Referat.me

Название: Центральная предельная теорема и ее доказательство через ряды Тейлора

Вид работы: реферат

Рубрика: Математика

Размер файла: 83.38 Kb

Скачать файл: referat.me-218014.docx

Краткое описание работы: Прежде чем приступить к рассмотрению центральной предельной теоремы, я считаю нужным сказать о слабой сходимости. Пусть задана последовательность случайных величин (далее с. в.)

Центральная предельная теорема и ее доказательство через ряды Тейлора

Прежде чем приступить к рассмотрению центральной предельной теоремы, я считаю нужным сказать о слабой сходимости.

Пусть задана последовательность случайных величин (далее с. в.) , задано некоторое распределение с функцией распределения и — произвольная с. в., имеющая распределение .

Определение.

Говорят, что последовательность с. в. при сходится слабо или по распределению к с. в. и пишут: , или , или ,
если для любого такого, что функция распределения непрерывна в точке , имеет место сходимость при .

Иначе говоря, слабая сходимость — это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

Свойство 1.

Если , и функция распределения непрерывна в точках и , то

и т.д. (продолжить ряд).

Наоборот, если во всех точках и непрерывности функции распределения имеет место, например, сходимость , то .

Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями.

Свойство 2.

1. Если , то .

2. Если , то .

Свойство 3.

1. Если и , то .

2. Если и , то .

Несколько содержательных примеров слабой сходимости я рассмотрю ниже. Но основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное и универсальное средство для асимптотического анализа распределений сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин предоставляет нам центральная предельная теорема.

Я буду называть следующее утверждение «ЦПТ Ляпунова» (А. М. Ляпунов: 1901), но сформулирую и докажу теорему Ляпунова только в частном случае, т.е. для последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин.

Центральная предельная теорема.

Пусть — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией: . Обозначим через сумму первых случайных величин: .

Тогда последовательность случайных величин слабо сходится к стандартному нормальному распределению.

Доказательство.

Пусть — последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через математическое ожидание и через — дисперсию . Требуется доказать, что

Введем стандартизированные случайные величины — независимые с.в. с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Пусть есть их сумма . Требуется доказать, что

Характеристическая функция величины равна

Характеристическую функцию с.в. можно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные моменты , . Получим

Подставим это разложение, взятое в точке , в равенство и устремим к бесконечности. Еще раз воспользуемся замечательным пределом:

В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального закона. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой сходимости :

распределений стандартизованных сумм к стандартному нормальному распределению, что и утверждается в ЦПТ.

Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что функция распределения любого нормального закона непрерывна всюду на , утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:

Следствие.

Пусть — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и равносильны утверждению ЦПТ.

· Для любых вещественных при имеет место сходимость

· Для любых вещественных при имеет место сходимость

· Для любых вещественных при имеет место сходимость

· Если — произвольная с. в. со стандартным нормальным распределением, то

Следствием из ЦПТ является предельная теорема Муавра-Лапласа.

Предельная теорема Муавра — Лапласа.

Пусть — событие, которое может произойти в любом из независимых испытаний с одной и той же вероятностью . Пусть — число осуществлений события в испытаниях. Тогда .

Иначе говоря, для любых вещественных при имеет место сходимость

Доказательство.

По-прежнему есть сумма независимых, одинаково распределенных с. в., имеющих распределение Бернулли с параметром, равным вероятности успеха :

Осталось воспользоваться ЦПТ.

Ниже я рассмотрю примеры использования ЦПТ.

Пример 1 .

З а д а ч а. Монета подбрасывается 10000 раз. Оценить вероятность того, что частота выпадения герба отличается от вероятности более чем на одну сотую.

Р е ш е н и е. Требуется найти , где , — число выпадений герба, а — независимые с. в., имеющие одно и то же распределение Бернулли с параметром 1/2. Домножим обе части неравенства под знаком вероятности на и поделим на корень из дисперсии одного слагаемого.

Согласно ЦПТ или предельной теореме Муавра — Лапласа, последовательность

слабо сходится к стандартному нормальному распределению. Рассмотрим произвольную с. в. , имеющую распределение .

Пример 2.

Прекрасным примером ЦПТ в экономике может служить ее использование в страховом деле. В большинстве случаев конкретный вид распределения потерь (размеров отдельных требований о выплате страховых сумм) не играет существенной роли, поскольку сумма исков, предъявляемых страховщику (величина суммарного иска), обычно зависит только от средней величины и дисперсии убытка. Дело в том, что если количество страховых случаев значительно превышает единицу, то в силу центральной предельной теоремы распределение суммарного иска является нормальным распределением. Обозначив его дисперсию как DZ , а математическое ожидание (среднее значение суммарного иска) как < Z> = < N>< Q>

- где <N>, <Q> - среднее значение числа страховых случаев и величины страховой выплаты, получаем следующее выражение для рисковой надбавки Тr :

Т r = [( Т 0 * a )/(< N > * < Q >)] * (< N > * D Q + < Q >2 * D N ) 0.5

- где DQ и DN -дисперсии величины страховой выплаты и количества страховых случаев.

В простейшем случае, когда все выплаты одинаковы (а, следовательно, их дисперсия равна нулю), имеем:

Т r = ( Т 0 * a )/ N 0.5

Эта формула также дает неплохое приближение, если коэффициент вариации уровня страховых выплат значительно меньше единицы.

При включении в страховой полис нескольких независимых рисков ожидаемая величина страховых выплат в соответствии с теоремой о сложении вероятностей представляет собой сумму ожидаемых страховых выплат по каждому риску в отдельности, а рисковая надбавка вычисляется как среднеквадратичная величина всех рисковых надбавок.

Похожие работы

  • Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием

    Гипотеза (Ибрагимов-Иосифеску).

  • Предельные теоремы. Характеристические функции

    Теория вероятностей и закономерности массовых случайных явлений. Неравенство и теорема Чебышева. Числовые характеристики случайной величины. Плотность распределения и преобразование Фурье. Характеристическая функция гауссовской случайной величины.

  • Распределение Гаусса. Центральная предельная теорема теории вероятностей. Распределения Пирсона и Стьюдента

    Впервые нормальный закон был обнаружен в 19 веке в применении к теории ошибок измерения Лапласом и Гаусcом.

  • Высшая математика

    Основные теоремы и определения.

  • Повторные ряды

    План работы Введение……………………………...………………….…… 5 §1 Повторные ряды ……………….......................................... 6 §2. Сходимость повторных рядов …………………………... 7

  • Теория вероятности 3

    Вероятность (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события. Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента. Согласно определению П. Лапласа мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель - число всех возможных случаев.

  • Числовые ряды

    ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые ряды Содержание Лекция. Числовые ряды 1. Определение числового ряда. Сходимость 2. Основные свойства числовых рядов 3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости

  • Степенные ряды

    Определение степенного ряда. Теорема Абеля как определение структуры области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора, Маклорена для функций. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.

  • Измеримые функции

    Определение и простейшие свойства измеримой функции. Дальнейшие свойства измеримых функций. Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере. Структура измеримых функций. теоремы о приближении измеримых функций.

  • Законы больших чисел

    Теорема Бернулли как простейшая форма закона больших чисел. Предельные теоремы теории вероятностей и объяснение природы устойчивости частоты появлений события. Качественные и количественные утверждения закона больших чисел, его практическое применение.