоскостями p и z отображено на рис. 3.
z = e pT
Рис. 1
Точки на мнимой оси дискретной плоскости будут повторяться, поэтому на плоскости можно выделить бесконечное множество полос с шириной wп (0.. wп , wп ..2wп и т. д.), которые дают одно и тоже изображение в плоскости Z. Корни в плоскости P являются периодическими, повторяющимися и заключены в любую из полос. Если С > 0, что соответствует правой полуплоскости, то амплитуда z > 1.
Интегрировать можно по частотам расположенным в любой из полос, считая ее как основную, а значения интеграла в других полосах просуммировать. Для удобства интегрирования в качестве основной полосы принимаем полосу частот от -wп /2 до wп /
При переходе в плоскость Z интегрирование осуществляется по замкнутому контуру.
Пример 7. Определить непрерывную функцию, если ее дискретное изображение определяется соотношением
Решение: Определяем значения полюсов z1 = 1, их количество n = 1 и
кратность m = 1. Используя формулу обратного дискретного преобразования, определяем оригинал
Т. е. заданному изображению соответствует единичная функция.
Пример 8. Определить непрерывную функцию, если дискретное изображение имеет вид
Решение: Определяем значения полюсов z1 = 1, их количество n = 1 и
кратность m =
Определяем оригинал, используя формулу обратного дискретного преобразования
Пример 9. Определить непрерывную функцию, если дискретное изображение имеет вид
Решение: Определяем значения полюсов z1 = 1, их количество n = 1 и кратность m = Используя формулу обратного дискретного преобразования, определяем оригинал
Пример 10. Определить непрерывную функцию, если ее дискретное изображение равно
Решение: Определяем значения полюсов z1 = d, их количество n = 1 и
кратность m = 1. Используя формулу обратного дискретного преобразования, определяем оригинал
Пример 11. Определить непрерывную функцию, если ее дискретное изображение равно
Решение: Определяем значения полюсов z1 = 1, z2 = d, их количество
n = 2 и кратность m = 1. Используя формулу обратного дискретного преобразования, определяем оригинал
Пример 1 Определить непрерывную функцию, если ее дискретное изображение равно
Решение: Определяем значения полюсов z1 = d их количество n = 1 и кратность m = 1. Используя формулу обратного дискретного преобразования, определяем оригинал
3. Определение оригинала с помощью разложения на простые дроби
Дискретное изображение можно разложить на простые дроби и, используя табличные значения изображений для каждой составляющей, входящей в разложение, найти оригиналы.
Пример 13. Определить непрерывную функцию, если ее дискретное изображение определяется соотношением
Решение: Представим x(z) в виде простых дробей
Значения параметров A и B находим методом неопределенных коэффициентов
Определение оригинала с помощью разложения дискретного изображения в степенной ряд
Для выхода импульсного элемента можно записать соотношение
Таким образом, формула прямого дискретного преобразования может быть использована для получения оригинала по изображению, так как x[nT] в формуле прямого дискретного преобразования представляет значения непрерывного сигнала в дискретные моменты времени.
Любая x(z) представляет отношение степенных полиномов.
(5)
Если это отношение разложить в ряд по степеням z, то коэффициенты при z представляют собой значения оригинала. Дробно – рациональную функцию можно разложить в ряд путем деления числителя на знаменатель или представить в виде суммы простых дробей.
Пример 14. Определить непрерывную функцию, если ее дискретное изображение определяется соотношением
Решение: Выполняем почленное деление полиномов
z z-d
-z+d 1+dz-1 +d2 z-2 +…+dn z-n
d
-d+d2 z-1
d2 z-1
-d2 z-1 +d3 z-2
d3 z-2
По полученным значениям x[nT] строим график функции приведенный на рис. 2.
Пример 15. Определить непрерывную функцию, если ее дискретное изображение равно
Решение:
Выполняем почленное деление полиномов
z+1 z2
+z+1
-z-1-z-1 z-1 -z-3 +z-4 -z-6 +z-7
-z-1
-z-1 -z-2 -z-3
z-2 + z-3
-z-2 -z-3 -z-4
-z-4
-z-4 -z-5 -z-6
z-5 +z-6
Рис. 3
По полученным значениям x[nT] строим график функции приведенный на рис. 3.
Для определения решетчатой функции по ее дискретному изображению можно использовать любой из рассмотренных методов. Выбор метода зависит от формы представления изображения.
4. Основные теоремы дискретного преобразования Лапласа
1. Теорема линейности. Изображение линейной комбинации решетчатых функций соответствует линейной комбинации их изображений
(6)
т.е. изображение суммы равно сумме изображений
.
Теорема запаздывания и упреждения (смещения аргументов). Смещение оригинала на ±k соответствует умножению изображения на z± k
(7)
3. Теорема свертывания в вещественной области (умножения изображений)
Для непрерывных систем
(8)
Для дискретных систем
(9)
4. Дуальная теорема. Теорема свертывания в комплексной области (умножения оригиналов)
(10)
5. Теорема о начальном значении функции
(11)
6. Теорема о конечном значении функции
(12)
7. Преобразование смешанного изображения в дискретное
(13)
8. Теорема разложения
Если где , то
(14)
Список литературы
1. Кожевников Н.И., Краснощекова Т.И., Шишкин Н.Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1964
2. Краснов М.Л., Макаренко Г.И. Операционное исчисление. Устойчивость движения.- М., Наука, 1964.-103 с.
3. Микусинский Я. Операторное исчисление.-М., ИЛ, 1956
4. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — Спб: Питер, 2006. — С. 751.
5. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие для вузов. - М.: Радио и связь, 1990.- 256 с.
Похожие работы
-
Системы с прерывистым входным сигналом. Математическое описание дискретных систем
Использование импульсного сигнала в качестве носителя информации (сканирование диаграммы направленности или переключение процесса слежения с одного объекта на другой и т.д.). Функциональные схемы следящих систем при наличии прерываний входного сигнала.
-
Расчёт полупроводникового выпрямител
Задача № 13 «РАСЧЕТ ПОЛУПРОВОДНИКОВОГО ВЫПРЯМИТЕЛЯ» Для питания электронного термометра от однофазной сети частотой f= 50 Гц используется однополупериодный выпрямитель, преобразующий переменное напряжение (АС) - в постоянное (DС). Он состоит (рис. 13, а) из понижающего трансформатора Т; полупроводникового диода VD; Г -образного сглаживающего RС-фильтра.
-
Частотные характеристики дискретных систем управления
Предмет: Теория Автоматического Управления Тема: Частотные характеристики дискретных систем управления 1. Частотное представление дискретного сигнала
-
Преобразование сигналов и помех радиотехническими цепями
Отклик на выходе резонансного усилителя и детектора радиотехнического звена при воздействии радиоимпульса. Спектральная плотность радиоимпульса на входе и выходе резонансного усилителя. Плотность мощности и корреляционная функция шума усилителя.
-
Виды передаточной характеристики
Передаточные функции системы радиоавтоматики в замкнутом и разомкнутом состоянии и определение ее устойчивости по критерию Гурвица. Определение перерегулирования в системе и динамической ошибки при входном воздействии. Значение выходного сигнала системы.
-
Исследование частотно-временных характеристик и структурных преобразований систем радиоавтоматики
Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет Кафедра Радиотехники Расчетно-графическое задание №1
-
Анализ сигналов и их прохождения через электрические цепи
Министерство образования РФ Государственное образовательное учреждение «Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого» Кафедра «Радиофизика и электроника»
-
Характеристика дискретных систем автоматического управления
Дискретные системы автоматического управления как системы, содержащие элементы, которые преобразуют непрерывный сигнал в дискретный. Импульсный элемент (ИЭ), его математическое описание. Цифровая система автоматического управления, методы ее расчета.
-
Расчет переходных процессов в дискретных системах управления
Соотношение между входным и выходным сигналом дискретной системы автоматического управления. Дискретное преобразование единичного воздействия, функция веса дискретной системы. Определение связи между переходной и функцией веса дискретной системы.
-
Использование дифференциальных уравнений, передаточных и частотных передаточных функций
Использование дифференциальных уравнений, передаточных функций, переходной и весовой функций, частотных передаточных функций. Устойчивые и неустойчивые системы. Комплексный коэффициент передачи. Обратное преобразование. Гармоническое входное воздействие.