Referat.me

Название: Лобачевский 2

Вид работы: реферат

Рубрика: Математика

Размер файла: 19.34 Kb

Скачать файл: referat.me-216433.docx

Краткое описание работы: Лобачевский по существу берет за отправной пункт все то, что Евклид доказал без помощи 5-го постулата. Все эти предположения являются общими как для геометрии Евклида, так и для геометрии Лобачевского.

Лобачевский 2

Лобачевский по существу берет за отправной пункт все то, что Евклид доказал без помощи 5-го постулата. Все эти предположения являются общими как для геометрии Евклида, так и для геометрии Лобачевского.

Таким образом, все предложения абсолютной геометрии сохраняют свою силу и в геометрии Лобачевского. Абсолютная геометрия естьобщая часть и общий фундамент евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского.

В первом случае мы получим геометрию Евклида, во втором случае –

Геометрию Лобачевского. Отсюда ясно, что все сходное в геометриях Евклида и Лобачевского имеет свои основания в абсолютной Геометрии, а все то, что различно в них, коренится в различии аксиом параллельности.

Укажем ряд важнейших планиметрических теорем, относящихся к абсолютной геометрии.

1.1. Каждый отрезок и каждый угол можно единственным образом разделить пополам.

1.2. Через каждую точку можно провести единственный перпендикуляр к данной прямой.

1.3. Сумма двух смежных углов равна 2d.

1.4. Все прямые углы равны между собой.

1.5. Вертикальные углы равны.

1.6. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой, углы при основании равны.

1.7. Перпендикуляр короче наклонной. Известные теоремы о сравнении перпендикуляров, наклонных и их проекций.

1.8. Внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного.

1.9. Во всяком треугольнике не может быть более одного прямого или тупого угла.

1.10. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно.

1.11. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

1.12. Сумма двух сторон треугольника больше третьей.

1.13. Три признака равенства треугольников.

1.14. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, или внутренние накркст лежащие углы равны, или сумма внутренних односторонних углов равна 2d, то данные прямые не пересекаются.

1.15. Два перпендикуляра к третьей прямой не пересекаются.

1.16. Через точку, лежащую вне прямой, в плоскости, ими определяемой, проходит по крайней мере одна прямая, не пересекающая данной.

1.17. Сумма углов треугольника не более 2d(11-я теорема Лежандра).

1.18. Если в плоскости две точки лежат по разные стороны прямой, то отрезок, их соединяющий, пересекает данную прямую.

1.19. Если луч проходит через вершину треугольника внутрь его, то он пересекает противоположную сторону треугольника.

1.20. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, лежащей внутри треугольника.

1.21. В треугольник можно вписать единственную окружность.

1.22. Прямая пересекает окружность не более чем в двух точках.

1.23. Равные дуги окружности стягиваются равными хордами, и обратно.

1.24. Если выбрать единичный отрезок, то всякому отрезку можно поставить в соответствие единственное положительное число, называемое длинной отрезка, и, обратно, каждому положительному числу можно поставить в соответствие некоторый отрезок, длина которого выражается этим числом.

1.25. Если все внутренние лучи, выходящие из вершины угла АОВ, а так же сторона АО и ОВ разбить на два класса так, что 1) каждый луч принадлежит одному и только одному из этих классов, луч АО принадлежит первому классу, а луч ОВ – ко второму, 2) каждый луч первого класса лежит между ОА и любым лучом второго класса, то существует один и только один луч l, пограничный между лучами обоих классов, причем сам луч l принадлежит либо первому, либо второму классу.

1.26. Если выбрать некоторый угол в качестве единицы измерения, то каждому углу можно поставить соответствие единственное число, называемое мерой или величиной угла.

Исходным пунктом геометрии Лобачевского является принятие всех предложений геометрии Евклида, не зависящихот 5-го постулата (т.е. абсолютной геометрии, включая аксиомы Паша, Архимеда, Дедекинда), и присоединение к ним взамен отброшенного 5-го постулата следующая аксиома, противоположный аксиоме Плейфера, а значит, и 5-му постулату.

Через точку, лежащую вне прямой плоскости, определяемой ими, можно провести не менее 2-х прямых, не пересекающих данной прямой .

Эта аксиома утверждает существование, по крайней мере 2-х таких прямых. Отсюда следует, что таких прямых существует бесконечное множество.


Очевидно, что все прямые, проходящие через точку М внутри вертикальных углов a и b, образованных прямыми b и c также не пересекают а , а таких прямых бесконечное множество.

Плоскость (или пространство), в которой предполагается выполнение аксиомы Лобачевского, называется плоскостью (или пространством) Лобачевского.

Перейдём непосредственно к параллельным Лобачевского.


Две граничные прямые СС’ и DD’ называются параллельными прямой ВВ’ в точке А, причём прямая С’С называется параллельной В’В в направлении В’В, а прямая D’D называется параллельной прямой ВВ’ в направление ВВ’. Острый угол a , образуемый параллельными с перпендикуляром АР, называется углом параллельности в точке А относительно прямой BB’. Этот угол, есть функция длины р перпендикуляра АР и обозначается так: a=П (р). АР называются отрезком параллельности в точке А относительно прямой BB’.

Все прямые пучка не пересекающие BB’ и лежащие внутри заштрихованных вертикальных углов, называются расходящимися с BB’ или сверх параллельными к BB’; угол, образуемый такой прямой с перпендикуляром АР с обеих от него сторон, больше угла параллельности a .

Наконец , все остальные прямые пучка, образующие с АР с какой-либо стороны острый угол, меньше угла параллельности a , называются пересекающими прямую BB’ или сходящимися с BB’ .

Необходимо обратить внимание , что геометрия Лобачевского при указание, то прямая СС’ параллельно прямой BB’, является совершенно обязательным также указывать, во-первых, в каком направление CC’ параллельно BB’, во-вторых, в какой точке , ибо у нас пока нет уверенности в том , что если мы на прямой CC’ возьмём какую-нибудь точку М , отличную от А , то и по отношению к пучку прямых с центра в точке М прямая СС’ будет граничной прямой.

Определение. Прямая С’C называется параллельной прямой в направление B’B в точке А, если , во-первых, прямая С’C не пересекает прямой BB’, во-вторых , C’C является граничной в пучке прямых с центром в точке А, т. е. всякий луч АЕ, проходящий внутри угла CAD, где D-любая точка прямой BB’, пересекает луч DB.


Условимся в целях краткости и удобства обозначать параллельность прямой АА’ к BB’в направление B’B символом AA’êêB’B, где порядок букв указывает направление параллельности. На чертеже направление параллельности указывается стрелками.

Т еорема1. Если прямая ВВ’êêАА' в точке М, то ВВ'êêАА' в любой своей точке N.


Теорема 2 . Если ВВ'êêАА', то и обратно: АА'êêВВ'.

Теорема 3 . Если АА'êêСС' и ВВ'êêСС', то АА'êêВВ'.

Теорема 4 . Если прямая CC’ лежит между двумя прямыми АА’ и BB’, параллельными в некотором направление, не пересекая их, то CC’параллельна обеим этим прямым в том же направлении.

Теорема 5 . Если две прямые при пересечении с третьей образуют равные соответственные углы, или внутренние односторонние углы, в сумме составляющие 2d, то эти прямые расходятся.

Задача 902 .(С борник задач - Атанасян, ч . 2) Пусть (U1V1) êê(U2V2). Доказать, что если прямая (UV) лежит между (U1V1) и (U2V2) и не пересекает одну из них, то она параллельна данным.


Действительно, отрезок U1U2, соединяющий любые точки U1 и U2 параллельных прямых U2V2 и U1V1, пересечет UV в некоторой точке U, ибо UV по условию лежит между U2V2 и U1V1 (теорема 1.18).

В силу параллельности U2V2 и U1V1 любой луч U2E , проходящий внутри угла V2U2U1, пересечёт U1V1, а значит, и UV. Следовательно, U2V2 êêUV. Пользуясь теоремами 2 и 3 , легко убедиться, что U1V1êêUV.

Интересно отметить, что в геометрии Лобачевского прямая может пересечь две параллельные, не пересекая третьей. Действительно, например, любая прямая EF, расходящаяся с АА’, пересекает СС’и BB’, не пересекая АА’.

Похожие работы

  • Евклидова и неевклидова геометрия

    Постулаты Евклида. Кант об априорных понятиях. Неевклидовая геометрия. Развитие евклидовой геометрии.

  • Евклид

    Реферат по математике ученицы 7 «Б» класса ВЮ лицея Берестовской Дарьи Евклид Евклид – древнегреческий математик (III века до н.э.) работал в Александрии и написал несколько трудов, которые стали основой для образования и использовались около 2200 лет.

  • Выдающиеся личности в математике

    МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Уральский Государственный Университет Факультет искусствоведения и культурологии. Учебно-консультационный пункт «Светоч».

  • Великий математик России Николай Иванович Лобачевский

    ВЕЛИКИЙ МАТЕМАТИК РОССИИ Николай Иванович Лобачевский. (1792 - 1856) Ярославль 1999год. 14 февраля 1805 года на торжественном собрании совета Казанской гимназии было объявлено об открытии в городе университета. Ни профессоров, ни помещения, ни студентов еще не было, но устав, был принят. На первых порах университет существовал при гимназии и управлялся ее советом.

  • Аксиоматический метод в геометрии

    Аксиоматический метод появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретических науках, прежде всего в математике.

  • Евклид и Лобачевский

    (план урока по теме:”Евклидова и неевклидова геометрия”) Имя Евклида навсегда связано с одним из ответвле­ний математики, получившим название „евклидова геометрия". Столь прочная слава закрепилась за Евклидом заслуженно, благодаря его труду ..Начала". В шко­лах всего мира, долгие столетия геометрия преподава­лась по ..Началам" Евклида.

  • История развития геометрии

    История развития геометрии Выполнил ученик 9 класса «А» Сироткин Илья Древний Египет - Древний Египет считается первым государством, оставившим самые ранние математические тексты. Древние греки, достижения которых лежат в основе современной науки, считали себя учениками египтян. Геродот писал: «Египетские жрецы говорили, что царь разделил землю между всеми египтянами, дав каждому по равному прямоугольному участку; из этого он создал себе доходы, приказав ежегодно вносить налог.

  • Геометрия Лобачевского

    Так называемый пятый постулат Евклида вызвал особые нарекания математиков. Именно эта аксиома, как показала историческое развитие науки, содержала в себе зародыш другой, неевклидовой геометрии.

  • Геометрия

    Геометрия — важный раздел математики. Ее возникновение уходит в глубь тысячелетий и связано прежде всего с развитием ремесел, культуры, искусств, с трудовой деятельностью человека и наблюдением окружающего мира.

  • Значение решения проблемы V постулата Евклида

    Анализ проявлений недоказуемости пятого постулата Евклида. Общая характеристика и обоснование основных идей неевклидовской геометрии в работах Д. Саккери, И.Г. Ламберта, Я. Бояи, Ф. Швейкарта, Ф.А. Тауринуса, К.Ф. Гаусса, Н.И. Лобачевского, Я. Больяйя.