Название: Число пи четверками
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 14.08 Kb
Скачать файл: referat.me-218451.docx
Краткое описание работы: Известна задача четырех четверок, в которой предлагается, записав четыре -ки и какие угодно обычные математические символы в любых количествах получить как можно более точное приближение числа .
Число пи четверками
Джон Конуэй, Майкл Гай
Разрешены символы и
, обычные обозначения для корней
и
, степени, факториалы и десятичные обозначения
и
. Само число
, логарифмические и тригонометрические функции можно не использовать. Факториалы используются только для натуральных чисел, иначе
. Мы также не разрешаем использовать таких монстров, как
.
Например,
очень хорошее приближение , и ясно, что его можно модифицировать так, чтобы оно было настолько точным, насколько мы этого хотим. Более того, его можно улучшить так, чтобы использовались только три четверки, поскольку
при
.
Мы можем вывести похожие “точные’’ формулы для различных чисел, нам интересных. Так, , так что можно получить последовательность приближений
и
(например,
или
). В нашем лучшем результате такого вида для
используется семь четверок, и он выведен из формулы
.
Также можно записать с помощью семи четверок, но мы еще не можем найти формулу такого вида для константы Эйлера
.
Сейчас мы покажем, что все это не является необходимым. Действительно, справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Любое вещественное число может быть сколь угодно точно приближено, используя четыре -ки и обычные действия.
Доказательство. Из формулы
следует, что для достаточно больших
,
поскольку предел этого выражения при равен
и
. Пусть теперь
натуральное число, и
,
и
положительны, так что мы можем записать выражение, приведенное выше, как
где индексы у корня обозначают количество повторений квадратного корня. Извлекая квадратный корень раз, получаем
.
Теперь мы можем взять в виде
, так что будут выполняться все указанные выше условия, и выражение между знаками меньше будет содержать только четыре
-ки. Так как числа
для целых
и натуральных
плотны в множестве положительных вещественных чисел, то теорема доказана. Для отрицательных чисел нужно просто добавить знак “минус’’.
Теорема 2. Если разрешить использование знака целой части, то любое целое число представимо с помощью четырех четверок, а любое вещественное число — с помощью пяти.
Доказательство. Первая часть теоремы очевидна, а вторая становится следствием первой, если заметить, что любое рациональное число равно
для подходящих целых значений
и
.
Теоремы 1 и 2 могут быть доказаны для любых натуральных чисел, не только для четверок. Есть единственное ограничение, что единицами могут быть не более трех из этих чисел.
Остаются вопросы:
1. Существует ли “точная’’ формула для с менее, чем семью четверками?
2. Существует ли какая-либо точная формула для ?
3. Являются ли числа плотными на множестве
?
Похожие работы
-
Контрольная по теории вероятности
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ Факультет заочного и послевузовского обучения КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
-
Математическая модель распределения информации
Математическая модель распределения информации Математическая модель системы распределения информации включает следующие три основных элемента: входящий поток вызовов (требований на обслуживание), схему системы распределения информации, дисциплину обслуживания потока вызовов.
-
Полиномы Чебышева
Преобразование коэффициентов полиномов Чебышева. Функции, применяемые в численном анализе. Интерполяция многочленами, метод аппроксимации - сплайн-аппроксимация, ее отличия от полиномиальной аппроксимации Лагранжем и Ньютоном. Метод наименьших квадратов.
-
Решение одного нелинейного уравнения
Методы решения одного нелинейного уравнения: половинного деления, простой итерации, Ньютона, секущих. Код программы решения перечисленных методов на языке программирования Microsoft Visual C++ 6.0. Применение методов к конкретной задаче и анализ решений.
-
Простейшие элементы радиосхем
Резисторы, конденсаторы и диоды.
-
Группы симметрий квадрата и куба
Хорошо знакомая школьнику фигура квадрат имеет четыре оси симметрии и центр симметрии. Это означает, что существует пять движений плоскости: четыре осевые симметрии и одна центральная, при которых квадрат отображается на себя.
-
Вычисление корней нелинейного уравнения
Министерство образования Российской федерации Южно-Уральский Государственный Университет Аэрокосмический факультет Кафедра летательных аппаратов
-
Решение нелинейных уравнений
Графическое решение нелинейного уравнения. Уточнение значение одного из действительных решений уравнения методами половинного деления, Ньютона–Рафсона, секущих, простой итерации, хорд и касательных, конечно-разностным и комбинированным методом Ньютона.
-
Математический анализ
Интерполяция многочленами. Методы интерполяции Лагранжа и Ньютона. Сплайн-аппроксимация. Метод наименьших квадратов.
-
Новое о гравитационном константе G
Важнейшая константа физики и астрофизики. Составная сущность константа G. Пятнадцать эквивалентных формул для вычисления константа G.