Статистическая обработка результатов прямых многоразовых измерений с независимыми равноточными

Розрахунково-графічне завдання

з теми:

«Статистична обробка результатів прямих багаторазових вимірювань з незалежними рівноточними спостереженнями»

Виконала:

Студентка групиАП-48б

Арсентьєва К.Г.

Харків 2010

Исходные данные

Экспериментально получены результаты серии наблюдений напряжения U постоянного размера. Результаты наблюдений считаются независимыми и равноточными (по условиям эксперимента). В общем случае они могут содержать систематическую и случайную составляющие погрешности измерений. Указана доверительная вероятность P=0,95 результата измерения.

Задание

По результатам многократных наблюдений определить наиболее достоверное значение измеряемой физической величины и его доверительные границы.

Таблица 1

Доверительная вероятность: P= 0, 99

Доверительные границы:

Разрядность: 5 разрядов*

Количество наблюдений: n = 32

Обработка результатов измерений

Анализируем серию наблюдений на наличие промахов. Если они имеются, то их необходимо исключить из дальнейшей обработки.

При анализе обнаружен один промах U(8)=190.23 и U(24)=159.84 (В). Исключим его из результатов измерений.

Таблица 2

Проверим соответствие экспериментального закона распределения нормальному закону.

Для этого используем составной критерий согласия. Он включает в себя два независимых критерия, их обозначают I и II. Первый из этих критериев (критерий I) обеспечивает проверку соответствия распределения экспериментальных данных нормального закона распределения вблизи центра распределения, а второй критерий (критерий II) – на краях распределения. Если при проверке не удовлетворяется хотя бы один из этих критериев, то гипотеза о нормальности распределения результатов наблюдений отвергается.

Для проверки гипотезы о нормальности распределения исходной серии результатов наблюдений по критерию I вычисляют параметр d, определяемый соотношением:

(1),

где (В) – среднее арифметическое результатов наблюдений U_i , ;

(В) – смещённая оценка СКО результатов наблюдений U_i , .

Для облегчения дальнейших расчетов сведём значения и в таблицу:

Таблица 3

i
1.	0.02	0.0004	0.02
2.	0.41	0.1681	0.41
3.	-0.05	0.0025	0.05
4.	0.17	0.0289	0.17
5.	-0.05	0.0025	0.05
6.	0.01	0.0001	0.01
7.	0.26	0.0676	0.26
8.	-0.16	0.0256	0.16
9.	-0.27	0.0729	0.27
10.	-0.26	0.0676	0.26
11.	0.21	0.0441	0.21
12.	-0.24	0.0576	0.24
13.	-0.33	0.1089	0.33
14.	-0.17	0.0289	0.17
15.	0.35	0.1225	0.35
16.	0.20	0.04	0.20
17.	0.30	0.09	0.30
18.	-0.41	0.1681	0.41
19.	-0.05	0.0025	0.05
20.	-0.23	0.0529	0.23
21.	-0.16	0.0256	0.16
22.	-0.05	0.0025	0.05
23.	0.33	0.1089	0.33
24.	-0.27	0.0729	0.27
25.	-0.09	0.0081	0.09
26.	0.35	0.1225	0.35
27.	0.20	0.04	0.20
28.	-0.12	0.0144	0.12
29.	-0.4	0.16	0.4
30.	0.5	0.25	0.5

Рассчитаем параметр d в соответствии с формулой (1):

Результаты наблюдений U_i считаются распределёнными по нормальному закону, если выполняется следующее условие

,

где , - квантили распределения параметра d. Их находят по таблице П.1 α-процентных точек распределения параметра d по заданному объёму выборки n и принятому для критерия I уровню значимости α₁ . Выберем α₁ и α₂ из условия α≤α₁ +α₂ , где α=1-Р=1-0,99=0,01.

α₁ =0,02 и α₂ =0,01.

Для n=15,р=0,95, α=0,02

a)Для n=30,P=0.99 .

26	0.8901
30	У
31	0.8827

Проведём интерполяцию:

Y(d )=0.8901+0.8(0.8827-0.8901)=0.8901-0.0059=0.8842

Для n=30,P=0.99

26	0.7040
30	У
31	0.7110

Проведём интерполяцию:

Y( )=0,7040+0,8(0,7110-0,7040)=0,7040+0,0056=0,7096

0,7096<0,8643<0,8842

Распределение результатов наблюдений соответствует критерию I.

По критерию II, распределение результатов наблюдений соответствует нормальному закону распределения, если не более m разностей превзошли значение

,

где (В) – несмещенная оценка СКО результатов наблюдений U_i ;

- верхняя квантиль распределения интегральной функции нормированного нормального распределения, соответствующая доверительной вероятности Р₂ . Значение m и Р₂ находим по числу наблюдений n и уровню значимости α₂ для критерия II по таблице П.2 приложения. m=2, Р₂ =0,99. Затем вычисляем:

По таблице П.3 приложения интегральной функции нормированного нормального распределения находят , соответствующее вычисленному значению функции Ф(): при Ф()=0,995;=2,82;

=2,82*0,2597=0,7323 (В).

Ни одно значение не превосходит величину , следовательно распределение результатов наблюдений удовлетворяет и критерию II, поэтому экспериментальный закон распределения соответствует нормальному закону.

Проведём проверку грубых погрешностей результатов наблюдений (оценки анормальности отдельных результатов наблюдений). Для этого:

а) Составим упорядоченный ряд результатов наблюдений, расположив исходные элементы в порядке возрастания, и выполним их перенумерацию:

Таблица 4

б) Для крайних членов упорядоченного ряда U₁ и U₁₅ , которые наиболее удалены от центра распределения (определяемого как среднее арифметическое Ū этого рядя) и поэтому с наибольшей вероятностью могут содержать грубые погрешности, находим модули разностей =(В) и =(В), и для большего из них вычисляем параметр:

в) Для n=30, из таблицы 4 определим =3,071.

Так как t_i < t_T , поэтому грубых результатов нет.

Вычислим несмещенную оценку СКО результата измерения в соответствии с выражением:

(В).

Определим доверительные границы случайной составляющей погрешности измерений с многократными наблюдениями в зависимости от числа наблюдений n 30 в выборке, не содержащей анормальных результатов, по формуле: , где Z– коэффициент по заданной доверительной вероятности Р=0,99 ; Z =2,58

(В).

Определим доверительные границы суммарной не исключённой систематической составляющей погрешности результатов измерений с многократными наблюдениями:

(В).

Определим доверительные границы суммарной (полной) погрешности измерений с многократными наблюдениями.

Так как , тогда

В.

Запишем результат измерений с многократными наблюдениями:

U= (170,000±0,151) В; Р=0,99