Название: функция
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 97.05 Kb
Скачать файл: referat.me-215400.docx
Краткое описание работы: МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГОХОЗЯЙСТВА РФ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО – ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГОУ ВПО «ПРИМОРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ»
функция
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГОХОЗЯЙСТВА РФ
ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО – ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ
ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ
ФГОУ ВПО «ПРИМОРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ
СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ»
ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И БИЗНЕСА
Реферат
Тема: «Функция»
Выполнил: Ярмонтович Д.А.
Проверила:
УССУРИЙСК 2006
СОДЕРЖАНИЕ
· 1)Введние
· 2)Линейная функция
· 3)Квадратичная функция
· 4)Степенная функция
· 5)Показательная функция (экспонента)
· 6)Логарифмическая функция
· 7)Тригонометрическая функция
· -Функция синус
·
![]() |
-Функция косинус
· -Функция тангенс
· -Функция котангенс
· 8)Обратная функция
· -Arcsinx
· -Arctgx
· 9)Список Литературы
введение
К элементарным функциям относятся рациональные, степенные, показательная и логарифмические функции, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции. К классу элементарных функций, кроме того, относят также сложные функции, образованные из перечисленных выше элементарных функций.
Функция- зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у .
Переменная х - независимая переменная или аргумент.
Переменная у - зависимая переменная
Значение функции - значение у , соответствующее заданному значению х .
Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.
Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.
Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f ( x )= f (- x )
Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f (- x )=- f ( x )
Возрастающая функция - если для любых х1 и х2 , таких, что х1 < х2 , выполняется неравенство f (х1 )< f (х2 )
Убывающая функция - если для любых х1 и х2 , таких, что х1 < х2 , выполняется неравенство f (х1 )> f (х2 )
Линейная функция.
Это функция вида . Число
называется угловым коэффициентом
, а число
- свободным членом
. Графиком
линейной функции служит прямая на координатной плоскости
, не параллельная оси
.
Угловой коэффициент равен тангенсу угла
наклона графика
к горизонтальному направлению - положительному направлению оси
.
График линейной функции - прямая
1. Область определения – все действительные числа.
2. Область значений – все действительные числа.
3. Если k=0, то график будет параллелен оси абсцисс и будет проходить через точку (0; b).
4. Линейная функция ни четная ни нечетная.
5. Функция возрастает если k>0,
Функция убывает если k<0.
6. Функция непрерывна.
Квадратичная функция.
Это функция вида ,
Графиком квадратичной функции служит парабола
с осью, параллельной оси
. При
вершина параболы оказывается в точке
.
Парабола (
)
В общем случае вершина лежит в точке . Если
, то "рога" параболы направлены вверх, если
, то вниз.
.Парабола с вершиной в точке (
)
1. Область определения квадратичной функции – вся числовая прямая.
2. При b ¹0 функция не является четной и не является нечетной. При b =0 квадратичная функция – четная.
![]() |
![]() |
![]() |
3.
![]() |
![]() |
Рис. 4 Рис. 5
4. Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.
5. Функция имеет единственную критическую точку
6. x =- b /(2 a ) . Если a >0, то в точке x =- b /(2 a ) функция имеет минимум. При x <- b /(2 a ) функция монотонно убывает, при x >- b /(2 a ) монотонно возрастает.
a. Если а <0, то в точке x =- b /(2 a ) функция имеет максимум. При x <- b /(2 a ) функция монотонно возрастает, при x >- b /(2 a ) монотонно убывает.
b. Точка графика квадратичной функции с абсциссой x =- b /(2 a ) и ординатой y = -(( b 2 -4 ac )/4 a ) называется вершиной параболы .
7. Область изменения функции: при a >0 – множество значений функции [-(( b 2 -4 ac )/4 a ); + ¥ ) ; при a <0 – множество значений функции (- ¥ ;-(( b 2 -4 ac )/4 a )] .
8. График квадратичной функции пересекается с осью 0 y в точке y = c . В случае, если b 2 -4 ac >0 , график квадратичной функции пересекает ось 0 x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b 2 -4 ac =0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке x =- b /(2 a ) ; если b 2 -4 ac <0 , пересечения с осью 0 x нет.
a. Из представления квадратичной функции в виде (1) также следует, что график функции симметричен относительно прямой x =- b /(2 a ) – образа оси ординат при параллельном переносе r =(- b /(2 a ); 0) .
b. График функции
9. f ( x )= ax 2 + bx + c
10. (или f ( x )= a ( x + b /(2 a ))2 -( b 2 -4 ac )/(4 a )) может быть получен из графика функции f ( x )= x 2 следующими преобразованиями:
а) параллельным переносом r =(- b /(2 a ); 0) ;
б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз;
в) параллельным переносом r =(0; -(( b 2 -4 ac )/(4 a ))) .
Степенная функция.
Это функция вида ,
. Рассматриваются такие случаи:
а). Если , то
. Тогда
,
; если число
- чётное, то и функция
- чётная (то есть
при всех
); если число
- нечётное, то и функция
- нечётная (то есть
при всех
).
График степенной функции при
б) Если ,
, то
. Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для
: если
- чётное число, то и
- чётная функция; если
- нечётное число, то и
- нечётная функция.
График степенной функции при
Снова заметим, что при всех
. Если
, то
при всех
, кроме
(выражение
не имеет смысла).
в). Если - не целое число, то, по определению, при
:
; тогда
,
.
График степенной функции при
При , по определению,
; тогда
.
График степенной функции при
1. Область определения степенной функции – множество всех положительных чисел.
2. Область значения степенной функции – множество всех положительных чисел.
3. Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной.
4. Степенная функция непрерывна во всей области определения.
5. Степенная функция дифференцируема во всей области определения, и ее производная вычисляется по формуле
( x a ) ¢ = a . x a -1 .
Степенная функция x a монотонно возрастает во всей области определения при a <0.
6.
![]() |
![]() |
0 1 x 0 1 x
7. При a <0 и a >1 график степенной функции направлен вогнутостью вверх, а при 0<a <1 – вогнутостью вниз.
Показательная функция (экспонента).
Это функция вида (
,
). Для неё
,
,
, и при
график имеет такой вид:
.График показательной функции при
При вид графика такой:
Рис.1.20.График показательной функции при
1. Число называется основанием
показательной функции. Область определения функции – вся числовая прямая.
2. Область значения функции – множество всех положительных чисел.
3. Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле
(a x )¢ =a x lna
4. При а >1 функция монотонно возрастает, при а <1 монотонно убывает.
5. Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.
6. График любой показательной функции пересекает ось 0y в точке y =1.
7. График показательной функции – кривая, направленная вогнутостью вверх.
Логарифмическа я функция .
Это функция вида (
,
). Для неё
,
,
, и при
график имеет такой вид:
График логарифмической функции при
При график получается такой:
График логарифмической функции при
1. Число называется основанием
логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия. Область определения логарифмической функции – промежуток (0; +¥).
2. Область значения логарифмической функции – вся числовая прчмая.
3. Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле
( loga x) ¢ = 1/(x ln a).
4. Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а >1. При 0<a <1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.
5. При любом основании a >0, a ¹1, имеют место равенства
loga 1 = 0, loga a =1.
6. При а >1 график логарифмической функции – кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a <1 – кривая, направленная вогнутостью вверх.
тригонометрические функции
Функции sin a , cos a , tg a , ctg a называются тригонометрическими функциями угла a. Кроме основных тригонометрических функций sina, cosa, tga, ctga.
Функция синус
.
. Для неё
; функция периодична с периодом
и нечётна. Её график таков:
График функции
![]() |
![]() |
Синусом числа х называется число, равное синусу угла в радианах.
1. Область определения – множество всех действительных чисел.
2. Область значения – промежуток [-1; 1].
3. Функцияsin х – нечетная: sin (-х)=- sin х.
4. Функция sin х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p:
sin (х+2p)= sin х.
5. Нули функции: sin х=0 при x=pn, n ÎZ .
6. Промежутки знакопостоянства:
sin х>0 при xÎ (2pn ; p+2pn ), n ÎZ ,
sin х<0 при xÎ (p+2pn ; 2p+2pn ), n ÎZ .
7. Функция sin х непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:
(sin х)¢ =cos x.
8. Функция sin х возрастает при xÎ ((-p/2)+2pn; (p/2)+2pn ), n ÎZ ,
и убывает при xÎ ((p/2)+2pn ; ((3p)/2)+ 2pn ), n ÎZ .
9. Функция sin х имеет минимальные значения, равные –1, при х=(-p/2)+2pn , n ÎZ , и максимальные значения, равные 1, при х=(p/2)+2pn , n ÎZ .
![]() |
Функция косинус.
. Эта функция связана с синусом формулой приведения:
;
; период функции
равен
; функция
чётна. Её график таков:
1.График функции Область определения – множество всех действительных чисел.
2.Область значения – промежуток [-1; 1].
3.Функцияcos х – четная: cos (-х)=cos х.
4.Функция cos х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p:
cos (х+2p)= cos х.
5.Нули функции: cosх=0 при x=(p/2)+2pn, n ÎZ .
6.Промежутки знакопостоянства:
cos х>0 при xÎ ((-p/2)+2pn; (p/2)+2pn )), n ÎZ ,
cos х<0 при xÎ ((p/2)+2pn ); ((3p)/2)+ 2pn )), n ÎZ .
7.Функция cos х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента:
(cos х)¢ =-sin x.
8.Функция cos х возрастает при xÎ (-p+2pn; 2pn ), n ÎZ ,
и убывает при xÎ (2pn ; p+ 2pn ), n ÎZ .
Функция cos х имеет минимальные значения, равные –1, при х=p+2pn , n ÎZ , и максимальные
Функция тангенс.
(в англоязычной литературе обозначается также
). По определению,
. Функция
нечётна и периодична с периодом
;
то есть не может принимать значений
,
, при которых
(стоящий в знаменателе) обращается в ноль.
1.График функции Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме числа х=p/2+pn
, n
ÎZ
.
2.Область значения – множество всех действительных чисел.
3.Функцияtg х – нечетная: tg (-х)=- tg х.
4.Функция tg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен p:
tg (х+p)= tg х.
5.Нули функции: tg х=0 при x=pn, n ÎZ .
6.Промежутки знакопостоянства:
tg х>0 при xÎ (pn ; (p/2)+pn ), n ÎZ ,
tg х<0 при xÎ ((-p/2)+pn ; pn ), n ÎZ .
7.Функция tg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:
(tg х)¢ =1/cos2 x.
8.Функция tg х возрастает в каждом из промежутков ((-p/2)+pn; (p/2)+pn ), n ÎZ ,
Функция котангенс.
(в англоязычной литературе также
). По определению,
. Если
(
), то
. Функция
нечётна и периодична с периодом
;
то есть не может принимать значения вида
,
, при которых
обращается в 0.
1.График функции Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=pn
, n
ÎZ
.
2.Область значения – множество всех действительных чисел.
3.Функциясtg х – нечетная: сtg (-х)=- сtg х.
4.Функция сtg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен p:
сtg (х+p)= ctg х.
5.Нули функции: ctg х=0 при x=(p/2)+pn, n ÎZ .
6.Промежутки знакопостоянства:
ctg х>0 при xÎ (pn ; (p/2)+pn ), n ÎZ ,
ctg х<0 при xÎ ((p/2)+pn ; p(n +1)), n ÎZ .
7.Функция ctg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:
(ctg х)¢ =-(1/sin2 x).
8.Функция ctg х убывает в каждом из промежутков (pn; p(n +1)), n ÎZ .
Обратные тригонометрические функции.
Это функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к главным ветвям синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно.
Arcsin x :
1. Область определения – [-1; 1].
2. Область значений – [-П2; п2].
3. Монотонно возрастающая функция. (рис. 12)
Графики главной ветви и
Arctg x :
1. Область определений – R.
2. Область значений - интервал (-П2; П2).
3. Монотонно возрастающая функция.
4. прямые у=-П2 и у=П2 – горизонтальные асимптоты.(рис. 13)
Графики главной ветви и
Список использованной литературы
1. Ш. А. Алимов «Алгебра», М., 1981 г.
2. А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа», М., 1991 г.
Похожие работы
-
Национальная система стандартизации Российской Федерации
Для усиления роли стандартизации в техническом прогрессе, повышения качества, конкурентности продукции и экономичности ее производства в России была разработана и введена в действие Государственная система стандартизации (ГСС).
-
Конструкторская документация 2
Министерство сельского хозяйства РФ ФГОУ ВПО «Ульяновская государственная сельскохозяйственная академия» Контрольная работа По дисциплине «Начертательная геометрия»
-
Нелинейное уравнение и интервал изоляции корня
Изучение методов уточнения корней нелинейных уравнений (половинного деления, хорд, касательных, простой итерации). Метод хорд и касательных дает высокую скорость сходимости при решении уравнений, и небольшую - метод половинного деления и простой итерации.
-
Метод хорд
Министерство образования и науки РФ Рязанская Государственная Радиотехническая Академия Кафедра САПР ВС Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине ,,Информатика”
-
Математика
Министерство науки, высшей школы и технической политики Российской Федерации. Новосибирский Государственный Технический Университет. Контрольная работа по специальным главам математики.
-
Функции нескольких переменных в экономических задачах
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Департамент кадровой политики и образования ФГОУ ВПО Ижевская ГСХА кафедра высшей математики
-
Системный анализ повышения эффективности работы персонала на примере КОГУП Советское ДЭП 3
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации ФГОУ ВПО «Вятская государственная сельскохозяйственная академия» Экономический факультет
-
Системы образующих. Циклические группы
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Департамент научно-технологической политики и образования ФГОУ ВПО «Красноярский аграрный университет» Институт экономики и финансов АПК
-
Статистические расчеты
Министерство образования и науки Украины Донбасская государственная машиностроительная академия Контрольная работа по дисциплине «Статистика»
-
Разработка формальной системы
Министерство образования Российской Федерации Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра ВПМ Разработка формальной системы Пояснительная записка к курсовому проекту