Название: Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона
Вид работы: доклад
Рубрика: Промышленность и производство
Размер файла: 37.15 Kb
Скачать файл: referat.me-304780.docx
Краткое описание работы: Метод Ньютона-Рафсона, также известный как Метод Ньютона, представляет собой обобщенный метод поиска корня уравнения Примем x = x в качестве j-го приближения к корню уравнения (1). Предположим, что x
Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона
Метод Ньютона-Рафсона, также известный как Метод Ньютона, представляет собой обобщенный метод поиска корня уравнения
|
(1) |
Примем x = xj
в качестве j-го приближения к корню уравнения (1). Предположим, что xj
не является решением. Следовательно, . Предположим также, что мы получили разложение в ряд Тейлора для уравнения (1) относительно точки x = xj
:
|
(2) |
Если примем в качестве следующего члена x = xj+1 , то уравнение (2) будет иметь вид:
|
(3) |
Теперь предположим, что справедливо необязательное допущение того, что предыдущее приближение xj было удовлетворительным, так что xj+1 - xj мало. Если это предположение верно, мы можем пренебречь членами более высокого порядка в уравнении (3), так как n-я степень малой величины значительно меньше, чем малая величина для n>=2. В этом случае уравнение (3) может быть аппроксимировано следующим образом:
|
(4) |
Нашей целью является выбор такого xj+1
, чтобы оно стало решением уравнения (1). Следовательно, если наше предыдущее предположение справедливо, xj+1
должно быть выбрано таким, что. Приравняв уравнение (4) к нулю и решив относительно xj+1
, получим:
|
(5) |
Уравнение (5) называется уравнением Ньютона - Рафсона. Если наше предположение, приведшее к выводу уравнения (5), справедливо, этот алгоритм будет сходящимся, но только в том случае, если точка начального приближения достаточно близка к точке решения. Геометрическая интерпретация сходящегося метода Ньютона - Рафсона приведена на рис. 1а.
|
|
а) метод сходится |
б) метод не сходится |
Рис.1. Геометрическая интерпретация метода Ньютона - Рафсона
Однако, если точка начального приближения далека от точки решения, то метод Ньютона - Рафсона может не сходиться совсем. Геометрическая интерпретация не сходящегося метода Ньютона - Рафсона приведена на рис. 1б.
Алгоритм
Назначение: поиск решения уравнения (1)
Вход:
Начальное приближение x0
Точность (число итераций I)
Выход:
xI - решение уравнения (1)
Инициализация:
calculate f’(x0 )
Шаги:
1. repeat:
2. calculate xi using (5)
3. let i=i+1
4. if i>I then break the cycle
end of repeat
Модификация алгоритма Ньютона для решения системы нескольких уравнений заключается в линеаризации соответствующих функций многих переменных, т. е. аппроксимации их линейной зависимостью с помощью частных производных. Например, для нулевой итерации в случае системы двух уравнений:
Чтобы отыскать точку, соответствующую каждой новой итерации, требуется приравнять оба равенства нулю, т.е. решить на каждом шаге полученную систему линейных уравнений.
Похожие работы
-
Расчет сложной электрической цепи постоянного тока
ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный университет путей сообщения» Кафедра: «Электротехника, электроника и электромеханика» РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
-
Программный комплекс расчета и моделирования катушки управления электромагнита постоянного тока
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
-
Научная революция XVI-XVII вв и становление первой научной картины мира
Научная революция XVI-XVII вв. и становление первой научной картины мира Рассмотрим какие вклады внесли в становление науки выдающиеся представители Нового времени. Речь едет о мощном движении –научной революции, которое обретает в XVII в. характерные черты в работах Галилей, идеях Бекона и Декарта и которое впоследствии получит свое завершение в классическом ньютоновском образе Вселенной, подобной часовому механизму.
-
Выбор оптимального места строительства очистного сооружения
Санкт-Петербургский Государственный Технологический Институт (Технический Университет Кафедра математического моделирования и оптимизации химико-технологических процессов
-
Конвективный теплообмен 2
Оглавление Введение Закон Ньютона – Рихмана. Краткие сведения из теории подобия. Критериальные уравнения конвективного теплообмена. Расчетные формулы конвективного теплообмена.
-
Оптимальная система автоматического управления
Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Московский Государственный Открытый Университет» Чебоксарский политехнический институт Кафедра: Управление и информатика в технических системах
-
Задачи по Теоретической менханике
Вариант №10 Задание №1 Определить реакции опор горизонтальной балки от заданной нагрузки Дано: Решение: Рассмотрим равновесие балки (рис. 1). К балке приложена уравновешенная система сил, состоящая из активных сил и сил реакции.
-
Проектирование системы автоматического управления
Содержание. 1.Анализ системы.................................................................................................4 1.1 Исследование устойчивости...................................................................4
-
Многомерные задачи оптимизации
Содержание: Содержание: 2 1. Основные понятия 3 1.1 Визначення. 3 1.2 Задачі оптимізації. 4 2.1 Задачи па экстремум. 5 2.3 Метод золотого сечения. 8 2.4 Метод Ньютона. 9
-
Расчет колонны выделения фракции 120-128
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет) Кафедра технологии Факультет химической технологии нефтехимических и органических веществ и