Referat.me

Название: Экспоненциальный рост

Вид работы: доклад

Рубрика: Наука и техника

Размер файла: 16.08 Kb

Скачать файл: referat.me-254487.docx

Краткое описание работы: Выражение «экспоненциальный рост» вошло в наш лексикон для обозначения быстрого, как правило безудержного увеличения. Оно часто используется, например, при описании стремительного роста числа городов или увеличения численности населения.

Экспоненциальный рост

Если прирост численности популяции пропорционален количеству особей, численность популяции будет расти экспоненциально.

Выражение «экспоненциальный рост» вошло в наш лексикон для обозначения быстрого, как правило безудержного увеличения. Оно часто используется, например, при описании стремительного роста числа городов или увеличения численности населения. Однако в математике этот термин имеет точный смысл и обозначает определенный вид роста.

Экспоненциальный рост имеет место в тех популяциях, в которых прирост численности (число рождений минус число смертей) пропорционален числу особей популяции. Для популяции человека, например, коэффициент рождаемости примерно пропорционален количеству репродуктивных пар, а коэффициент смертности примерно пропорционален количеству людей в популяции (обозначим его N). Тогда, в разумном приближении,

прирост населения = число рождений — число смертей

= rN

(Здесь r — так называемый коэффициент пропорциональности, который позволяет нам записать выражение пропорциональности в виде уравнения.)

Пусть dN — число особей, добавившихся к популяции за время dt, тогда если в популяции в общей сложности N особей, то условия для экспоненциального роста будут удовлетворены, если

dN = rN dt

После того как в XVII веке Исаак Ньютон изобрел дифференциальное исчисление, мы знаем, как решать это уравнение для N — численности популяции в любое заданное время. (Для справки: такое уравнение называется дифференциальным.) Вот его решение:

N = N0 ert

где N0 — число особей в популяции на начало отсчета, а t — время, прошедшее с этого момента. Символ е обозначает такое специальное число, оно называется основание натурального логарифма (и приблизительно равно 2,7), и вся правая часть уравнения называется экспоненциальная функция.

Чтобы лучше понять, что такое экспоненциальный рост, представьте себе популяцию, состоящую изначально из одной бактерии. Через определенное время (через несколько часов или минут) бактерия делится надвое, тем самым удваивая размер популяции. Через следующий промежуток времени каждая из этих двух бактерий снова разделится надвое, и размер популяции вновь удвоится — теперь будет уже четыре бактерии. После десяти таких удвоений будет уже более тысячи бактерий, после двадцати — более миллиона, и так далее. Если с каждым делением популяция будет удваиваться, ее рост будет продолжаться до бесконечности.

Существует легенда (скорее всего, не соответствующая действительности), будто бы человек, который изобрел шахматы, доставил этим такое удовольствие своему султану, что тот пообещал исполнить любую его просьбу. Человек попросил, чтобы султан положил на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую — два, на третью — четыре и так далее. Султан, посчитав это требование ничтожным по сравнению с оказанной им услугой, попросил своего поданного придумать другую просьбу, но тот отказался. Естественно, к 64-му удвоению число зерен стало таким, что во всем мире не нашлось бы нужного количества пшеницы, чтобы удовлетворить эту просьбу. В той версии легенды, которая известна мне, султан в этот момент приказал отрубить голову изобретателю. Мораль, как я говорю моим студентам, такова: иногда не следует быть чересчур умным!

Пример с шахматной доской (как и с воображаемыми бактериями) показывает нам, что никакая популяция не может расти вечно. Рано или поздно она попросту исчерпает ресурсы — пространство, энергию, воду, что угодно. Поэтому популяции могут расти по экспоненциальному закону лишь некоторое время, и рано или поздно их рост должен замедлиться. Для этого нужно изменить уравнение так, чтобы при приближении численности популяции к максимально возможной (которая может поддерживаться внешней средой) скорость роста замедлялась. Назовем эту максимальную численность популяции K. Тогда видоизмененное уравнение будет выглядеть так:

dN = rN(1 — (N/K)) dt

Когда N намного меньше K, членом N/K можно пренебречь, и мы возвращаемся к первоначальному уравнению обычного экспоненциального роста. Однако когда N приближается к своему максимальному значению K, значение 1 — (N/K) стремится к нулю, соответственно стремится к нулю и прирост численности популяции. Общая численность популяции в этом случае стабилизируется и остается на уровне K. Кривая, описываемая этим уравнением, а также само уравнение, имеют несколько названий — S-кривая, логистическое уравнение, уравнение Вольтерра, уравнение Лотка—Вольтерра. (Вито Вольтерра (1860–1940) — выдающийся итальянский математик и преподаватель; Альфред Лотка (1880–1949) — американский математик и страховой аналитик.) Как бы она ни называлась, это — достаточно простое выражение численности популяции, резко возрастающей экспоненциально, а затем замедляющейся при приближении к некоему пределу. И она гораздо лучше отражает рост численности реальных популяций, чем обычная экспоненциальная функция.

Похожие работы

  • Эволюция закона увеличения энтропии

    Больцман связал увеличение энтропии с увеличением вероятности осуществления данного макроскопического состояния системы. Энтропия увеличивается потому, что, имея выбор, система, как правило, переходит в более вероятное состояние.

  • История человечества

    Человек, как всякий представитель биологического вида, на эволюционной арене всегда выступает в рамках некоторой общности, позволяющей бороться с жизненными трудностями.

  • Синхронный генератор

    Тесла построил синхронный генератор, в котором имелись три независимые катушки, расположенные пси углом 60° друг к другу. Такой генератор давал трехфазную систему токов, но требовал для передачи энергии шесть проводов.

  • Оборотная сторона фундаментальной физической константы - скорости света

    При распространении света в пространстве скорость луча не зависит ни от скорости движения источника, испускающего свет, ни от скорости приемника, регистрирующего световой сигнал.

  • Термодинамическое и статистическое описание классических равновесных ансамблей

    Основания молекулярно-кинетической теории. Распределение Максвелла. Молекулярно-кинетическая теория и “первое начало термодинамики”.

  • Проблема движения

    Классификация форм движения. Производная и интеграл. Векторные и скалярные величины.

  • Социальная динамика науки

    Наука производит не только знания, но и (вос)производит ученых и среду их обитания - научное сообщество. Мифологизированный образ ученого-творца есть часть механизма редупликации ученых в "малой" науке.

  • Агробиотехнологии: альтернатива минеральным удобрениям и пестицидам

    Описаны биопрепараты на основе бактерий и низших грибов, образующих симбиоз с корневой системой растений, предназначенные для защиты растений от болезней, улучшения их минерального питания и стимуляции роста.

  • Последний кризис науки

    Современный человек не видит проблем, не способен планировать и прогнозировать, не умеет находить решения в нестандартных ситуациях, не умеет получать информацию из текста, не умеет задавать вопросы, не умеет понимать…

  • Увеличение массы или сопротивления эфира?

    Хорошо известно, что триумф теории Эйнштейна зиждется на нескольких фундаментальных опытах: отклонение луча света Солнцем, рост массы частиц в ускорителях при достижении скоростей, близких к скорости света.