Referat.me
/ / Векторная алгебра

Название: Векторная алгебра

Вид работы: шпаргалка

Рубрика: Математика

Размер файла: 27.97 Kb

Скачать файл: referat.me-217503.docx

Краткое описание работы: Свойства и уравнения векторной алгебры.

Векторная алгебра

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

Суммой a + b векторов a иb называют вектор , проведенный из начала a к концу b , если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:

a +b=b+a (коммутативность)

(а+b)*с=а*(b+с) (ассоциативность)

a + 0=a (наличие нулевого элемента )

a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента),

где 0 - нулевой вектор, -a есть вектор, противоположный вектору а . Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a.

Произведением l x вектора а на число l в случае l ¹ 0 , а ¹ О называют вектор, модуль которого равен | l || a | и который направлен в ту же сторону, что и вектор a , еслиl >0, и в противоположную, если l <0 . Если l =0 или (и) a =0, то l a =0 . Операция умножения вектора на число обладает свойствами:

l *( a + b )= l * a + l * b (дистрибутивность относительно сложения векторов)

( l +u)* a = l * a + u * a (дистрибутивность относительно сложения чисел)

l *( u * a )=( l * u )* a (ассоциативность)

1*a=a (умножение на единицу)

Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство).

В Векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b , … , с называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a , b ,…, g из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:

a a + b b +… g c =0. (1)

Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ...,c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a,b, ..,с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a , b ,…, g равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.

Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e 1 , e 2 , e 3 трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы:

a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 .

Числа a 1 , a 2 , a 3 называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a={ a 1 , a 2 , a 3 } .

Два вектора a={ a 1 , a 2 , a 3 } и b={ b 1 , b 2 , b 3 } равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a={ a 1 , a 2 , a 3 } и b={ b 1 , b 2 , b 3 } ,b¹0, является пропорциональность их соответствующих координат: a 1 = l b 1 , a 2 = l b 2 , a 3 = l b 3 . Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a={ a 1 , a 2 , a 3 } , b={ b 1 , b 2 , b 3 } и c={ c 1 , c 2 , c 3 } является равенство :

| a 1 a 2 a 3 |

| b 1 b 2 b 3 | = 0

| c 1 c 2 c 3 |

Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов a={ a 1 , a 2 , a 3 } и b={ b 1 , b 2 , b 3 } равны суммам соответствующих координат: a+ b ={a1 +b1 ,a2 +b2 ,a3 +b3 } . Координаты произведения вектора а на число l равны произведениям координат а на l :

l а= { l а1 , l a2 , l a3 }.

Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла j между ними:

(а, b) = | а |*| b | cos j .

За j принимается угол между векторами, не превосходящий p . Если а=0 или b=0 , то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами:

(a, b)= (b, а) (коммутативность),

(a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивность относительно сложения векторов),

l (a,b)=( l a ,b) =(a, l 6) (сочетательность относительно умножения на число),

(a,b)=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или a ^ b.

Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т.е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) i, j, k ( ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов :

a={ a 1 , a 2 , a 3 } и b={ b 1 , b 2 , b 3 }

заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:

( a , b )= a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

Косинус угла j между ненулевыми векторами a={ a 1 , a 2 , a 3 } и b={ b 1 , b 2 , b 3 }

может быть вычислен по формуле:

где и

Косинусы углов вектора a={ a 1 , a 2 , a 3 } с векторами базиса i , j, k называют. направляющими косинусами вектора а:

, , .

Направляющие косинусы обладают следующим свойством:

co s 2 a + cos 2 b + cos 2 g =1

Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Пр. е а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е . Проекции обладают свойствами:

Пр. е ( a + b )= Пр. е a + Пр. е b (аддитивность),

Пр. е a = Пр. е l a (однородность).

Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.

В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки(см. рис). Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.


b b

c c

a a

правило левой руки правило правой руки

Ниже тройку векторов i , j , k следует считать правой .

Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от i к j ). Псевдоскалярным произведением a Vb ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на синус угла j положительного вращения от a к k :

aVb =| a || b |* sin j

Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами:

aVb=-bVa (антикоммутативность),

aV (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивность относительно сложения векторов),

l (aVb)= l aVb (сочетательность относительно умножения на число),

aVb=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или а и b коллинеарны.

Если в ортонормированном базисе векторы а и и имеют координаты {a1 , a 2 } { b 1 , b 2 }, то :

aVb=a1 b1 -a2 b2.

Похожие работы

  • Алгебра и алгебраические системы

    Рассматриваются бинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры.

  • Теория вектора

    Теория вектора Содержание 1. Что такое вектор ? 2. Сложение векторов. 3. Равенство векторов. 4. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. 5. Свойства операций над векторами.

  • Интеграл по поверхности первого рода

    Содержание 1) Интеграл по поверхности первого рода 2) Специальные векторные поля 3) Теорема Стокса 4) Потенциальное поле Литература векторное потенциальное поле интеграл

  • Задачи по Математике 2

    Часть 1. Системы координат. Коэффициент Ламэ. Элементы векторной алгебры. (х0, у0) равно: Ответ: 0 [z0, y0] равно: Ответ: - х0 [z0, x0] равно: Ответ: y0

  • Основные сведения из векторной алгебры

    Векторная алгебра Основные сведения из векторной алгебры. Различают два рода величин: скалярные и векторные. 1. Если некоторая величина вполне определяется ее числовым значением, то ее называют скалярной. Примерами скалярных величин могут служить: масса, плотность, работа, сила тока, температура.

  • Теория поля и элементы векторного анализа

    Элементы математической теории скалярных и векторных полей Математическая теория поля занимается изучением его свойств, отвлекаясь от его конкретного физического смысла. Поэтому получаемое в этой теории понятие и закономерности относятся ко всем конкретным полям.

  • Векторная алгебра 3

    ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

  • по Алгебре и геометрие

    Федеральное агентство связи Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики Межрегиональный центр переподготовки специалистов

  • Контрольные билеты по алгебре

    Алгебра и начала анализа. 11 класс. Билет №1. Функция y = sin x, ее свойства и график. Показательная функция, ее свойства для случая, когда основание больше единицы (доказательство одного из свойств по желанию ученика).

  • Краткие сведения и задачи по курсу векторной и линейной алгебры

    Определение типа кривой по виду уравнения, уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Определение медианы, уравнения средней линии в треугольнике. Вопросы по линейной алгебре. Решение системы уравнения при помощи обратной матрицы.