Функції багатьох змінних Означення границя та неперервність похідні диференціали

Тема: Функції багатьох змінних. Означення, границя та неперервність, похідні диференціали.

Як відомо, будь-який упорядкований набір з n дійсних чисел х₁ …,х _n позначається ( х₁ ,…,х _n ) або М( х₁ ,…,х _n ) і називається точкою n -вимірного арифметичного простору Rⁿ ; числа х₁ ,…,х _n називаються координатами точки М(х₁ ,…,х _n ) . Відстань між точками М(х₁ ,…,х _n ) і М^/ (х^/ ₁ ,…,х^/ _n ) визначається за формулою

Нехай DRⁿ – довільна множина n -вимірного арифметичного простору. Якщо кожній точці М(х₁ ,…,х _n ) D поставлено у відповідність деяке цілком визначене дійсне число f(M)= f(х₁ ,…,х _n ) , то кажуть, що на множині D задана числова функція f : Rⁿ R від n змінних х₁ …,х _n . Множина Dназивається областю визначення, а множина - множиною значень функції f .

Зокрема, при n = 2 функцію двох змінних z = f( x, y),( x, y) D можна розглядати як функцію точок площини в тривимірному просторі з фіксованою системою координат О _xyz . Графіком цієї функції називається множина точок

яка визначає, взагалі кажучи, деяку поверхню в R³ .

Приклад 4. Знайти точки розриву функції

Функція не визначена в точках, в яких знаменник перетворюється в нуль. Тому вона має лінією розриву пряму 2х + 3у + 4 = 0 .

Нехай (х⁰ ₁ ,…,х ⁰ _k ,… x⁰ _n ) – довільна фіксована точка в області визначення функції u = f( х₁ ,…,х _n ) . Надаючи значенню змінної х _k приросту , розглянемо границю

.

Ця границя називається частинною похідною 1-го порядку функції по змінній x_k в точці (x⁰ ₁ ,…, x⁰ _n ) і позначається або

Обчислюються частинні похідні за звичайними правилами і формулами диференціювання, але при цьому всі змінні, крім x_k , розглядаються як сталі.

Частинними похідними 2-го порядку функції u= f( x₁ ,…, x_n ) називаються частинні похідні від її частинних похідних першого порядку. Похідні другого порядку позначаються так:

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні порядку вищого, ніж другий.

Результат багатократного диференціювання функції по різних змінних не залежать від черговості диференціювання за умови, що одержані при цьому змішані частинні похідні неперервні.

Повним приростом функції в точці , який відповідає приростам аргументів , називається різниця

Функція u =f(M) називається диференційовною в точці М₀ , якщо скрізь в околі цієї точки певний приріст функції можна подати у вигляді

де A₁ ,… A_n – числа, не залежні від .

Диференціалом 1-го порядку du функції називається вираз

Диференціали незалежних змінних за означенням беруться рівними їх приростам: .

Для диференціала du правильна формула

Якщо p достатньо мале, то для диференційовної функції правильна наближена формула:

Диференціалом 2-го порядку d ² u функції називається диференціалом від її диференціала 1-го порядку, розглянутого як функція змінних при фіксованих значеннях : d ² u = d ( du ) . Аналогічно визначається диференціал 3-го порядку d³ u = d( d² u). Взагалі, d^k u = d( d^{k -1} u) .

Диференціал k -го порядку функції , де х₁ …х _n – незалежні змінні, символічно записуються у вигляді формули

яка формально розкривається за біномним законом.

Зокрема, у випадку функції двох змінних , маємо:

Градієнт функції - це вектор, що визначається формулою grad Він визначає напрямок найшвидшого зростання функції:

Приклад 9. Нехай Знайти grad u ( M₀ ) .

Маємо

Тоді

а тому grad u( M₀ )= (10;3;8)=