Referat.me

Название: Дії з векторами

Вид работы: реферат

Рубрика: Математика

Размер файла: 88.08 Kb

Скачать файл: referat.me-218056.docx

Краткое описание работы: 1.4. . Означення 5 . Сумою двох векторів називають вектор , який сполучає початок вектора з кінцем вектора при умові, що початок вектора вміщено в кінець вектора

Дії з векторами

1.4. Дії з векторами.

Означення 5 . Сумою двох векторів та називають вектор , який сполучає початок вектора з кінцем вектора при умові, що початок вектора вміщено в кінець вектора .

Наприклад, задані вектори та (мал. 6а). Для побудування суми цих векторів перенесли паралельно самому собі, в його кінець вмістили початок вектора та сполучили початок вектора з кінцем вектора (Мал. 6b).

а) b)

Мал.6

Суму кількох векторів , , … , визначають аналогічно: початок кожного слідуючого вектора вміщують в кінець попереднього. Одержують ламану лінію і тоді вектор, який сполучає початок першого вектора з кінцем останнього і є сумою цих всіх векторів.

Зауваження. Різницю двох векторів та будують як суму вектора та вектора (-).

Наприклад,

Мал.7

Означення 6 . Добутком вектора на число k називають вектор , колінеарний з вектором , що має довжину в k раз більшу, ніж та напрям такий самий, як , якщо k > 0 і протилежний до , якщо k < 0.

Означення 7 . Скалярним добутком векторів та називають число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косінус кута j між ними. Скалярний добуток векторів та позначають ×, або (,).

Отже, згідно з означенням:

× =

(1)

Тепер розглянемо дії з векторами, заданими в координатній формі.

¬Правило множення вектора на число .

Щоб помноживши вектор на число k, треба усі координати вектора помноживши на число k , тобто k =

­Правило знаходження алгебраїчної суми векторів .

Координати алгебраїчної суми скінченної кількості векторів дорівнюють такій же алгебраїчній сумі відповідних координат цих векторів.

Так, у випадку алгебраїчної суми трьох векторів:

, ,

їх алгебраїчна сума знаходиться за формулою

=

®Знаходження скалярного добутку векторів та

Згідно з правилом множення матриць одержимо:

× =

(2)

тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їх однойменних координат.

Якщо =, тоді кут між ними дорівнює нулю, і з формули (1) випливає, що .

Звідси одержуємо , або враховуючи формулу (2)

(3)

Із формули (1) маємо:

(4)

Підставимо формули (2) та (3) у формулу (4), тоді одержимо формулу для знаходження косінуса кута між векторами та у вигляді:

(5)

Якщо ^,тоді і одержимо × = 0 (6)

Приклад . Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах = (2,1,0) та = (0,-2,1).

Розв’язування . За умовою задачі паралелограм побудовано на векторах та (дивись Мал.8.)

Мал.8

Позначимо цей паралелограм АВСD ( та - довільні);

Отже, діогоналі паралелограма, побудованого на векторах та (довільні) будуть вектори та Знайдемо координати цих векторів для заданих векторів та ;

= (2+0; 1+(-2); 0+1) = (2; -1; 1)

= (2-0; 1-(-2); 0-1) = (2; 3; -1)

Тепер за формулою (5) можна знайти косінус потрібного кута, який позначимо :

З рівності випливає, що , тобто ці вектори взаємно перпендикулярні.

Похожие работы

  • Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора

    Важливість ролі власних векторів. Векторний простір і лінійний оператор в ортогональному проектуванні його на площину. Роль одновимірних інваріантних підпросторів. Вигляд матриці оператора в базисі, що складається з власних векторів цього оператора.

  • Теория вектора

    Теория вектора Содержание 1. Что такое вектор ? 2. Сложение векторов. 3. Равенство векторов. 4. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. 5. Свойства операций над векторами.

  • Знаходження власних значеннь лінійого оператора

    Міністерство освіти і науки України ФАКУЛЬТЕТ ІНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ІНФОРМАЦІЙНИХ УПРАВЛЯЮЧИХ СИСТЕМ ТА ТЕХНОЛОГІЙ Реєстраційний №________ Дата ___________________

  • Задачи по Математике 2

    Часть 1. Системы координат. Коэффициент Ламэ. Элементы векторной алгебры. (х0, у0) равно: Ответ: 0 [z0, y0] равно: Ответ: - х0 [z0, x0] равно: Ответ: y0

  • Комплексні числа Поняття про комплексне число

    Реферат на тему: Комплексні числа Означення уявної одиниці. Розширення множини дійсних чисел. Поняття про комплексне число. У багатьох розділах математики та її застосуваннях неможливо обмежитися розглядом лише дійсних чисел. Вже досить давно під час розв’язування різних задач виникла потреба добувати квадратний корінь з від’ємних чисел.

  • Векторная алгебра 3

    ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

  • Комплексні числа

    Комплексні числа як розширення множини дійсних чисел. Приклади дії над комплексними числами: додавання, віднімання та множення. Геометрична інтерпретація комплексних чисел. Тригонометрична форма запису комплексних чисел, поняття модуля і аргумента.

  • Векторная алгебра

    Свойства и уравнения векторной алгебры.

  • Декартовыми прямоугольными координатами

    Декартовыми прямоугольными координатами точки P на плоскости в двухмерной системе координат называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых — осей координат или проекции радиус-вектора r точки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси.

  • Метод векторів та його застосування

    Метод векторів та його застосування Вступ Поняття вектора є одним із фундаментальних понять сучасної математики. Його можна визначити по-різному: як напрямлений відрізок, як упорядковану пару точок, що є кінцями напрямленого відрізка, як множину однаково напрямлених відрізків однакової довжини, як упорядковану пару чисел, як паралельне перенесення.