Название: Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат
Вид работы: статья
Рубрика: Математика
Размер файла: 51.52 Kb
Скачать файл: referat.me-215841.docx
Краткое описание работы: Векторные операторы (grad, div, rot), фигурирующие в уравнениях Максвелла, по-разному записываются в различных системах координат.
Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат
.
М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Уравнения Максвелла для электростатики имеют вид:
![]() |
= | ρ |
![]() |
= | ![]() |
При этом
![]() |
(4) |
В вакууме ε = 1, так что
![]() |
(5) |
Потенциал φ считается равным нулю на бесконечности, если не оговорено иное.
Векторные операторы (grad, div, rot), фигурирующие в уравнениях Максвелла, по-разному записываются в различных системах координат:
![]() |
= | ![]() |
(6) |
![]() |
(7) | ||
![]() |
(8) |
![]() |
= | ![]() |
(9) |
![]() |
(10) | ||
![]() |
(11) |
Δ φ | = | ![]() |
(12) |
![]() |
(13) | ||
![]() |
(14) |
Для цилиндрической и сферической систем выписана лишь радиальная часть соответствующих операторов. Этого достаточно для решения задач, в которых электрические величины зависят только от r.
![]() |
= | ![]() |
(15) |
Задача. Электрическое поле зависит только от координаты x согласно формуле . Требуется вычислить распределение заряда ρ(x) и распределение потенциала φ(x). При нахождении φ(x) принять φ|x = 0 = 0.
Решение: Распределение заряда находится непосредственно из уравнения Максвелла:
ρ | = | ![]() |
ρ | = | ![]() |
Для нахождения потенциала φ(x) необходимо интегрирование уравнения (4), причем с обоснованно взятыми пределами, а именно от точки x = x*, в которой φ(x*) = 0 до точки x, в которой ищется потенциал:
![]() |
В условии сказано, что φ(0) = 0 - это и диктует выбор нижнего предела:
![]() |
В качестве переменной интегрирования мы используем , чтобы избежать путаницы с x. Теперь мы проводим вычисление и приходим к окончательному ответу:
φ(x) | = | ![]() |
= | ![]() |
Задача. В некоторой области распределение потенциала является цилиндрически-симметричным и подчиняется закону φ = α r5, где r - расстояние от оси. Найти Er(r) и ρ(r) для этой области.
Ответ: Er(r) = –5α r4, ρ(r) = –25ε0α r3
Задача. Потенциал внутри шара зависит от координаты r как φ(r) = ar2+b (a, b - константы). Найти ρ(r).
Решение Мы имеем дело со сферической системой и должны работать в ней. Ввиду симметрии, электрическое поле направлено от центра шара (или, вообще говоря, к нему - это зависит от знака a). Поле находим как градиент потенциала:
![]() |
После этого сразу записывается (у нас ε = 1):
![]() |
Далее используем уравнение Максвелла для нахождения заряда:
![]() |
Задача. В цилиндрической системе имеется электрическое поле , α>0. Выяснить, какому распределению заряда ρ(r) и какому потенциалу φ(r) такое поле соответствует.
Ответ: ρ(r) = Aε0exp(–α r)(2–α r),
Задача. Проверить, выполняется ли критерий потенциальности () для поля
и для поля
.
Ответ: Для первого поля - да, для второго - нет.
Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.
Похожие работы
-
Основы теории относительности
Важнейшими постулатами классической механики, основы которой были заложены Галилеем и Ньютоном, являются принцип изотропности и однородности пространства и времени, три закона Ньютона, а также закон сложения скоростей Галилея.
-
Задачи по Математике 2
Часть 1. Системы координат. Коэффициент Ламэ. Элементы векторной алгебры. (х0, у0) равно: Ответ: 0 [z0, y0] равно: Ответ: - х0 [z0, x0] равно: Ответ: y0
-
Основные сведения из векторной алгебры
Векторная алгебра Основные сведения из векторной алгебры. Различают два рода величин: скалярные и векторные. 1. Если некоторая величина вполне определяется ее числовым значением, то ее называют скалярной. Примерами скалярных величин могут служить: масса, плотность, работа, сила тока, температура.
-
О скрытых возможностях физического содержания уравнений Максвелла классической электродинамики
Показана возможность концептуальной модернизации традиционных представлений клас-сической электродинамики о структуре и свойствах электромагнитного поля, позволяющей вы-явить принципиально новые реалии в физическом содержании уравнений Максвелла.
-
О физической значимости векторных потенциалов в классической электродинамике
Общепринято считать, что явления электромагнетизма физически полно представлены векторными электромагнитными полями, свойства которых исчерпывающе описываются систе-мой электродинамических уравнений, сформулированных в окончательной форме Максвеллом.
-
Крах релятивизма Лоренца – Эйнштейна
Принцип познания путем сравнения определен как принцип относительности. Впервые этот принцип сформулировал Галилей. Он рассматривал два тела, две системы отсчета, определяемые координатами x, y, z, которые измеряются в пространстве.
-
Классическая электродинамика
Непрерывные распределения зарядов. Операторы. Закон электромагнитной индукции Фарадея. Противоречия между электродинамикой и классической физикой.
-
Расчет электрических полей при наличии диэлектриков. Поляризованность. Связанный заряд.
Уравнения Максвелла и уравнение Пуассона применимы при наличии любых диэлектриков. Следует только помнить, что ε может зависеть от координат, и его в общем случае нельзя выносить из-под знака div.
-
Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях
Для решения задач применяется выражение представляющее собой комбинацию уравнения Максвелла с теоремой Гаусса.
-
Эрмитовы операторы
Рассмотрение понятия тождественного (единичного) оператора. Анализ методов решения линейных однородного и неоднородного уравнений. Ознакомление с определением эрмитовости оператора. Доказательство теоремы о свойствах ортогональности собственных функций.