Referat.me

Название: Взаимодействия двух радикально пульсирующих пузырьков газа в жидкости

Вид работы: курсовая работа

Рубрика: Физика

Размер файла: 456.02 Kb

Скачать файл: referat.me-342650.docx

Краткое описание работы: В реальных жидкостях присутствует не один, а множество пузырьков и свойства жидкостей зависят от особенностей взаимодействия между пузырьками. Взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости ранние выведенной математической модели.

Взаимодействия двух радикально пульсирующих пузырьков газа в жидкости

МИНЕСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТАТАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Математический факультет

Кафедра вычислительной математики, информатики и методики ее преподавания

КУРСОВАЯ РАБОТА

взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости

Выполнил студент 146 группы: Вафин А.А.

Научный руководитель: д. ф. – м. н. Аганин А. А.

Казань – 2007

Содержание

Введение

1. Постановка задачи в рамках уравнений динамики жидкости

2. Математическая модель взаимодействия пузырьков

3. Методика решения

4. Исследование взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости

5. Заключение

6. Литература

7. Приложение. (Программа расчета).

Введение

К настоящему времени довольно хорошо изучена динамика отдельного пузырька газа в жидкости. Полученные в этом отношении результаты имеют важное теоретическое и прикладное значение. Вместе с тем, в реальных жидкостях, как правило, присутствует не один, а множество пузырьков, так что свойства жидкостей существенно зависят от особенностей взаимодействия между пузырьками. В силу большей сложности этот вопрос является менее изученным, хотя он и имеет важное прикладное значение.

В данной курсовой работе исследуется взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости ранние выведенной математической модели. В принципе, такое взаимодействие можно изучать и на основе широко известных уравнений Навье-Стокса методом прямого численного моделирования. Однако такой подход пока не используется в силу больших потребностей компьютерного времени даже на современных компьютерах с высоким быстродействием. В модели, использующейся в курсовой работе, жидкость считается невязкой несжимаемой, пузырьки – осесимметричными. Пузырьки расположены сносно. Их общая ось симметрии направлена вертикально вдоль действия силы тяжести. Пузырьки совершают нелинейные радиальные колебания, а скорости их вертикального пространственного перемещения считаются малыми. Используются три системы отсчета, одна неподвижная и две подвижные. В качестве неподвижной системы приняты декартовые координаты, а в качестве подвижных систем – сферические координаты. Начало отсчета радиальных координат в подвижных сферических системах отсчета связано с центрами пузырьков. Поверхности каждого из пузырьков представляются в виде ряда по поверхностным сферическим гармоникам нулевой, второй, третьей, четвертой и т.д. степеней. При этом сферическая гармоника нулевой степени описывает радиальную составляющую поверхности пузырька, а гармоники второй, третьей и т.д. степеней – отклонения от сферической формы в виде соответствующей гармоники (второй степени – эллипсоидальные отклонения, третьей – грушеобразные и т.д.).

Созданная математическая модель представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно радиусов пузырьков, пространственного положения их центров и амплитуды отклонений от сферической формы пузырьков в виде сферических поверхностных гармоник. При выводе этих уравнений используются частные решения уравнения Лапласа в сферической системе координат и интеграл Коши-Лагранжа.

Постановка задачи в рамках уравнений динамики жидкости

Рассматривается динамика двух газовых пузырьков в неограниченном объеме невязкой несжимаемой жидкости. Динамика жидкости описывается уравнениями

, . (1)

Здесь – время эйлеровых (неподвижных) систем координат , , (нижний индекс означает частную производную), – вектор скорости, – плотность жидкости, – давление, , , , –направляющие векторы пространственных координат. Здесь и далее, если не оговорено противное, по повторяющимся индексам предполагается суммирование (здесь от 1 до 3).

Пузырьки расположены вдоль вертикальной оси неподвижной декартовой системы координат (рис.1).

На поверхности каждого пузырька выполняются следующие условия:

кинематическое

, (2)

и динамическое

. (3)

Здесь – скорость точки поверхности пузырька, – нормаль к поверхности пузырька, верхние знаки указывают на отношение к внешней (+) и внутренней (–) сторонам поверхности.

Газ в пузырьках принимается гомобарическим (с однородным распределением давления) с давлением, изменяющимся по закону (Ван-дер-Ваальса)

, (4)

где – начальное давление газа в пузырьке, – текущий и начальный объемы пузырька, – постоянная, – показатель адиабаты.

На бесконечном удалении от пузырьков давление жидкости совершает гармонические колебания

, (5)

где – статическое давление в жидкости, , – амплитуда и частота колебаний.

Рассматриваются случай, когда форма пузырьков в интересующем промежутке времени остается относительно близкой к сферической.

Математическая модель взаимодействия пузырьков

В пятом приближении относительно уравнения динамики двух газовых пузырьков в вязкой сжимаемой жидкости представляют собой систему, состоящую из четырех дифференциальных уравнений относительно радиусов пузырьков , координат их центров

;

;

;

;

Методика решения

Имея четыре уравнения второго порядка относительно радиуса и положения центра пузырьков. Вводим замену, чтобы избавится от второго порядка, и запишем уравнения 1 ого порядка:

Получаем систему 8-и уравнений 1-го порядка относительно радиуса, положения центра пузырьков, скорость изменения радиусов и положения центра пузырьков.

;

()/;

/;

/;

/;

/;

/;

;

()/;

()/;

()/;

/;

/;

()/;

;

/;

0;

()/;

()/;

/;

()/;

;

/;

0;

()/;

()/;

/;

()/;

Отсюда получаем данные уравнения в следующем виде:

Решим уравнение методом последовательных приближений.

В нулевом приближении данные уравнения записываются относительно радиуса и положения центра пузырьков.

Подставляя выражения, находим уравнения нулевого приближения:

В первом приближении уравнения записываются относительно радиуса, положения центра пузырьков, скорость изменения радиусов и положения центра пузырьков. Полученное первое приближение добавляем к нулевому приближению. И так находим до пятого приближения.

Исходя из этого, можем записать следующую систему:

Полученные дифференциальные уравнения решаются методом Дортсмана–Принса восьмой степени точности. (Программа приведена ниже).

Исследование взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости

Для учета влияния вязкости и сжимаемости жидкости проводим следующую модификацию математической модели. (По аналогии с работой Дойникова[?]).

1. С учетом сжимаемости жидкости получим следующие уравнения:

;

;

Решение для нулевого приближения для одного пузырька

;

Вводим замены :

; ; ;;

= =;

- начальное давление газа в пузырьке;

; -давление газа в пузырьке.

А - константа Ван-дер-Ваальса;

- коэффициент поверхностного натяжения;

- давление газа в пузырьке;

- статическое давление в жидкости;

- Начальный радиус пузырька;

R - Радиус пузырька;

- Центр пузырька;

u - Вектор скорости жидкости;

-давление в жидкости на большом удалении от пузырька, где

- амплитуда и частота колебаний давления. Рассматривается лишь один период колебаний ().

- Плотность жидкости;

- Скорость звука в жидкости;

- Кинематический коэффициент вязкости

- расстояние между пузырьками .

;

;

Обозначим слагаемые и сомножители через: , ,,,:

; ; ;

; ;

;

;

Добавляем второе уравнение: =0 =>

;

;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

; ; ; = =;

;

;

; ; ;

; ;

;

;

Добавляем второе уравнение: =0 =>

;

;

Решение для первого приближения одного пузырька

;

;

;

;

();

;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;

;

;

;

Решение для второго приближения одного пузырька

;

/

;

;

();

;

;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;

;

;

;

;

Решение для третьего приближения одного пузырька

;

)/

;

;

;

;

;

;

;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;

;

;

;

;

;

;

Решение для четвертого приближения одного пузырька

;

)/

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Решение для пятого приближения одного пузырька

;

)/

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

2. Для исследования добавляем вязкость и решаем уравнение:

;

;

где , (j = 1, i = 2);

- Кинематический коэффициент вязкости;

,

, , ,

Вводим замену, чтобы избавится от второго порядка, и запишем уравнения 1 ого порядка:

Для первого уравнения:

;

=;

;

;

;

0;

;

;

;

;

Для второго уравнения:

;

=;

;

;

;

0;

;

;

;

;

Рис.1. Изменение радиуса пузырька и положения его центра во времени.

Похожие работы

  • Гидростатика, давление, закон Паскаля, гидростатическое давление

    Гидростатика, давление, закон Паскаля, гидростатическое давление. Гидростатика изучает условие равновесия жидкостей. Физическую величину, равную отношению модуля силы F, действующей перпендикулярно поверхности, к площади S поверхности, называют

  • Пузыри в жидкости

    Описание физических свойств пузырей в жидкости и физических явлений, в которых пузыри принимают участие. Модельный опыт по флотации. "Мягкий" и "твердый" пузырек в жидкости. Газовый пузырек у границы между жидкостями. Закономерности процесса кавитации.

  • Методы регистрации элементарных частиц

    Один из важнейших приборов для автоматического счёта элементарных частиц - счётчик Гейгера, основанный на принципе ударной ионизации. Конденсация перенасыщенного пара с образованием капелек воды в камере Вильсона. Метод толстослойных фотоэмульсий.

  • Изучение гидравлики как теоретической дисциплины

    Гидравлика как теоретическая дисциплина, изучающая вопросы, связанные с механическим движением жидкости в различных природных, техногенных условиях. Широкое использование в практической деятельности человека гидравлики. Изучение свойств жидкостей и газов.

  • Кипение

    – процесс парообразования в объеме перегретой жидкости (температура > температуры насыщения). Характеризуется образованием новых поверхностей раздела фаз.

  • Изучение некоторых свойств жидкостей

    Основное свойство жидкости: изменение формы под действием механического воздействия. Идеальные и реальные жидкости. Понятие ньютоновских жидкостей. Методика определения свойств жидкости. Образование свободной поверхности и поверхностное натяжение.

  • Поверхностное натяжение. Капиллярные эффекты

    Содержание Введение. 2 Свойства жидкостей. Поверхностное натяжение. 3 Заключение. 3 Список источников. 3 Введение Пове́рхностное натяже́ние — термодинамическая характеристика поверхности раздела двух находящихся в равновесии фаз, определяемая работой обратимого изотермокинетического образования единицы площади этой поверхности раздела при условии, что температура, объем системы и химические потенциалы всех компонентов в обеих фазах остаются постоянными.

  • Введение. Предмет гидравлики и краткая история ее развития

    Лекция 1. Решение различных технических проблем, связанных с вопросами движения жидкостей в открытых и закрытых руслах, а также с вопросами силового воздействия жидкости на стенки сосудов или обтекаемые жидкостью твердые тела привело к созданию обширной науки называемой гидромеханикой, которая делится на два раздела: техническая гидромеханика и теоретическая механика жидкости и газа (рис.1.1).

  • К расчету эффективных магнитных полей в магнитных жидкостях

    К РАСЧЕТУ ЭФФЕКТИВНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В МАГНИТНЫХ ЖИДКОСТЯХ Диканский Ю.И. Один из подходов к определению эффективных полей связан с анализом действующих на дипольную частицу сил [1]. В работе [2] на основании такого анализа получена формула для расчета эффективных электрических полей в жидких диэлектриках.

  • Основные положения молекулярно-кинетической теории

    Основные положения молекулярно-кинетической теории. Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) занимается изучением свойств веществ, основываясь при этом на представлениях о частицах вещества.