Название: Дії з векторами
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 88.08 Kb
Скачать файл: referat.me-218056.docx
Краткое описание работы: 1.4. . Означення 5 . Сумою двох векторів називають вектор , який сполучає початок вектора з кінцем вектора при умові, що початок вектора вміщено в кінець вектора
Дії з векторами
1.4. Дії з векторами.
Означення 5 . Сумою двох векторів та називають вектор , який сполучає початок вектора з кінцем вектора при умові, що початок вектора вміщено в кінець вектора .
Наприклад, задані вектори та (мал. 6а). Для побудування суми цих векторів перенесли паралельно самому собі, в його кінець вмістили початок вектора та сполучили початок вектора з кінцем вектора (Мал. 6b).
а) b)
Мал.6
Суму кількох векторів , , … , визначають аналогічно: початок кожного слідуючого вектора вміщують в кінець попереднього. Одержують ламану лінію і тоді вектор, який сполучає початок першого вектора з кінцем останнього і є сумою цих всіх векторів.
Зауваження. Різницю двох векторів та будують як суму вектора та вектора (-).
Наприклад,
Мал.7
Означення 6 . Добутком вектора на число k називають вектор , колінеарний з вектором , що має довжину в k раз більшу, ніж та напрям такий самий, як , якщо k > 0 і протилежний до , якщо k < 0.
Означення 7 . Скалярним добутком векторів та називають число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косінус кута j між ними. Скалярний добуток векторів та позначають ×, або (,).
Отже, згідно з означенням:
× =
(1)
Тепер розглянемо дії з векторами, заданими в координатній формі.
¬Правило множення вектора на число .
Щоб помноживши вектор на число k, треба усі координати вектора помноживши на число k , тобто k =
Правило знаходження алгебраїчної суми векторів .
Координати алгебраїчної суми скінченної кількості векторів дорівнюють такій же алгебраїчній сумі відповідних координат цих векторів.
Так, у випадку алгебраїчної суми трьох векторів:
, ,
їх алгебраїчна сума знаходиться за формулою
=
®Знаходження скалярного добутку векторів та
Згідно з правилом множення матриць одержимо:
× =
(2)
тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їх однойменних координат.
Якщо =, тоді кут між ними дорівнює нулю, і з формули (1) випливає, що .
Звідси одержуємо , або враховуючи формулу (2)
(3)
Із формули (1) маємо:
(4)
Підставимо формули (2) та (3) у формулу (4), тоді одержимо формулу для знаходження косінуса кута між векторами та у вигляді:
(5)
Якщо ^,тоді і одержимо × = 0 (6)
Приклад . Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах = (2,1,0) та = (0,-2,1).
Розв’язування . За умовою задачі паралелограм побудовано на векторах та (дивись Мал.8.)
Мал.8
Позначимо цей паралелограм АВСD ( та - довільні);
Отже, діогоналі паралелограма, побудованого на векторах та (довільні) будуть вектори та Знайдемо координати цих векторів для заданих векторів та ;
= (2+0; 1+(-2); 0+1) = (2; -1; 1)
= (2-0; 1-(-2); 0-1) = (2; 3; -1)
Тепер за формулою (5) можна знайти косінус потрібного кута, який позначимо :
З рівності випливає, що , тобто ці вектори взаємно перпендикулярні.
Похожие работы
-
Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора
Важливість ролі власних векторів. Векторний простір і лінійний оператор в ортогональному проектуванні його на площину. Роль одновимірних інваріантних підпросторів. Вигляд матриці оператора в базисі, що складається з власних векторів цього оператора.
-
Теория вектора
Теория вектора Содержание 1. Что такое вектор ? 2. Сложение векторов. 3. Равенство векторов. 4. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. 5. Свойства операций над векторами.
-
Знаходження власних значеннь лінійого оператора
Міністерство освіти і науки України ФАКУЛЬТЕТ ІНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ІНФОРМАЦІЙНИХ УПРАВЛЯЮЧИХ СИСТЕМ ТА ТЕХНОЛОГІЙ Реєстраційний №________ Дата ___________________
-
Задачи по Математике 2
Часть 1. Системы координат. Коэффициент Ламэ. Элементы векторной алгебры. (х0, у0) равно: Ответ: 0 [z0, y0] равно: Ответ: - х0 [z0, x0] равно: Ответ: y0
-
Комплексні числа Поняття про комплексне число
Реферат на тему: Комплексні числа Означення уявної одиниці. Розширення множини дійсних чисел. Поняття про комплексне число. У багатьох розділах математики та її застосуваннях неможливо обмежитися розглядом лише дійсних чисел. Вже досить давно під час розв’язування різних задач виникла потреба добувати квадратний корінь з від’ємних чисел.
-
Векторная алгебра 3
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.
-
Комплексні числа
Комплексні числа як розширення множини дійсних чисел. Приклади дії над комплексними числами: додавання, віднімання та множення. Геометрична інтерпретація комплексних чисел. Тригонометрична форма запису комплексних чисел, поняття модуля і аргумента.
-
Векторная алгебра
Свойства и уравнения векторной алгебры.
-
Декартовыми прямоугольными координатами
Декартовыми прямоугольными координатами точки P на плоскости в двухмерной системе координат называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых — осей координат или проекции радиус-вектора r точки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси.
-
Метод векторів та його застосування
Метод векторів та його застосування Вступ Поняття вектора є одним із фундаментальних понять сучасної математики. Його можна визначити по-різному: як напрямлений відрізок, як упорядковану пару точок, що є кінцями напрямленого відрізка, як множину однаково напрямлених відрізків однакової довжини, як упорядковану пару чисел, як паралельне перенесення.