Название: Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 104.67 Kb
Скачать файл: referat.me-217827.docx
Краткое описание работы: Рассматривается определение поля, примеры и простейшие свойства полей, определения подполя, простого поля и поля рациональных чисел.
Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел
Рассматривается определение поля, примеры и простейшие свойства полей, определения подполя, простого поля и поля рациональных чисел.
п.1. Определение поля.
Определение. Пусть - кольцо с единицей 1. Элемент
из множества
называется обратным в кольце
, если
.
называется обратным к
.
Примеры.
Рассмотрим кольцо целых чисел, то есть кольцо , элемент 2 необратим в этом кольце, так как
, элемент 5 необратим в кольце целых чисел.
- обратимые элементы в кольце целых чисел
Рассмотрим кольцо рациональных чисел , обратимыми являются все элементы кроме
.
Рассмотрим кольцо действительных чисел, то есть кольцо , обратимыми являются все элементы кроме
.
Определение. Поле – это кольцо , если:
- коммутативное кольцо (операция
коммутативна)
- кольцо с единицей 1, единица
.
Всякий ненулевой элемент кольца обратим.
Примеры полей.
- поле рациональных чисел.
- поле действительных чисел.
Это поля с бесконечным числом элементов. Рассмотрим поле с конечным числом элементов.
Поле Галуа - галуафилд.
;
. Определим
операции сложения и умножения:
И
- бинарные операции,
- унарная
Из этой таблицы видно, что операция - коммутативна,
-бинарные операции,
- унарная операция, т.к.
,
.
п.2. Простейшие свойства поля.
Пусть - поле. Обозначение:
.
Если , то
.
Доказательство. Пусть , докажем, что
, то есть
, тогда
противоречие с аксиомой поля
. Если
, то по аксиоме полей
|
,
.
Если ,
.
умножим равенство
справа на
, то есть
.
.
Доказательство. Если , то
, умножая обе части равенства
на
слева,
.
В поле нет делителей 0.
Доказательство. Следует из свойства 3, применяя законы контрапозиции: ,
, значит нет делителей нуля.
Каждое поле является областью целостности.
Доказательство. Следует из определения поля и области целостности.
.
Доказательство. . Умножим обе части равенства справа на
, где
.
, где
.
Доказательство. Выпишем правую часть равна левой части.
, где
.
Доказательство. Правая часть равна левой части.
,
.
Доказательство. Правая часть левая часть.
,
.
Доказательство. Левая часть .
,
.
Если , то
.
Доказательство. Вычислим произведение то есть
обратный элемент к
.
, где
.
Доказательство. Левая часть равна равна правой части.
- коммутативная группа, которая называется мультипликативной группой не равных 0 элементов.
Доказательство. Следует из свойств поля:
1. , так как поле.
2.
3.
4. , так как поле
Так как поле – это кольцо определённого вида, то под гомоморфизмами полей понимаются гомоморфизмы полей. Аналогично для изоморфизмов.
п.3. Подполе.
Определение. Подполем поля называется подкольцом с единицей поля
, в котором всякий ненулевой элемент обратим. Всякое подполе является полем. Подполе поля
, отличное от
называется собственным полем.
Определение. Поле называется простым, если оно не имеет собственных подполей.
Пример. Рассмотрим поле действительных чисел, то есть поле . Для того, чтобы найти подполе надо найти подмножества замкнутые относительно операции
и
подмножеству. Например, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел.
п.4. Поле рациональных чисел.
Алгебраическая система называется системой рациональных чисел, если:
Алгебра - это поле с единицей 1.
Множество замкнуто относительно операции
и
Аксиома минимальности, если такое, что:
а)
б) , тогда
.
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001
Похожие работы
-
Магнитные звёзды
Характерной особенностью "магнитных звёзд" является гладкость и статичность их магнитных полей, в отличие от, например, Солнца, чьё магнитное поле не слишком сильно, дискретно и постоянно изменяется.
-
Электромагнитная масса кулоновского поля
Свободное перемещение статического электрического поля в вакууме хорошо изучено. Однако свойства электромагнитной массы (ЭМ-массы), связанной с кулоновским полем, до сих пор подвергаются обсуждению.
-
Фундаментальная группа. Конечные поля
Конечные поля Цель работы: Изучить конструкцию и простейшие свойства конечных полей. В частности, изучить на примерах конечных полей понятие степени расширения, конструкцию и однозначную определенность поля разложения, простые поля, понятие примитивного элемента, строение конечной, мультипликативной подгруппы поля.
-
Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений
Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений. М.И. Векслер, Г.Г. Зегря Поле внутри проводника равно нулю, поэтому проводники геометрически ограничивают область, где должны решаться уравнения электростатики. На поверхности проводника φ = const (эквипотенциальность).
-
Теория поля и элементы векторного анализа
Элементы математической теории скалярных и векторных полей Математическая теория поля занимается изучением его свойств, отвлекаясь от его конкретного физического смысла. Поэтому получаемое в этой теории понятие и закономерности относятся ко всем конкретным полям.
-
Потенциал поля
Работа сил электрического поля. Циркуляция вектора напряжённости электрического поля. Потенциал поля точечного заряда и системы зарядов. Связь между напряжённостью и потенциалом электрического поля. Эквипотенциальные поверхности.
-
Экзаменационные билеты по теоретической механике
Билеты по разделу "Динамика".
-
Моделирование электростатического поля
Метод моделирования электростатического поля имеет широкое применение на практике. Пользуясь этим методом, изучают сложные электростатические поля (в электростатических линзах, в электронных трубках и т.п.).
-
Вопросы к государственному экзамену по физике
Физический факультет БГПУ (2004 год).
-
Торсионные поля или размышления биофизика
Когда Г. Герц сто лет назад экспериментально получил искусственные электромагнитные волны, это стало вехой не только в науке и технике, но и породило принципиально новую ситуацию в окружающем пространстве Земли.