Название: Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 50.33 Kb
Скачать файл: referat.me-216978.docx
Краткое описание работы: Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E. u: ║x-u║
Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу
Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E. "e"xÎE $u: ║x-u║<e
Теорема: Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.
Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.
Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП LÌE, "eÎ(0,1) $ze ÎEL ║ze ║=1 r(ze ,L)>1-e
Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.
Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.
Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.
Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.
Определение: L плотное в E, если "xÎE $uÎL: ║x-u║<e
Теорема: Чтобы L было плотно в H - ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.
Определение: Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.
Определение: Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.
Определение: Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy
Определение: Непрерывный оператор – Ax-Ax0 при x- x0
Определение: L(X,Y) – пространство линейных операторов
Теорема: Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.
Определение: Ограниченный оператор - "║x║≤1 $с: ║Ax║≤c
Теорема: A – ограниченный -"xÎX ║Ax║≤c║x║
Теорема: Для того чтобы А был непрерывен - чтобы он была ограничен
Теорема: {An } равномерно ограничена -{An }- ограничена.
Теорема: {An x} – ограниченно - {║An ║}- ограничена.
Определение: Сильная (равномерная) сходимость ║An -A║-0, n-¥, обозначают An -A
Определение: Слабая сходимость - "xÎX ║(An -A)x║Y -0, n-¥
Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость -{An } сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1
Теорема: Банаха-Штенгауза An -A n-¥ слабо - 1) {║An ║}- ограничена 2) An -A, x’ÌX, x’=x
Теорема: Хана Банаха. A:D(A)-Y, D(A)ÌX -$ A’:X-Y 1) A’x=Ax, xÎD(A) 2) ║A’║=║A║
Определение: Равномерная ограниченность - $a "x: ║x(t)║≤a
Определение: Равностепенная непрерывность "t1 ,t2 $d: ║x(t1 )-x(t2 )║<e
Теорема: L(X,Y) полное, если Y – полное.
Определение: Ядро – {xÎX | Ax=0}
Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов X* :=L(X,E)
Определение: Сопряженный оператор A* : Y* -X*
Теорема: Банаха A:X-Y и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда $A-1 и ограничен.
Определение: Оператор А – обратимый
Определение: Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A-1 -ограничен.
Теорема: A-1 $и ограничен -$m>0 "xÎX ║Ax║≥m║x║
Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:X-Y – линейный ограниченный функционал -$! yÎH "xÎH f(x)=(x,y)
Определение: MÌX называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.
Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.
Теорема: Хаусдорфа. MÌX компактно -"e>0 $конечная e-сеть
Теорема: Арцела. MÌC[a,b] компактно - все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.
Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.
Определение: s(X,Y) – подпространство компактных операторов
Теорема: Шаудера. AÎs(X,Y) - A* Îs(X* ,Y* )
Линейные нормированные пространства
1. Пространства векторов
сферическая норма
кубическая норма
ромбическая норма
p>1
2. Пространства последовательностей
p>1
или
пространство ограниченных последовательностей
пространство последовательностей, сходящихся к нулю
пространство сходящихся последовательностей
3. Пространства функций
пространство непрерывных на
функций
пространство k раз непрерывно дифференцируемых на
функций
£p [a,b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово)
- пополнение £p
[a,b] (Гильбертово)
Неравенство Гёльдера p,q>0
Неравенство Минковского
Похожие работы
-
Комбинаторные условия фасетности опорных неравенств
Пусть E- конечное множество, H- некоторое семейство его подмножеств. Мы будем рассматривать комбинаторно полные семейства.
-
Шпора по математическому анализу
13. Линейные неоднородные диф ур-я n- го порядка с правой частью квазимногочлена. 1)Квазимногочлены и их свойства 2)Правило нахождения частного решения в нерезонансном случае
-
Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу
Определения. Теоремы. Формулы.
-
Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ
Экзаменационная программа По курсу математического анализа для студентов групп 03-112 - 116. 1. Понятие n-мерного арифметического пространства R . Метрика. Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества в R
-
ТИПИЧНЫЕ ДЕФЕКТЫ В КРИПТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОТОКОЛАХ
Мовсковский Институт Радиотехники, Электроники и АвтоМатики (технический университет). Курсовая работа На тему: “ТИПИЧНЫЕ ДЕФЕКТЫ В КРИПТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОТОКОЛАХ”.
-
Лекции (1-18) по мат. анализу 1 семестр
По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик mail или на сотовый: 8-901-7271056 спросить Ваню екция №1 Ведущая: Голубева Зоя Николаевна
-
Решение задач с использованием векторов и матриц
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА КСАВ-03 4.1 Определение векторов и матриц в МС-документе 4.2 Математические операции над векторами и матрицами 4.3 Встроенные функции для обработки векторов и матриц
-
Элементы теории множеств
Исходные понятия теории множеств. Основные теоретико-множественные отношения. Теория бесконечных множеств. Аксиоматика теории множеств.
-
Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений
Кафедра: Автоматика и информационные технологии "ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ" Екатеринбург 2006 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ
-
Бимедианы четырехугольника
Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей № 43» Исследовательская работа Бимедианы четырехугольника Выполнила: ученица 11 класса МОУ «Лицей № 43»