Название: Похідна за напрямком і градієнт функції основні властивості
Вид работы: реферат
Рубрика: Астрономия
Размер файла: 41.34 Kb
Скачать файл: referat.me-891.docx
Краткое описание работы: Пошукова робота на тему: Похідна за напрямком і градієнт функції, основні властивості. План Похідна за напрямком Градієнт функції Основні властивості
Похідна за напрямком і градієнт функції основні властивості
Пошукова робота на тему:
Похідна за напрямком і градієнт функції, основні властивості.
П лан
- Похідна за напрямком
- Градієнт функції
- Основні властивості
1 . Похідна функції за напрямком і градієнт
Нехай - функція, означена в області . Розглянемо деяку точку і деякий напрямок , визначений напрямними косинусами і (тобто і - косинуси кутів, утворених вектором з додатними напрямками осей координат і ). При переміщенні в заданому напрямку (рис.7.10) точки в точку функція одержує приріст
, (7.46)
який називається приростом функції в заданому напрямку .
Якщо є величина переміщення точки , то із прямокутного трикутника одержуємо , , отже,
. (7.47)
Означення . Похідною функції в заданому напряму називається границя відношення приросту функції в цьому напрямку до величини переміщення при умові, що останнє прямує до нуля, тобто
. (7.48)
З цієї точки зору похідні і можна розглядати як похідні функції в додатних напрямках осей координат і . Похідна визначає швидкість зміни функції в напрямку .
Виведемо формулу для похідної , вважаючи, що функція диференційована. Із означення диференціала функції випливає, що приріст функції відрізняється від диференціала функції на вищий порядок малості відносно приросту незалежних змінних. Тому
,
де і при і . Звідси в силу співвідношень (7.47) одержуємо
.
Отже,
.
Переходячи до границі в останній формулі при ,тобто при і , одержимо формулу для похідної функції в заданому напрямку:
. (7.49)
Приклад . Обчислити в точці похідну функції в напрямку, що складає кут з віссю .
Р о з в ’ я з о к.
.
Зауваження . Для функції її похідна в напрямку дорівнює
(7.50)
Рис.7.10 Рис.7.11
При вивчені поведінки функції в даній точці площини аргументів найбільшу зацікавленість являє питання про напрямок найвищого зростання в цій точці. Задача розв’язується за допомогою вектора, який називається градієнтом функції .
Означення . Градієнтом функції в точці в даній точці називається вектор, розміщений в площині аргументів і , який має своїм початком цю точку і має проекції на координатні осі, що дорівнюють значенням частинних похідних функції в цій точці :
(7.51)
Тут - орти координатних осей і .
Теорема . Градієнт диференційованої функції в кожній точці за значенням і напрямком дає найбільшу швидкість зміни функції в цій точці.
Д о в е д е н н я. Запишемо вираз (6.71) похідної як скалярний добуток двох векторів:
.
Перший із співмножників є .
Звідси буде мати найбільше додатне значення лише в тому випадку, якщо напрямки векторів і збігаються; це найбільше значення дорівнює модулю , тобто числу
.
Теорема доведена.
Напрямок, протилежний градієнту, є напрямком найвищого спадання .
Приклад . Знайти напрямок найшвидшого зростання функції в точці і обчислити значення похідної в цьому напрямку.
Р о з в ’ я з о к. Обчислюємо градієнт функції в точці :
.
Отже, шуканий напрямок складає кут з віссю .
Похідна .
Нехай точка лежить на лінії рівня в точці з рівнянням . Кутовий коефіцієнт дотичної до в точці (рис. 7.11) дорівнює (7.61)). Кутовий коефіцієнт градієнта в точці дорівнює .
Порівнюючи ці два кутові коефіцієнти, виводимо: градієнт функції в точці напрямлений за нормаллю до лінії рівня , яка проходить через точку .
Зауваження . Градієнт функції в точці запишеться так:
, (7.52)
де - орти координатних осей.
Похожие работы
-
Властивості степеневих рядів Неперервність суми Інтегрування і диференціювання степеневих ряді
Пошукова робота на тему: Властивості степеневих рядів. Неперервність суми. Інтегрування і диференціювання степеневих рядів. План Властивості степеневих рядів
-
Економічний зміст похідної Використання поняття похідної в економіці
Економічний зміст похідної. Використання поняття похідної в економіці. Розглянемо задачу про продуктивність праці. Нехай функція и = и(t) відображає кількість виробленої продукції u за час t i необхідно знайти продуктивність праці в момент t0.
-
Функції багатьох змінних Означення границя та неперервність похідні диференціали
Тема: Функції багатьох змінних. Означення, границя та неперервність, похідні диференціали. Як відомо, будь-який упорядкований набір з n дійсних чисел х1…,хn позначається (х1,…,хn) або М(х1,…,хn) і називається точкою n-вимірного арифметичного простору Rn; числа х1,…,хn називаються координатами точки М(х1,…,хn).
-
Похідна суми добутку та частки з наведеними прикладами
Реферат на тему: “ Похідна суми, добутку та частки з наведеними прикладами”. Теорема: Якщо функції u(x) і n(x) мають похідні у всіх точках інтервалу ]a; b[, то
-
Монотонність функції необхідні і достатні умови Eкстремум функції однієї та декількох змінних
Пошукова робота на тему: Монотонність функції, необхідні і достатні умови. Eкстремум функції однієї та декількох змінних.. Необхідні і достатні умови. Найбільше і найменше значення функції на замкнутому проміжку і в обмеженій замкнутій області.
-
Векторна функція скалярного аргументу Похідна її геометричний і механічний зміст Кривизна кри
Пошукова робота на тему: Векторна функція скалярного аргументу. Похідна, її геометричний і механічний зміст. Кривизна кривої. План Диференціал дуги
-
Похідна за напрямом Градієнт
1. Похідна за напрямом. Для характеристики зміни скалярного поля в заданому напрямі вводять поняття похідної за напрямом. Область простору кожній точці М якої поставлено у відповідність значення деякої скалярної величини
-
Основні правила диференціювання Таблиця похідних
Пошукова робота на тему: Основні правила диференціювання. Таблиця похідних. Основні правила диференціювання. Похідні від елементарних функцій. Похідна від степеневої функції.
-
Основні властивості означеного інтеграла Формула Ньютона-Лейбніца
Пошукова робота на тему: Основні властивості означеного інтеграла. Формула Ньютона- Лейбніца. План Інтегрування підстановкою у визначеному інтегралі
-
Первісна функція і неозначений інтеграл Основні властивості неозначеного інтеграла Таблиця осно
Пошукова робота на тему: Первісна функція і неозначений інтеграл. Основні властивості неозначеного інтеграла.Таблиця основних інтегралів. План Первісна функція