Referat.me

Название: Сложение колебаний

Вид работы: реферат

Рубрика: Наука и техника

Размер файла: 63.01 Kb

Скачать файл: referat.me-253933.docx

Краткое описание работы: Векторная диаграмма. Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях.

Сложение колебаний

Реферат

На тему «Сложение колебаний»

Студента I –го курса гр. 107

Шлыковича Сергея

Минск 2001

Векторная диаграмма

Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени.

Сло­жение нескольких гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты становится нагляд­ным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой .

Возьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x . Из взятой на оси точки О отложим вектор длины A, образующий с осью угол б. Если привести этот вектор во вращение с угло­вой скоростью щ0 , то проекция конца вектора будет перемещать­ся по оси x в пределах от —А до +A , причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону

Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с ам­плитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с на­чальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.

Таким образом, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого рав­на амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний.

Рассмотрим сложение двух гармонических коле­баний одного направления и одинаковой частоты. Результирующее колебаниебудет суммой колеба­ний х1 и x2 , которые определяются функциями

, (1)

Представим оба колебания с помощью векторов A1 и А2 . Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А . На рисунке вид­но, что проекция этого вектора на ось x равна сум­ме проекций складываемых векторов:

Поэтому, вектор A представляет собой резуль­тирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью щ0 , как и векторы А1 и А2 , так что сумма x1 и х2 является гармоническим колебанием с частотой (щ0 , амплитудой A и начальной фа­зой б. Используя теорему косинусов получаем, что

(2)

Также, из рисунка видно, что

(3)

Представление гармонических колебаний с помощью векторов позволяет заменить сложение функций сложением векторов, что значительно проще.

Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях.

Представим две взаимно перпен­дикулярные векторные величины x и y , изменяющие­ся со временем с одинаковой частотой щ по гармони­ческому закону, то

(1)

Где ex и eу орты координатных осей x и y, А и B — амплитуды колебаний. Величинами x и у может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия.

В случае колеблющейся частицы величины

, (2)

определяют координаты частицы на плоскости xy. Частица будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от раз­ности фаз обоих колебаний. Выражения (2) пред­ставляют собой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории. Чтобы получить уравне­ние траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (2) параметр t. Из первого уравне­ния следует, что

(3) Соответственно (4)

Развернем косинус во втором из уравнений (2) по формуле для косинуса суммы:

Подставим вместо cos щ t и sinщt их значения (3) и (4):

Преобразуем это уравнение

(5)

Это уравнение эллипса, оси которого по­вернуты относительно координатных осей х и у. Ори­ентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз б.

Попробуем найти форму траектории для нескольких частных случаев.

1. Разность фаз б равна нулю. В этом случае уравнение (5) упрощается следующим образом:

Отсюда получается уравнение прямой:

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой щ и ам­плитудой, равной (рис. 1 а).

2. Разность фаз б равна ±р. Из уравнение (5)имеет вид

Следовательно, результирующее движение представ­ляет собой гармоническое колебание вдоль прямой

(рис. 1 б)

Рис.1

3. При уравнение (5) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям:

Полуоси эллипса равны соответствующим амплиту­дам колебаний. При равенстве амплитуд А и В эллипс превращается в окружность.

Случаи и отличаются на­правлением движения по эллипсу или окружности.

Следовательно, равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью щ может быть представлено как сумма двух взаимно перпен­дикулярных колебаний:

,

(знак плюс в выражении для у соответствует движе­нию против часовой стрелки, знак минус — движе­нию по часовой стрелке).

Если частоты взаимно перпендикулярных колеба­ний не одинаковы, то траектории результирующего движения имеют вид сложных кривых, на­зываемых фигурами Лиссажу.


Фигура Лиссажу для

отношения ча­стот 1:2 и

разности фаз р/2

Фигура Лиссажу для отношения частот 3:4 и разности фаз р/2

Похожие работы

  • Куда поставить сабвуфер?

    Кое-что о дифракции в домашней акустике.

  • Применение ультразвука

    Способность ультразвука разрывать оболочки клеток нашла применение в биологических исследованиях, например, при необходимости отделить клетку от ферментов.

  • Эфирная среда и универсум

    В основе научных представлений об окружающем нас мире лежат понятия о пространстве, времени и материи. Одна из теорий об устройстве универсума, – специальная теория относительности (СТО) постулирует принцип единства категорий пространства и времени.

  • Программа вступительных экзаменов по физике в 2004г. (МГУ)

    При подготовке к экзамену основное внимание следует уделить выявлению сущности физических законов и явлений, умению истолковывать физический смысл величин и понятий, а также умению применять теоретический материал к решению задач.

  • О вращении электрона

    Не найдя способа устранить возникшие противоречия между экспериментом и теорией в рамках классической физики, ученые в начале двадцатого века пришли к выводу о неприменимости ее законов к описанию физических свойств микромира.

  • Лазерная нанотехнология

    Все компьютерные микропроцессоры изготавливаются на кремниевой подложке методом фотолитографии: свет, проходя через шаблон с рисунком схемы, формирует негатив этого рисунка на пластине, закладывая сплетение межсоединений.

  • Исследование согласованного фильтра

    Основные теоретические положения, согласованный фильтр для М-сигналов, лабораторная установка.

  • Развитие взглядов на теорию света

    Эволюция представлений о природе света.

  • Разработка и исследование методов уменьшения влияния зоны захвата при работе лазерного гироскопа

    В сочетании с акселерометрами лазерные гироскопы (ЛГ) нашли широкое применение в бесплатформенных инерциальных навигационных системах (БИНС), позволяющих с высокой точностью определять углы ориентации подвижного объекта.

  • Счетчики

    Это устройства предназначенные для подсчета числа сигналов, поступающих на его вход и фиксация этого числа в виде кода хранящегося в триггерах.