Название: Принципи побудови формальних теорій

Вид работы: реферат

Рубрика: Астрономия

Размер файла: 16.4 Kb

Скачать файл: referat.me-4848.docx

Краткое описание работы: Реферат на тему: Принципи побудови формальних теорій Математична логіка як самостійний розділ сучасної математики сформувався відносно нещодавно - на рубежі дев’ятнадцятого і двадцятого століть. Виникнення і швидкий розвиток математичної логіки були пов’язані з так званою кризою основ (засад) математики, одним з проявів якої є відомі парадокси або антиномії канторівської теорії множин.

Принципи побудови формальних теорій

Реферат на тему:

Принципи побудови формальних теорій

Математична логіка як самостійний розділ сучасної математики сформувався відносно нещодавно - на рубежі дев’ятнадцятого і двадцятого століть. Виникнення і швидкий розвиток математичної логіки були пов’язані з так званою кризою основ (засад) математики, одним з проявів якої є відомі парадокси або антиномії канторівської теорії множин.

Головним предметом у дослідженнях, присвячених «ліквідуванню» кризи і «рятуванню» математики, стали принципи або правила побудови математичних тверджень і математичних теорій, зокрема, пошук відповіді на питання типу: «як повинна бути побудована теорія, щоб у ній не виникало суперечностей або антиномій?», «які властивості повинні мати методи доведення, щоб їх можна було вважати строгими?» тощо.

У математиці з античних часів існував зразок систематичної і строгої побудови теорії - геометрія Евкліда , в якій усі вихідні положення формулюються явно, у вигляді аксіом, а всі твердження, істинні в цій теорії, - теореми - виводяться з цих аксіом за допомогою послідовностей логічних міркувань, що називаються доведеннями.

Однак при побудові більшості наступних математичних теорій математики, як правило, не вважали за потрібне явно виділяти всі вихідні принципи і чітко формулювати методи конструювання доведень; критерії строгості доведень та очевидності тверджень у математиці в різні часи були різними. Відтак, це призводило час від часу до виникнення криз і необхідності перегляду основ тієї чи іншої теорії.

У кінці ХIХ століття в зв’язку з виникненням кризи в канторівській теорії множин виникла потреба перегляду загальних принципів організації математичних теорій. Це привело до створення нової галузі математики - засад математики .

Однією з фундаментальних ідей, на які спираються дослідження із засад математики, є ідея формалізації теорій , тобто послідовного проведення аксіоматичного методу побудови теорії. При цьому не припускається використовувати будь-які припущення про об’єкти теорії, окрім тих, що виражені явно у вигляді аксіом. Аксіоми розглядають як формальні послідовності символів (вирази, формули або слова), а методи доведення - як методи одержання одних виразів з інших за допомогою операцій над символами.

Такий формальний алгебраїчний підхід гарантує чіткість і однозначність вихідних (початкових) тверджень та коректність і однозначність виводу. Однак може скластися враження, що осмисленність (зміст, інтерпретація або семантика) понять і тверджень у формалізованій теорії не відіграють жодної ролі. Зовні це так і є; однак, насправді, і аксіоми, і правила виводу прагнуть означати так, щоб побудована за їхнью допомогою формальна теорія мала б змістовний сенс.

У найзагальнішому вигляді формальну теорію T (інший термін - числення ) будують таким чином.

1. Означають набір основних символів - алфавіт теорії.

2. Конструктивно (як правило, індуктивно) означають множину формул , або правильно побудованих виразів, яка утворює мову теорії.

3. Виокремлюють підмножину формул, які називають аксіомами теорії.

4. Задають правила виводу (виведення ) теорії.

Правило виводу R (F ₁ ,F ₂ ,...,F_m ,G ) - це відношення (або операція) на множині формул.

Якщо формули F ₁ ,F ₂ ,...,F_m ,G знаходяться у відношенні R , то формула G називається безпосередньо вивідною з формул F ₁ ,F ₂ ,...,F_m за правилом R .

Часто правило виводу R (F ₁ ,F ₂ ,...,F_m ,G ) записують у вигляді

F ₁ ,F ₂ ,...,F_m .

G

Формули F ₁ ,F ₂ ,...,F_m називають припущеннями , посилками або гіпотезами правила R , а формулу G - висновком , наслідком або вислідом .

Виведенням (виводом , вивідністю ) формули B з формул A ₁ ,A ₂ ,...,A_n називають послідовність формул F ₁ ,F ₂ ,...,F_m таку, що F_m =B , а будь-яка формула F_i , i =1,2,...,m є:

1) або аксіомою;

2) або однією з початкових формул A ₁ ,A ₂ ,...,A_n ;

3) або безпосередньо вивідною з формул F ₁ ,F ₂ ,...,F_{i -1} (або будь-якої їх підмножини) за одним з правил виведення.

Якщо існує виведення формули B з формул A ₁ ,A ₂ ,...,A_n , то кажуть, що B є вивідною з A ₁ ,A ₂ ,...,A_n і позначають цей факт так: A ₁ ,A ₂ ,...,A_n |-B . Формули A ₁ ,A ₂ ,...,A_n називають посилками або гіпотезами виведення. Перехід у виведенні від формули F_{i -1} до F_i називають i -м кроком виведення.

Доведенням формули B у теорії T називають виведення B з порожньої множини формул, тобто виведення, в якому як початкові формули використовують тільки аксіоми теорії.

Формула B , для якої існує доведення, називається формулою довідною (вивідною ) у теорії T , або теоремою теорії T ; факт довідності формули B позначають |-B .

При вивченні формальних теорій існує два типи тверджень:

1) твердження самої теорії або її теореми;

2) твердження про теорію (про властивості її теорем, властивості доведень тощо).

Перші є елементами (словами, виразами, формулами) внутрішньої мови теорії, а другі - зовнішніми і формулюються у термінах мови, зовнішньої по відношенню до теорії і званої метамовою теорії; самі ці твердження називають метатеоремами .

Наприклад, якщо побудовано виведення формули B з A ₁ ,A ₂ ,...,A_n , то твердження «A ₁ ,A ₂ ,...,A_n |-B » є метатеоремою; це твердження можна розглядати, як додаткове правило виводу, яке можна додати до початкових правил і використовувати у подальших конструюваннях доведень.