Referat.me

Название: Метод вращений решения линейных систем

Вид работы: реферат

Рубрика: Информатика

Размер файла: 44.88 Kb

Скачать файл: referat.me-133376.docx

Краткое описание работы: Метод вращений решения линейных систем Как и в методе Гаусса, цель прямого хода преобразований в этом методе–приведение системы к треугольному виду последовательным обнулением поддиагональных элементов сначала первого столбца, затем второго и т.д.

Метод вращений решения линейных систем

Метод вращений решения линейных систем

Как и в методе Гаусса, цель прямого хода преобразований в этом методе–приведение системы к треугольному виду последовательным обнулением поддиагональных элементов сначала первого столбца, затем второго и т.д.

Умножим первое уравнение исходной системы (1) на с1 , второе на s1 и сложим их ; полученным уравнением заменим первое уравнение системы. Затем первое уравнение исходной системы умножаем на –s1 , второе на c 1 и результатом их сложения заменим второе уравнение . Таким образом, первые два уравнения (1) заменяются уравнениями

Отсюда . Эти числа можно интерпретировать как косинус и синус некоторого угла (отсюда название метод вращения , каждый шаг такого преобразования можно рассматривать как вращение расширенной матрицы системы в плоскости обнуляемого индекса).

В результате преобразований получим систему

где

Далее первое уравнение системы заменяется новым, полученным сложением результатов умножения первого и третьего уравнений соответственно на

а третье–уравнением, полученное при сложении результатов умножения тех же

где

Выполнив преобразование m-1 раз, придем к системе

Вид полученной системы такой же, как после первого этапа преобразований методом Гаусса. Эта система обладает следующим свойством: длина любого вектора-столбца (эвклидова норма) расширенной матрицы остается такой же, как у исходной матрицы. Следовательно, при выполнении преобразований не наблюдается рост элементов.

Далее по этому же алгоритму преобразуется матрица

и т.д.

В результате m -1 этапов прямого хода система будет приведена к треугольному виду.

Нахождение неизвестных не отличается от обратного хода метода Гаусса.

Всего метод вращения требует примерно операций умножения и деления.

Пример:

Дана СЛУ:

х1 +2х2 +3х3 =8

123 =3

1 +3х23 =5

Умножим первое уравнение на с1, второе на s1, сложим их, а потом умножим первое на ( –s1), а второе на с1 и сложим. Результат : система (1) из 2 измененных уравнений и 1 оставшегося:

x1(c1+3s1)+x2(2c1+s1)+x3(3c1+s1)=8c1+3s1

x1(3c1-s1)+x2(c1-2s1)+x3(c1-3s1)=3c1-8s1

2x1+3x2+x3=5

Найти c1 и s1

-s1+3c1=0

c1=1/10^1/2

s1=3/10^1/2

Подставим эти значения в первые два уравнения системы (1), получим новую систему (2):

10x1+5x2+6x3=17

-5x2-8x3=-21

2x1+3x2=5

Умножим уравнение 1 из системы(2) на с2, третье на s2, сложим их, а потом умножим первое на ( –s2), а второе на с2 и сложим. Результат : система (3):

2x1(5c2+s2)+x2(5c2+3s2)+x3(6c2+s2)=17c2+5s2

2x1(c2-5s2)+x2(3c2-5s2)+x3(c2-5s2)=5c2-17s2

Найти c2 и s2:

-10s2+2c2=0

c2=5/26^1/2

s2=1/26^1/2

Подставим эти значения в уравнения 1 и 3 системы (3), получим систему (4):

52x1+28x2+31x3=90

-5x2-8x3=-21

-10x2-x3=-8

Теперь, оставляя 1 уравнение без изменений, умножим второе на с3, третье на s3, сложим их., умножим второе на (-s3), третье на с3, сложим и их. Результат : система (5):

52x1+28x2+31x3=90

5x2(-c3-2s3)+x3(-8c3-s3)=-21c3-8s3

5x2(-2c3+s3)+x3(-c3+8s3)=-8c3+21s3

Найдем c3 и s3:

10s3-5c3=0

c3=-1/5^1/2

s3=-2/5^1/2

Подставим найденные значения во 2 и 3 уравнения системы (5) и найдем результирующую систему (6):

52x1+28x2+31x3=90

35x2-10x3=15

-15x3=-30

Ответы:

х1=0

х2=1

х3=2

Похожие работы

  • Общие характеристики пакета Control System Toolbox

    (CST) Исследование систем автоматического управления начинаются с создания математической модели. В пакете CST линейные модели могут быть представлены в четырех формах:

  • Методы поисковой оптимизации

    1. Назначение и классификация методов поисковой оптимизации В связи со сложностью объектов проектирования критерии качества и ограничения задачи параметрической оптимизации (1.5), как правило, слишком сложны для применения классических методов поиска экстремума. Поэтому на практике предпочтение отдается методам поисковой оптимизации.

  • Разработка пакета прикладных программ для вычисления определителя матрицы

    МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Курсовая работа по программированию Разработка пакета прикладных программ для вычисления определителя матрицы произвольного порядка

  • Лабораторные работы по вычислительной математике

    пределить графически корни уравнения: . Определить графически корни уравнения: . Определить графически корни уравнения: . Определить аналитически корни уравнения:

  • Линейные электрические цепи 2

    Курсовая работа "Линейные электрические цепи" Введение Для решения поставленной задач используется язык С++. На сегодняшний день он является одним из самых распространенных языков программирования. Его преимуществами являются гибкость, переносимость, универсальность. На этом языке написаны самые распространенные на сегодняшний день операционные системы, такие как Windows и Linux.

  • Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса

    МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Курсовая работа по программированию по теме: Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса

  • Аппроксимация МНК

    Оглавление Введение. 3 Теоретическая часть. 5 Постановка задачи. 5 Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов. 6 Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. 9

  • Численные методы решения систем линейных уравнений

    Курсовая работа по информатике на тему: «Численные методы решения систем линейных уравнений» Выполнил: студент 06–ИСТ, Фадеева Т.В. Проверил: Ловыгина М.Б.

  • Организация дaнных на устройствах с прямым и последовательным доступом

    Метод доступа По методу доступа к информации накопители разделяются на: устройства с прямым (или непосредственным) доступом, устройства с последовательным доступом

  • Метод Гаусса с выбором главной переменной

    Метод Гаусса с выбором главной переменной практическая работа по компьютерной алгебре Текст программы. #include <fstream.h> #include <math.h>