Referat.me

Название: Ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена

Вид работы: реферат

Рубрика: Астрономия

Размер файла: 204.6 Kb

Скачать файл: referat.me-4714.docx

Краткое описание работы: Реферат на тему: Ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена. Нові інформаційні технології в освіті неможливі без нової інформації в конкретних навчальних дисциплінах. В останні роки невпинно зростає кількість прихильників виховання ймовірнісного світогляду школярів і студентів, що вивчають математичні дисципліни.

Ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена

Реферат

на тему:

Ймовірнісний зміст

нерівності Йєнсена.


Нові інформаційні технології в освіті неможливі без нової інформації в конкретних навчальних дисциплінах. В останні роки невпинно зростає кількість прихильників виховання ймовірнісного світогляду школярів і студентів, що вивчають математичні дисципліни. При цьому дуже важливу роль відіграють приклади проникнення ймовірнісних ідей, методів і результатів у неймовірнісні розділи математики. Про один з таких прикладів йде мова у цій роботі.

Нерівністю Йєнсена в математиці називають нерівність:

, (1)

де - опукла на проміжку функція, а - довільні числа з цього проміжку, при цьому нерівність перетворюється в рівність у випадках, коли і коли - лінійна функція. Якщо функція угнута в , то нерівність Йєнсена записують так:

, (2)

де - середнє арифметичне чисел ; - середнє арифметичне чисел . В загальному вигляді нерівність Йєнсена містить замість середніх арифметичних середні зважені. Тобто

, (3)
, (4)
де і (5)

Треба підкреслити, що нерівність Йєнсена має багато важливих застосувань [1-5]. Зауважимо, що в дискретній формі нерівність була встановлена О.Гельдером (Hölder, 1889), а інтегральна нерівність – Й.Йєнсеном (Jensen, 1906).

Інтегральну нерівність для угнутої функції записують так:

, (6)
де на і . (7)

Нагадаємо, що функція називається опуклою (угнутою) в , якщо

, (8)
(9)

для довільних , ; при цьому рівність у співвідношеннях досягається у випадках, коли і коли - лінійна функція.

Треба зауважити, що є різні способи доведення (обґрунтування) нерівності Йєнсена. Так, в [1, 2] використовується метод Коші; доведення в [3] спирається на фізичне поняття центра мас системи матеріальних точок; в [4] нерівність Йєнсена отримана з формули Тейлора за умови, що функція має в другу похідну; в [5] запропоновано доведення нерівності Йєнсена при умові, що опукла (угнута) в функція диференційована в цьому проміжку.

Цікаво встановити ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена. Зрозуміло, що ми маємо справу з випадковими величинами вже в означеннях для опуклої (8) та угнутої (9) функцій. Фактор випадковості обумовлений довільністю вибору точок , на проміжку . Таким чином, можна вважати , що - випадкова величина, - функція випадкового аргумента. При цьому для вибірки без повторень з об'ємом дискретний розподіл має вигляд:

(10)

З точки зору теорії ймовірностей в означеннях (8) і (9) порівнюються математичне сподівання (вибіркове середнє) функції і значення функції від математичного сподівання аргумента (рис.1).

Рис.1. До означення опуклої (а) та угнутої (б) функцій.

Для опуклої функції будь-яка точка дуги розташована вище відповідної точки хорди , для угнутої функції – навпаки. Якщо функція лінійна, то математичне сподівання функції співпадає з функцією математичного сподівання випадкового аргумента, а точка відповідає середині відрізка . Таким чином, рівність у співвідношеннях (8) і (9) досягається у двох випадках: коли і коли - лінійна функція. У роботі [5] другий випадок лишився поза увагою автора. Будь-яка нелінійність порушує пропорційну залежність між і . Так, для опуклої функції збільшується множина значень, які перевищують , для угнутої функції – навпаки. Це вагомий аргумент на користь кусково-лінійної інтерполяції функцій. З точки зору фізики це означає, що для опуклої дуги центр ваги матеріальних точок і завжди лежить під дугою. Ця властивість центра ваги двох матеріальних точок виконується для будь-якого числа матеріальних точок, що лежать на опуклій кривій . В цьому випадку крива апроксимується сукупністю прямолінійних відрізків, і ми одержуємо шукане узагальнення.

Дискретний розподіл для вибірки без повторень з об'ємом має вигляд:

...
...
...

Математичне сподівання аргументу визначається так:

Математичне сподівання функції

.

Зрозуміло, що в цьому випадку краще скористатися процедурою групування вибірки і, спираючись на попередній результат, довести нерівність Йєнсена для опуклої (1) та угнутої (2) функцій.

Перейдемо до вибірки з повтореннями. Нехай значення аргументу повторюється разів, а - разів, - об'єм вибірки. Дискретний розподіл має вигляд:

Тут і - відносні частоти повторень значень і .

Нерівність Йєнсена в цьому випадку має вигляд:

для опуклої функції , (11)

для угнутої функції ,

де і .

(12)

Рівність в (11) і (12) досягається коли , а також коли - лінійна функція, причому другий випадок є найбільш змістовним. Якщо , нерівність Йєнсена виконується за означенням опуклої (8) і угнутої (9) функції. Цікаво з'ясувати, що зміниться у ймовірнісній схемі доведення нерівності Йєнсена, якщо . В лівих частинах нерівностей (11) і (12) під знаком стоїть математичне сподівання випадкового аргумента:

,

в правих частинах маємо математичне сподівання функції випадкового аргумента:

.

Порівнюючи математичне сподівання функції випадкового аргумента і значення функції від математичного сподівання аргумента, неважко встановити, що (11) і (12) – це узагальнені означення опуклої і угнутої функції відповідно (рис.2).

Рис.2. Узагальнення означення опуклої (а) та угнутої (б) функцій .

Цей випадок відрізняється від симетричного лише тим, що точка не співпадає із серединою відрізка , тому що математичне сподівання аргумента визначається не арифметичним середнім, а зваженим середнім, де , - вагові коефіцієнти. При цьому зберігається пропорція у приростах аргументу і лінійної на функції:

.

Будь-яка нелінійність порушує пропорцію у приростах функції. Математичному сподіванню аргумента тепер відповідає значення функції , і якщо функція опукла, то , а для угнутої – навпаки . З фізичної точки зору розглянутий випадок означає, що маси матеріальних точок і неоднакові. Така дискретизація застосовується при визначенні координат центра ваги неоднорідного стержня. Тепер, спираючись на узагальнені означення опуклої (11) і угнутої (12) функцій, неважко довести нерівність Йєнсена з математичними сподіваннями (3) і (4). При цьому дискретний розподіл має вигляд:

...
...
...

Відносні частоти , , , причому не всі рівні між собою. Вибірку зручно розбити на групи (краще по дві варіанти), визначити для кожної групи середні зважені значення абсцис і ординат вузлових точок. Якщо на опукла (угнута), то всі нерівності Йєнсена на проміжках мають однаковий зміст. Об'єднуючи відрізки в ансамбль і виконуючи усереднення групових середніх, отримаємо кінцевий результат, який полягає у тому, що точка з координатами лежить нижче дуги кривої (якщо функція опукла) або вище дуги (якщо функція угнута).

Інтегральна нерівність Йєнсена (6) може бути доведена за допомогою граничного переходу в дискретній нерівності. або узагальненої теореми про середнє в інтегральному численні. Нам лишається навести ймовірнісний коментар до формули (6). Варто звернути увагу на те, що в формулах (6) і (7) функція має властивості щільності розподілу випадкової величини . В лівій частині (6) під знаком записано математичне сподівання випадкової величини , що розглядається на проміжку :

.

В правій частині (6) маємо математичне сподівання функції випадкового аргумента :

.

До речі, в математичному аналізі до цих самих результатів приводить узагальнена теорема про середнє в інтегральному численні. Важливо підкреслити, що при будь-якому законі розподілу ймовірностей точка . Точка належить хорді, що з'єднує кінці дуги і , тому для опуклої функції

,

для угнутої

.

В теорії ймовірностей такий незбіг функції середнього і середнього функції називають "парадоксом оцінювання" [6]. Дослідження парадоксів – кращий спосіб досягти взаєморозуміння фахівців в різних областях науки. Спроби вивчати будь-яку область математики за допомогою парадоксів допомагають розвинути справжню інтуїцію, а ймовірнісні підходи сприяють зворотньому руху [7] конструктивних ідей із теорії ймовірностей до математичного аналізу та інших розділів математики.


Використана література

1. Невяжский Г.Л. Неравенства. Пособие для учителей. – М.: ГУПИ МП РСФСР, 1947.

2. Каплан Я.Л. Математика. Посібник для підготовки до конкурсних екзаменів до вузів. – К.: Вища школа, 1971.

3. Ижболдин О., Курляндчик Л. Неравенство Иенсена // Квант. №5. – М.: Наука, 1990. – С.57-62.

4. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. – М.: Мир, 1965.

5. Вороний О. Нерівність Йєнсена // У світі математики. – Т.6. – Вип.2. – К.: "ТВІМС", 2000. – С.9-13.

6. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. – М.: Мир, 1990.

7. Скороход А.В. Особливий характер теорії ймовірностей в математичних науках // У світі математики. – Т.3. – Вип.2 – К.: "ТВІМС", 1997. – С.2-4.


8.

Похожие работы

  • Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами ознаки порівняння Даламбера радикальна та

    Пошукова робота на тему: Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами: ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші.

  • Критерії оцінювання знань студентів Методичні рекомендації

    КРИТЕРІЇ ОЦІНЮВАННЯ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ Результати успішності, будучи важливим показником навчальної роботи не лише студен­та, а й усього вузу в цілому, нерідко залежать зід суб'єктивного підходу до цінки знань студентів окремими зикдадачими. Відхилення в оцінці результатів пізнавальної діяльності студентів, іноді досягають великих значень, так, експериментально показано, шо 276 ви­кладачів вузів одну і ту ж студентську роботу оцінили таким чином: 31% - поставили оцінку "незадозільно", 65% - "задовільно", 4% - "добре".

  • 1998-10-13 - Система освiти в Українi

    База лекций и рефератов института КИМО www.kimo.non.ru Система освіти в Україні. Ст.22 Конституції України – забезпечення гарантії дотримання прав кожного громадянина у суспільстві.

  • Особливості формування підприємницької культури учнів молодших класів

    Все більшої актуальності в Україні набувають питання економічної підготовленості молоді до життя в суспільстві, де налагоджуються нові ринкові відносини. У зв’язку з підвищеними вимогами щодо підготовки підростаючого покоління до життя в нових ринкових умовах, в теорії і практиці педагогіки постає важлива проблема формування початкової економічної та підприємницької культури у дітей молодшого шкільного віку.

  • Обгрунтування теми дослідження на здобуття ступеня кандидата педагогічних науки

    Міністерство Освіти України КИЇВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ЛІНГВІСТИЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Кафедра методики викладання іноземних мов Обгрунтування теми дослідження на здобуття ступеня кандидата педагогічних наук зі спеціальності 13.00.02 – Теорія та методика навчання: германські мови

  • Розвиток педагогічної думки в Росії у XVIII XIX ст

    Розвиток педагогічної думки в Росії у XVIII Розвиткові педагогічної думки в Росії у XVIII ст. передусім сприяли освітня діяльність і педагогічні погляди Михайла Васильовича Ломоносова (1711—1765), який виступав за демократизацію освіти, за народну школу. Він вважав, що система освіти повинна складатися з трьох ступенів державної безстанової школи: початкової, середньої — гімназії та вищої — університету.

  • Система вищої освіти в Україні

    Реферат на тему: Система вищої освіти України Структура вищої освіти України розбудована відповідно до структури освіти розвинених країн світу, яка визначена ЮНЕСКО, ООН та іншими міжнародними організаціями.

  • Закони розумно організованого сімейного виховання школярів

    Реферат з педагогіки ЗАКОНИ РОЗУМНО ОРГАНІЗОВАНОГО СІМЕЙНОГО ВИХОВАННЯ ШКОЛЯРІВ 1. Пам'ятайте, що навчання — один із найскладніших видів праці, а розумові сили й здібності дітей не однакові.

  • Критерії оцінки якості викладання

    Реферат на тему: КРИТЕРІЇ ОЦІНКИ ЯКОСТІ ВИКЛАДАННЯ Викладачу слово дане для того, щоб не присипати свою думку, а щоб пробуджувати думку інших. В. Ключевський.

  • Характеристика методів тестування та бесіди

    Реферат з педагогіки Характеристика методів тестування та бесіди. 1. Метод бесіди – джерело і спосіб пізнавання педагогічного явища через безпосереднє спілкування з особами, яких дослідник вивчає в природних умовах. Щоб вона була результативною, необхідно мати її план, основні і додаткові запитання, створити сприятливу атмосферу для відвертого обміну думками, врахувати індивідуальні особливості співбесідника; виявити педагогічний такт, уміти запропонувати бесіду.