Логический вывод на основе нечеткой метаимпликации

О.А. Мелихова

В работе подробно рассмотрена суть логического вывода на основе нечеткой метаимпликации, с помощью примеров показана максиминная свертка нечетких отношений, используемая в моделях принятия решений и при распознавании нечетких образов.

При выполнении нечетких выводов используются нечеткие соответствия R, заданные между одной проблемной областью (множество X) и другой областью (множество Y) в виде нечеткого подмножества прямого произведения , определяемого по формуле [7,13]:

, (1.1)

где – область отправления, – область прибытия, – функция принадлежности нечеткому соответствию R, а знак означает совокупность (объединение) множеств.

Если существует правило типа “если A, то B”, использующее нечеткие множества A и B , то один из способов построения нечеткого соответствия R состоит в следующем:

или

, (1.2)

где – функции принадлежности элементов x, y соответственно множествам A и B.

Пример 1. Пусть X и Y- области натуральных чисел от 1 до 4. Определим следующим образом нечеткие множества: A= “маленькие”, B= “большие”.

X=Y={1,2,3,4}, т.е. для примера взят частный случай соответствия- отношение на множестве {1,2,3,4}:

.

Для примера “если x маленькое, то y большое” (или , где знак означает операцию нечеткой метаимпликации) можно построить нечеткое отношение R следующим образом:

В качестве элементов матрицы R записаны значения , вычисленные по формуле (1.2).

Для свертки нечетких отношений чаще выбирается свертка max-­min (максиминная композиция). Пусть R – нечеткое соответствие множества X и множества Y, а S – нечеткое соответствие множества Y и множества V. Тогда нечеткое соответствие между X и V определяется как свертка (композиция) , где

или

. (1.3)

Пример 2. Пусть и заданы нечеткие множества A = “не маленькие”, H = “очень большие”, где

.

Тогда для правила “если y не маленькое, то v очень большое” (или ), в соответствии с формулой (1.2) нечеткое соответствие S определяется как

Если теперь по формуле (1.3) вычислить свертку max-min с нечетким отношением R, полученным в примере 1.1, то из двух отношений:

если x маленькое, то y большое,

если y не маленькое, то v очень большое

можно построить нечеткое отношение из X в V.

y1		y2	y3		y4		v1	v2		v3	v4
x1		0		0,1	0,6		1		y1		0	0		0	0
=	x2		0		0,1	0,6		0,6			y2		0	0		0,4	0,4	=
x3		0		0,1	0,1		0,1		y3		0	0		0,5	0,9
x4		0		0	0		0		y4		0	0		0,5	1
v1			v2		v3			v4
x1		0			0		0,5			1
=		x2		0			0		0,5			0,6
x3		0			0		0,1			0,1
x4		0			0		0			0

Модель принятия решений на основе композиционного правила вывода описывает связь всех возможных состояний сложной системы с управляющими решениями. Формально модель задается в виде тройки (X,R,Y), где – базовые множества, на которых заданы, соответственно, входы и выходы системы, R – нечеткое соответствие “вход-выход”. Соответствие R строится на основе словесной качественной информации специалиста (эксперта), путем непосредственной формализации его нечетких стратегий. Эксперт описывает особенности принятия решений при функционировании сложной системы в виде ряда высказываний типа “если , то , иначе, если , то , иначе, ..., если , то ”. Здесь , ,..., – нечеткие подмножества, определенные на базовом множестве X, а , ,..., – нечеткие подмножества из базового множества Y. Все эти нечеткие подмножества задаются функциями принадлежности и .

Способ построения нечеткого отношения связывает высказывания эксперта по правилу “если , то ” и определяется функцией принадлежности , получаемой по формуле (1.2). Связка “иначе” между правилами понимается как или-связка, поскольку общее нечеткое отношение состоит из: правило 1, или правило 2 , или, ..., или правило N. Поэтому общее отношение R формально определяется следующим образом:

, где i=1,..., N. (1.4)

Если предположить, что мы имеем нечеткое событие , т.е. входную ситуацию, представленную нечетким подмножеством, и известно общее отношение R, тогда результирующее действие выводится по композиционному правилу вывода: . Значение функции принадлежности для вычисляется посредством максиминной операции, определяемой уравнением

. (1.5)

Рассмотренный логический вывод на основе нечеткой обобщенной метаимпликации хорошо зарекомендовал себя при использовании в экспертных системах, а также при принятии решений в реальном масштабе времени в задачах управления и контроля.

Список литературы

Заде Л.А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений. /М.: Математика сегодня, 1974, с.5-49.

Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. Пер. с франц. М.: Радио и связь, 1990, 288с.