Название: Системи лінійних рівнянь
Вид работы: контрольная работа
Рубрика: Математика
Размер файла: 62.13 Kb
Скачать файл: referat.me-215897.docx
Краткое описание работы: Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.
Системи лінійних рівнянь
СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
1. Основні поняття і теореми
Постановка задачі.
Потрібно знайти значення х
1, х
2, … , хn
, що задовольняють таким співвідношенням: .
Тут aij (i = 1, 2, … , m ; j = 1, 2, … , n ) і bk (k = 1, 2, … , m ) – задані числа.
При цьому:;
;
.
Матриця А називається головною матрицею системи, вектор b – вектором-стовпцем правих частин, вектор x – вектором-стовпцем невідомих.
Використовуючи ці позначки, можна систему записати в матричній формі: Ах = b .
Якщо b 1 = b 2 = ¼ = bm = 0, то система рівнянь називається однорідною . Якщо хоча б одне з bk (k = 1, 2, ¼ , m ) відмінне від нуля, то система називається неоднорідною .
.
Матриця називається розширеною матрицею
системи.
Якщо система має хоча б один розв’язок, то вона називається сумісною .
При цьому система, що має єдиний розв’язок, називається визначеною , а більше одного розв’язку – невизначеною .
Якщо система не має розв’язків, то вона називається несумісною .
При розв’язуванні систем лінійних рівнянь має бути знайдена відповідь на три запитання:
А. Чи сумісна система?
В. Чи визначена система?
С. Як знайти розв’язок (чи розв’язки) системи, якщо вони існують?
Правило Крамера.
Якщо неоднорідна система рівнянь невироджена (detА
¹ 0), то система визначена, тобто має єдиний розв’язок, і його можна знайти за формулами Крамера: (k
= 1, 2, … , n
) де Dk
– визначник матриці, яку можна одержати, якщо в матриці А
системи k-
й стовпець замінити на стовпець вільних членів.
Ранг матриці. З розв’язуванням систем рівнянь безпосередньо пов'язане поняття рангу матриці. Ранг матриці – це найвищий порядок її мінора, відмінного від нуля.
Для того щоб знайти ранг матриці, важливо орієнтуватися в тому, які перетворення з матрицею можна робити, не змінюючи при цьому її ранг:
1) транспонування;
2) перестановка двох рядків (стовпців);
3) множення всіх елементів рядка (або стовпця) на число a¹ 0;
4) додавання до всіх елементів рядка (стовпця) відповіднихелементів іншого рядка (стовпця);
5) вилучення нульового рядка (стовпця);
6) викреслення рядка (стовпця), що є лінійною комбінацією інших рядків (стовпців).
Однорідні системи. Розглядається однорідна система лінійних рівнянь з n невідомими: Ах = 0.
Якщо rangА = n (detА ¹ 0), то система визначена і має тільки тривіальний розв’язок: x 1 = x 2 = … = xn = 0.
Якщо rangА < n (detА = 0), то система має не тільки тривіальні розв’язки. При цьому всі розв’язки однорідної системи рівнянь утворюють лінійний простір L і dim L = n – rangА .
Щоб знайти базис простору розв’язків однорідної системи рівнянь, треба:
1.Знайти базисний мінор матриці А .
2.Якщо рядок не входить до базисного мінора, то рівняння, яке йому відповідає, є лінійною комбінацією інших рівнянь, і його можна не брати до уваги.
3.Якщо стовпець не входить у базисний мінор, то невідома з відповідним номером призначається вільною. Усього знайдеться (n – rang A ) вільних невідомих.
4.Нехай вільні невідомі хr +1, хr +2, … , хn . Якщо дати вільним невідомим довільні значення, то одержимо неоднорідну систему рівнянь відносно хr +1, хr +2, … , х n , у якої визначник не дорівнює нулю, і, отже, система має єдиний розв’язок.
5.Дамо вільним невідомим значення (1, 0, 0, 0, … , 0), потім (0, 1, 0, 0, … , 0) і т. д. Розв’язуючи системи, що утворюють, одержимо відповідно вектори . Ці вектори й утворюють базис простору L
розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь.
6.Загальний розв’язок лінійної системи однорідних рівнянь у цьому випадку є лінійною комбінацією базисних векторів:
.
Неоднорідні системи.
Теорема Кронекера – Капеллі: система неоднорідних лінійних рівнянь Ах
= b
сумісна тоді і тільки тоді, коли rangА
= rang.
При цьому якщо rangА
= rang= n
, то система має єдиний розв’язок і він може бути знайдений за правилом Крамера.
Якщо rangА
= rang<n
, то система має нескінченно багато розв’язків, які утворюють лінійний многовид. При цьому підпростір зсуву – це простір L
розв’язків однорідної системи рівнянь, і його базис можна побудувати способом, який було розглянуто вище. Вектор зсуву – це частинний розв’язок неоднорідної системи рівнянь. і він може бути знайдений, якщо в неоднорідній системі вільні невідомі покласти рівними деяким довільним значенням (наприклад, нульовим).
Загальний розв’язок неоднорідної системи – це загальний розв’язок відповідної однорідної системи плюс деякий частинний розв’язок неоднорідної системи. Останнє твердження можна записати через абревіатури відповідних термінів: З.Р.Н.С. = З.Р.О.С. + Ч.Р.Н.С.
Обернена матриця . Запишемо систему в матричному вигляді Ах = b . Якщо detА ¹ 0 (така матриця А називається невиродженою ), то для матриці А існує матриця А –1 така, що А –1А = АА –1 = Е .Така матриця називається оберненою до матриці А , і розв’язок системи можна записати за допомогою оберненої матриці у вигляді: А –1Ах = А –1b Þх = А –1b .
Таким чином, у випадку існування оберненої матриці А –1розв’язок системи має вигляд: х = А –1b .
Як же знайти обернену матрицю А –1 до невиродженої матриці А ?
I спосіб.
1) Складемо матрицю Аik з алгебраїчних доповнень до елементів аik матриці А ;
2) транспонуємо матрицю з алгебраїчних доповнень;
3) кожен елемент матриці, що утворилась, ділимо на detА .
В результаті маємо обернену матрицю – А-1.
II спосіб.
1) Запишемо матрицю А , а праворуч від неї, через вертикальну риску, –одиничну матрицю Е . Одержимо матрицю яка має n рядків та 2n стовпців;
2) у матриці, що утворилась, за допомогою застосування до рядків (і тільки до рядків) перетворень, що не змінюють ранг матриці, утворимо на місці матриці А одиничну матрицю.
На місці одиничної матриці тепер стоїть А –1.
III спосіб. Праворуч від матриці припишемо одиничну матрицю Е , а знизу припишемо матрицю (–Е ). У правому нижньому куті поставимо нульову матрицю. Використовуючи операції тільки над рядками матриці, що утворилась, на місці матриці (–Е ) утворимо нульову матрицю. Тоді у правому нижньому куті буде стояти А –1.
IV спосіб.
Для обернення матриці, що має блокову структуру, тобто матриці вигляду: , де А
– квадратна матриця порядку n
´n
, а D
– квадратна матриця q
´q
, справедливі дві формули Фробеніуса:
1.Перша формула Фробеніуса (якщо detА ¹ 0):
, де H
= D
– CA
–1B
.
2.Друга формула Фробеніуса (якщо detD ¹ 0):
, де K
= A
– BD
–1C
.
2. Контрольні питання і завдання
1. Що таке ранг матриці і її базисний мінор? Чи визначаються вони однозначно?
2. Знайти ранг і всі базисні мінори матриці: .
3. Як пов'язані ранг матриці і вимірність лінійної оболонки її рядків.
4. Чому дорівнює вимірність простору розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь, якщо в системі 10 рівнянь, 16 невідомих і ранг матриці системи дорівнює 6?
5. Чи утворює множина розв’язків неоднорідної системи лінійний простір? Яка з властивостей лінійного простору не виконується?
6. Згадайте визначення лінійного многовиду. Що називається його базисом і вимірністю?
7. Як визначається вектор зсуву для лінійного многовиду, що є множиною розв’язків неоднорідної системи?
3. Приклади розв’язування задач
Задача 1.
Знайти ранг матриці .
Розв’язання. Насамперед відзначимо, що четвертий рядок матриці є сумою другого і третього рядків і тому при вилученні цього рядка ранг матриці не зміниться.
1.Відкинемо четвертий рядок.
2.З другого і третього рядків матриці віднімемо перший рядок, помножений, відповідно, на 2 та 3.
3.В отриманій матриці з третього рядка віднімемо другий, помножений на 2.
Одержимо ланцюжок перетворень:
лінійний рівняння матриця
.
У матриці, що утворилась, мінор, який стоїть в перших трьох стовпцях, не дорівнює нулю. Отже, ранг вихідної матриці дорівнює 3 і мінор 3-го порядку, що стоїть в перших трьох стовпцях, є базисним мінором матриці А.
Задача 2. Знайти матрицю, яка є оберненою до матриці
.
Розв’язання.
Знайдемо обернену матрицю за визначенням. Нехай обернена матриця має вигляд: . Тоді, за визначенням,
АА
–1 = Е
, тобто .
Знаходячи добуток матриць, одержимо рівності:
.
Із цих співвідношень одержуємо: g = 0, d = 0, a = 1; далі: h = 0, e =1, b = –3. І нарешті: m = 1, f = –2, c = 11. У підсумку дійдемо висновку, що:
.
Задача 3.
Знайти матрицю, яка є оберненою до матриці .
Розв’язання. Побудуємо матрицю 6 ´ 6, дописавши праворуч від А одиничну матрицю Е , внизу матрицю (– Е ), а інші місця заповнимо нулями.
.
За допомогою операцій над рядками матриці А ¢ утворимо на місці (–Е ) нульову матрицю. Тоді в правому нижньому куті буде стояти матриця А –1.
1.До всіх рядків матриці А ¢ додамо третій рядок з деяким множником, домагаючись того, щоб всі елементи першого стовпця, крім а 31, дорівнювали нулю.
2.Перший рядок отриманої матриці поділимо на (–3) і, додаючи до інших рядків матриці отриманий перший рядок з деякими множниками, досягаємо того, щоб у другому стовпці стояли нулі, крім елемента а 12.
3.За допомогою другого рядка утворимо нулі в третьому стовпці, крім елемента а 23.
Одержимо ланцюжок перетворень:
Звідси укладаємо, що .
Задача 4.
Знайти матрицю, яка є оберненою до .
Розв’язання.
Для обернення матриці застосуємо першу формулу Фробеніуса. Позначимо: ,
,
,
.
Знаходимо послідовно:
;
;
;
.
І тоді . Привабливість зазначеного способу полягає в тому, що для обернення матриці 4-го порядку ми маємо справу з оберненням матриць лише 2-го порядку, що істотно простіше.
Задача 5.
За допомогою правила Крамера розв’язати систему лінійних неоднорідних рівнянь: .
Розв’язання.
Головна матриця системи має вигляд: .
Розв’язок системи може бути знайдений за правилом Крамера, тому що detА = D = 18 ¹ 0. Для цього побудуємо визначники Dх , Dу , Dz , які відрізняються від головного визначника тим, що в ньому стовпець коефіцієнтів при, відповідно, х , у та z замінено на стовпець вільних членів, тобто:
.
Обчислюючи їх, знаходимо, що Dх = 18, Dу = 36, Dz = 54.
Отже .
Задача 6. Розв’язати систему лінійних однорідних рівнянь:
Розв’язання. Насамперед відзначимо, що система напевне сумісна, оскільки однорідна система завжди має щонайменше нульовий розв’язок.
Почнемо пошук загального розв’язку даної системи. Головна матриця системи має вигляд: .
Знайдемо ранг матриці А. Перший рядок матриці з відповідними множниками додамо до інших рядків матриці так, щоб елементи першого стовпця обернулися на нуль, крім елемента а 11. Вийде матриця А 1 така, що
rangА
1 = rangА
і .
Відзначаючи, що третій і четвертий рядки матриці пропорційні другому рядку, укладаємо, що rangА
1 = rangА
2, де . Помножимо другий рядок матриці А
2 на (–2) і додамо до першого рядка. Одержимо матрицю А3:
, таку, що rangА
3 = rangА
2 = 2. У підсумку rangА
= rangА
3 = 2.
Тоді вийшла система двох рівнянь, з яких можна написати:
х 1 = 14х 3 – 7х 4 + 3х 5 – х 6, х 2 = –7х 3 + 2х 4 – х 5 – 2х 6 і змінні х 3, х 4, х 5, х 6 – будь-які. Це і є розв’язок системи.
Однак можна (і необхідно) піти далі. Множина розв’язків лінійної однорідної системи утворює лінійний простір L вимірності dimL = n – rangА = 6 – 2 = 4. Для знаходження базисних векторів простору розв’язків надамо вільним невідомим х 3, х 4, х 5, х 6 значення: а) 1, 0, 0, 0; б) 0, 1, 0, 0; в) 0, 0, 1, 0; г) 0, 0, 0, 1. Одержимо чотири вектори, що утворять базис L : е 1 = (14, –7, 1, 0, 0, 0); е 2 = (–7, 2, 0, 1, 0, 0); е 3 = (3, –1, 0, 0, 1, 0); е 4 = (–1, –2, 0, 0, 0, 1). У такий спосіб L = ℒ(е 1, е 2, е 3, е 4), і будь-який розв’язок вихідної системи може бути записаний у вигляді лінійної комбінації базисних векторів, тобто у вигляді: с 1(14, –7, 1, 0, 0, 0) + с 2(–7, 2, 0, 1, 0, 0) + с 3(3, –1, 0, 0, 1, 0) + с 4(–1, –2, 0, 0, 0, 1), де с 1, с 2, с 3, с 4 – будь-які значення. Це і є загальний розв’язок вихідної лінійної однорідної системи рівнянь.
Задача 7. Розв’язати систему лінійних неоднорідних рівнянь
Розв’язання.
Розширена матриця системи рівнянь має вигляд: , причому до вертикальної риски записана головна матриця системи, а після вертикальної риски – стовпець вільних членів. Перетворюючи матрицю
аналогічно до того, як перетворювалася матриця А
в розв’язку попередньої задачі, одержимо матрицю А
таку, що rang
= rangА
= 2 і
. Звідси можна записати загальний розв’язок системи у вигляді: х
1 = 1 + 14х
3 – 7х
4 – 3х
5, х
2 = 2 – 7х
3 + 2х
4 – х
5, де х
3, х
4, х
5 – будь-які.
Це і є загальний розв’язок вихідної системи лінійних рівнянь. Однак з метою прояснення алгебраїчної структури розв’язку системи відзначимо таке:
Враховуючи, що rang = rang A
= 2 < n
= 5, можемо зазначити, що множина розв’язків системи являє собою лінійний многовид. Вектором зсуву цього лінійного многовиду є частинний розв’язок неоднорідної системи рівнянь, для знаходження якого дамо вільним невідомим х
3, х
4, х
5 довільні значення (наприклад нулі) і одержимо: f
= (1, 2, 0, 0, 0). Підпростором зсуву є простір розв’язків однорідної системи з матрицею А
2, яка збігається з головною матрицею вихідної системи неоднорідних рівнянь
.
Звідси х 1 = 14х 3 – 7х 4 – 3х 5, х 2 = – 7х 3 + 2х 4 – х 5, де х 3, х 4, х 5 – будь-які. Даючи вільним змінним х 3, х 4, х 5 значення: а) 1, 0, 0; б) 0,1,0; в) 0, 0, 1; одержимо, відповідно, базисні вектори простору L розв’язків однорідної системи рівнянь:е 1 = (14, –7, 1, 0, 0), е 2 = (–7, 2, 0, 1, 0), е 3 = (–3, –1, 0, 0, 1).
Отже, розв’язки вихідної системи утворюють лінійний многовид М :
M = {x ½x = f + c 1e 1 + c2e2 + c 3e 3}, де c 1, c2 , c 3 – будь-які,
Похожие работы
-
Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора
Важливість ролі власних векторів. Векторний простір і лінійний оператор в ортогональному проектуванні його на площину. Роль одновимірних інваріантних підпросторів. Вигляд матриці оператора в базисі, що складається з власних векторів цього оператора.
-
Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами Застосування теорії диференціальних рівнян
Пошукова робота на тему: Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці. Поняття про різницеві методи. Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса.
-
Стійкість системи лінійних алгебраїчних рівнянь
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ІНФОРМАТИКИ Курсова робота по чисельним методам на тему:”Стійкість СЛАР”
-
Обчислювальна математика
РЕФЕРАТ Об'єкт дослідження - система лінійних рівнянь. Ціль роботи – опис метода Крамера, розробка програми, за допомогою якої методом Крамера можна вирішити систему лінійних рівнянь.
-
Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь Фундаментальна сукупність розвязків
Міністерство освіти і науки України Закарпатський державний університет ІНСТИТУТ ІНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН Реєстраційний №____
-
ЛІнійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами Задача Коші
Реферат З дисципліни “Вища математика” Розділ 4 “Диференціальні рівняння” на тему: “Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами. Задача Коші”
-
Розв язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера методом Гаусса та за до
Пошукова робота на тему: Розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера, методом Гаусса та за допомогою оберненої матриці. Теорема Кронекера-Капеллі, її застосування до дослідження і розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
-
Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
-
Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса
Запис системи рівнянь та їх розв'язання за допомогою методів оберненої матриці та Гауса. Поняття вектора-стовпця з невідомих та вільних членів. Пошук оберненої матриці до даної. Послідовне виключення невідомих за допомогою елементарних перетворень.
-
Представлення і перетворення фігур
ПРЕДСТАВЛЕННЯ І ПЕРЕТВОРЕННЯ ТОЧОК Представлення точок здійснюється наступним чином: На площині У просторі Перетворення точок. Розглянемо результати матричного множення