Название: Метод статистической и гармонической линеаризации. Расчет автоколебаний по критерию Найквиста
Вид работы: реферат
Рубрика: Коммуникации и связь
Размер файла: 67.95 Kb
Скачать файл: referat.me-170037.docx
Краткое описание работы: Метод статистической линеаризации - замена нелинейного преобразования процессов статистически эквивалентными им линейными преобразованиями. Цель применения – линеаризация системы, что необходимо для применения методов исследования линейных систем.
Метод статистической и гармонической линеаризации. Расчет автоколебаний по критерию Найквиста
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра РТС
РЕФЕРАТ
На тему:
"Метод статистической и гармонической линеаризации. Расчет автоколебаний по критерию Найквиста"
МИНСК, 2008
Метод статистической линеаризации
Метод основан на замене нелинейного преобразования процессов статистически эквивалентными им линейным преобразованиями. Нелинейный элемент заменяется линейным эквивалентом (рис.1). В результате замены система линеаризуется, что позволяет использовать методы исследования линейных систем.
Замена нелинейного преобразования линейным является приближенной и справедливой лишь в некоторых отношениях. Поэтому не существует однозначной эквивалентности при использовании различных критериев.
В частности, если нелинейность определяется безинерционной зависимостью вида
, (1)
используется два критерия эквивалентности.
Рис.1.
Первый критерий предполагает равенство на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента математических ожиданий и дисперсий процессов.
Второй критерий – минимум среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента.
Процесс на входе и выходе нелинейного элемента представим в виде:
; (2)
, (3)
где─ математическое ожидание процесса на выходе НЭ;
─ центрированная случайная составляющая.
Процесс на выходе линейного эквивалента представляется в следующем виде:
, (4)
где ─ коэффициент передачи линейного эквивалента по математическому ожиданию;
─ коэффициент передачи по центрированной случайной составляющей.
Воспользуемся первым критерием эквивалентности:
. (5)
Из этих уравнений находим
;
,
где ─ плотность вероятности процесса на входе нелинейного элемента.
- коэффициент передачи линейного эквивалента по центрированной случайной составляющей (по первому критерию).
По второму критерию эквивалентности:
;
;
;
;
Для определения и
, при которых выполняется условие эквивалентности, найдем частные производные и приравняем их нулю:
;
;
;
.
При расчете этих коэффициентов полагают, что распределение на входе нормальное:
;
Определив величины
;
.
для типовых нелинейностей, заменяют последние коэффициентами передачи линейного эквивалента и анализируют систему линейными методами.
Для основных типов нелинейностей и нормальном распределении входного процесса коэффициенты рассчитаны и представлены в виде табличных значений. В частности, для характеристики релейного типа (рис.2)
Рис.2. Характеристика релейного типа:
;
коэффициенты равны:
;
;
;
Метод гармонической линеаризации
Основы метода.
Метод используется для исследования нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями различного порядка. Эффективен для расчета параметров собственных колебаний в системе, используется также для анализа точности при гармоническом задающем воздействии.
Рассмотрим метод применительно к расчету параметров собственных колебаний в нелинейной системе.
Разделим систему на линейную часть и нелинейное звено (рис.3).
Рис.3. Модель нелинейной системы.
Уравнение линейной части:
,(6)
При возникновении автоколебаний процесс на выходе линейной части не является строго гармоническим, но мы будем полагать, что линейное звено является фильтром нижних частот и подавляет все гармоники, за исключением первой. Это предположение называется гипотезой фильтра. Если она не подтверждается, то ошибки при применении гармонической линеаризации могут быть значительными.
.
Пусть
;
. (7)
Представим в виде ряда Фурье:
; (8)
Полагаем, что
.
Это справедливо, если симметрична относительно начала координат и отсутствует внешнее воздействие. Полагая, что высшие гармоники подавляются, будем искать только
и
Из уравнения (7) находим:
;
. (9)
Подставив (8. 20) в (8. 19) и ограничив ряд слагаемыми первой гармоники, получим:
(10)
где
(11)
Таким образом, нелинейное уравнение для заменили приближенным линейным уравнением (11) для первой гармоники.
и
называют гармоническими коэффициентами передачи нелинейного звена. Коэффициенты
и
в рассматриваемом случае зависят от амплитуды, при более сложной нелинейной зависимости зависят еще и от частоты.
Рассчитанные значения коэффициентов гармонической линеаризации для типовых нелинейностей можно найти в учебниках и справочной литературе.
Передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в следующем виде:
;
;
где ─ эквивалентная передаточная функция нелинейно - го звена.
Частотная передаточная функция разомкнутой системы
.
Характеристическое уравнение
.
Модуль частотной передаточной функции нелинейного звена
.
Фазочастотная характеристика
; (
)
Модуль определяет отношение амплитуд, а фазовый сдвиг на выходе относительно входного сигнала.
Если симметрична относительно начала координат, однозначна и не имеет гистерезиса, то
и тогда
.
Часто при анализе используется величина обратная . Она называется гармоническим импедансом нелинейного звена:
.
Расчет автоколебаний по критерию Найквиста
В соответствии с критерием Найквиста строится годограф частотной передаточной функции разомкнутой системы
Условием возникновения в системе колебаний является прохождение амплитудно-фазовой характеристики через точку (-1,j0) комплексной плоскости. Для определения условий прохождения годографа через эту точку приравняем
.
Чтобы решить это уравнение можно, задавая значение амплитуды, строить амплитудно-фазовую характеристику(рис.8.18) Значение амплитуды а=А, при которой АФХ пройдет через точку (-1,j0) будет соответствовать амплитуде собственных колебаний. Значение частоты определяют по частоте в точке (-1,j0).
Рис.4. Амплитудно-фазовая характеристика нелинейной системы.
Тогда искомое колебание
.
При нелинейной зависимости вида передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в виде
. (12)
![]() |
Это уравнение решается графическим методом (рис.5).
Строим амплитудно-фазовую характеристику линейного звена и кривую импеданса нелинейного звена. Определяем точку пересечения. Частоту определим по АФХ линейного звена в точке пересечения. Амплитуду А определим по кривой импеданса нелинейного звена.
Чтобы определить являются ли колебания устойчивыми автоколебаниями, нужно задать приращение амплитуды ; при этом точка на импедансе смещается влево вниз. Это будет соответствовать уменьшению
, следовательно, кривая годографа ПФ разомкнутой системы не будет охватывать точку с координатами
. Поэтому амплитуда колебаний начнет уменьшаться, и система вернется в исходное состояние. То же будет и при отрицательном приращении.
Критерий устойчивости периодического режима сводится к тому, чтобы часть кривой соответствующая меньшим амплитудам, охватывалась амплитудно-фазовой характеристикой линейной части.
При отсутствии в системе периодических режимов (решения уравнения (8.23)) можно предположить, что система будет устойчива.
Условие устойчивости равновесного состояния (отсутствия автоколебаний): при устойчивой или нейтральной в разомкнутом состоянии линейной части её АФХ не охватывает годограф .
ЛИТЕРАТУРА
1. Коновалов. Г.Ф. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. – М.: Высш. шк., 2000.
2. Радиоавтоматика: Учеб. пособие для вузов. / Под ред. А. Бесекерского. - М.: Высш. шк., 2005.
3. Первачев С.В. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 2002.
4. Цифровые системы фазовой синхронизации Под ред. И. Жодзишского – М.: Радио, 2000.
Похожие работы
-
Управление динамической системой
Нахождение аналитического вида функций Mc(w), Mg(w,m) и передаточной функции для разомкнутой системы. Линеаризация и численное решение разомкнутой системы. Оценка управляемости и устойчивости системы. Амплитудная, фазовая, мнимая частотные характеристики.
-
Методы и анализ нелинейного режима работы системы ЧАП. Метод фазовой плоскости
Нелинейные системы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями. Методы анализа нелинейных систем: кусочно-линейной аппроксимации, гармонической линеаризации, фазовой плоскости, статистической линеаризации. Использование комбинации методов.
-
Анализ динамических свойств системы автоматического управления заданной структурной схемы
Анализ устойчивости системы автоматического управления (САУ) по критерию Найквиста. Исследование устойчивости САУ по амплитудно-фазочастотной характеристике АФЧХ и по логарифмическим характеристикам. Инструменты управления приборной следящей системы.
-
Идентификация и моделирование технологических объектов
Идентификация параметров электромеханической системы. Моделирование нелинейных объектов. Оптимизация параметров пид-регуляторов для объектов управления с нелинейностями с применением пакета прикладных программ Nonlinear Control Design (NCD) Blockset.
-
Расчёт структурной схемы
Дана структурная схема: Где: W1 = 10; W5 = K(1+10p) W6=10 / (1+2*10*0.2*p+102p2) 1. Получить передаточную функцию разомкнутой системы W(p) Вывод передаточной функции производится вручную любым из методов алгебраических и структурных преобразований блок - схемы.
-
Проектирование системы оптимального корректирующего устройства
ОГЛАВЛЕНИЕ введение 1. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 1.1 Анализ исходной системы 1.2 Анализ системы с пропорциональным регулятором 1.2.1 Определение коэффициента усиления пропорционального регулятора
-
Устойчивость движения в нелинейных системах
Сущность устойчивости в малом и целом смысле. Исследование Ляпуновым устойчивости движения в окрестности особых точек. Разработка и использование второго (прямого) метода Ляпунова. Устойчивость движения в предельных циклах, определение автоколебаний.
-
Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом
Расчет дискретного регулятора, обеспечивающего максимальную скорость переходного процесса. Формирование интегрального квадратичного критерия. Синтез компенсатора, непрерывного и дискретного регулятора, компенсатора, оптимального закона управления.
-
Исследование линейных и нелинейных систем управления
Непрерывная система регулирования, состоящая из объекта регулирования, автоматического регулятора и нелинейной системы, включающей нелинейное звено. Возможность возникновения автоколебаний. Моделирование нелинейной системы автоматического регулирования.
-
Прохождение случайного сигнала через дискретную и нелинейную системы
Соотношение для спектральных плотностей входного и выходного сигнала, дискретное преобразование Фурье. Статистические характеристики сигналов в дискретных системах. Дискретная спектральная плотность для спектральной плотности непрерывного сигнала.