Название: Лінійний векторний простір
Вид работы: реферат
Рубрика: Астрономия
Размер файла: 40.53 Kb
Скачать файл: referat.me-2979.docx
Краткое описание работы: РЕФЕРАТ на тему: Лінійний векторний простір” Векторний простір лінійний простір ) - безліч елементів, які називаються векторами, для яких визначені операції додавання і множення на число. Найпростіший, але важливий приклад - сукупність векторів
Лінійний векторний простір
РЕФЕРАТ
на тему:
“Лінійний векторний простір”
Векторний простір (лінійний простір ) - безліч елементів, які називаються векторами, для яких визначені операції додавання і множення на число. Найпростіший, але важливий приклад - сукупність векторів a, b, c, ... звичайного 3-мірного простору. Кожен такий вектор - спрямований відрізок, що задається трьома числами: ; числа називаються координатами вектора.
При множенні вектора на речове число відповідний відрізок, зберігаючи напрямок, розтягується в раз: . Сума двох векторів знаходиться за правилу параллелограмма; якщо і те .
Парі векторів a і b зіставляють також скалярний добуток (скалярним опосередкованим узагальненням З-мірного простору є n-мірний евклідовий простір.
Його елементи - упорядковані набори речовинних чисел, Наприклад, , . Додавання і множення векторів на число визначені формулами , , а скалярний добуток - формулою Прикладом комплексного безкінечномірного векторного простору може служити сукупність комплексних функцій f , заданих на всій осі і квадратично сумованих (тобто маючих кінцевий інтеграл ). Багато класів функцій, наприклад, поліноми заданого порядку, функції безупинні, диференційовані, що інтегруються, аналітичні і тому подібні, також утворять безкінечномірні векторні простори.
У кожнім векторному просторі, крім операцій додавання і множення на число, звичайно маються ті чи інші додаткові операції і структури (наприклад, визначений скалярний добуток). Якщо ж не уточнюють природи елементів векторного простору і не припускають у ньому ніяких додаткових властивостей, то векторний простір називають абстрактним. Абстрактний векторний простір L задають за допомогою наступних аксіом:
1. будь-якій парі елементів х и у з L зіставлений єдиний елемент z , називаний їхньою сумою z=x+y і приналежний L ;
2. для будь-якого числа і будь-якого елемента x з L визначений елемент z , що називається їхнім добутком і приналежний L ;
3. операції додавання і множення на число є асоціативними і дистрибутивними.
Додавання допускає зворотну операцію, тобто для будь-яких х и у з L існує єдиний елемент w з L такий, що x+w=y . Крім того, мають місце формули .
Якщо всі числа речовинні (комплексні), говорять про речовинний (комплексному) векторна просторі; безліч чисел називають полем скалярів L . Поняття векторного простору можна ввести і для довільного полючи, наприклад, полючи кватерніонів.
Якщо - елементи векторного простору L , то вираження виду називається їхньою лінійною комбінацією; сукупність усіх лінійних комбінацій елементів підмножини S з L називають лінійною оболонкою S . Вектори з L називають лінійно незалежними, якщо умова ( - будь-які елементи полючи скалярів) може виконуватися тільки при . Нескінченна система векторів називається лінійно незалежної, якщо будь-яка її кінцева частина є лінійно незалежної. Безліч елементів підмножини S з L називається системою утворюючих S , якщо будь-який вектор х з S можна представити у виді лінійної комбінації цих елементів. Лінійно незалежна система утворюючих S називається базисом S , якщо розкладання будь-якого елемента S по цій системі єдино.
Базис, елементи якого яким-небудь образом параметризовані, називається системою координат у S . Базис векторного простору завжди існує, хоча і не визначається однозначно. Якщо базис складається з кінцевого числа n елементів, то векторний простір називається n-мірним (конечномірні); якщо базис - нескінченна безліч, той векторний простір називається безкінечномірні. Виділяють також лічильномірні векторні простори, у яких мається рахунковий базис.
Підмножини векторного простору L , замкнуті щодо його операцій, називаються підпросторами L . По будь-якому підпросторі S можна побудувати новий векторний простір L/S , називане фактором-простором L по S : кожен його елемент є безліч векторів з L , що розрізняються між собою на елемент із S . Розмірність L/S називається коразмірністю підпростору S у L ; якщо розмірності L і S рівні відповідно n і k , те коразмірність S у L дорівнює n-k . Якщо J - довільна безліч індексів i і Si – сімейство підпросторів L , те сукупність усіх векторів, що належать кожному з Si , є підпростір, називається перетинанням зазначених підпросторів і що позначається . Для кінцевого сімейства підпросторів S1 , ..., Ss сукупність усіх векторів, які представлені у виді
, xi з Si , | (*) |
є підпростір, називаний сумою S1 , ..., Ss і що позначається S1 + ... +Ss . Якщо для будь-якого елемента суми S1 + ... +Ss представлення у виді (*) єдино, ця сума називається прямої і позначається . Сума підпросторів є прямої тоді і тільки тоді, коли перетинання цих підпросторів складається тільки з нульового вектора. Розмірність суми підпросторів дорівнює сумі розмірностей цих підпросторів мінус розмірність їхнього перетинання. Векторний простір L1 і L2 називають ізоморфним і, якщо існує взаємно однозначна відповідність між їх елементами, погоджена з операціями в них; L1 і L2 ізоморфні тоді і тільки тоді, коли вони мають однакову розмірність.
Конкретні приклади векторного простору можна знайти в математичному апараті практично будь-якого розділу фізики. Кінцевомірними речовинними векторними просторами є, наприклад, трехмерное физическое пространство(без обліку кривизни), конфигурационное пространствоі фазовое пространствосистеми n класичних крапкових часток. До числа безкінечномірних комплексних векторних просторів належать гильбертовы пространства, конкретну й абстрактну, складову основу математичного апарата квантової фізики. Найпростіший приклад гільбертова просторів уже згадуваний простір .
Основні фізичні приклади - простору векторів станів різних систем мікрочастинок, досліджуваних у квантовій механіці, квантовій статистичній фізиці і квантовій теорії поля. Знаходять застосування і такі векторні полючи, у яких поле скалярів не збігається з безліччю речовинних чи комплексних чисел: так, гільбертово простір над полем кватерніонів використовується й однієї з формулювань квантовой механики, а гільбертовий простір над полем октоніонов - в одній з формулювань квантової хромодинаміки. У сучасних теориях суперсимметрии інтенсивно застосовуються так називані градуйовані векторні полючи, тобто лінійні простори разом з їхнім фіксованим розкладанням у пряму нескінченну суму підпросторів.
Використана література:
1. Векторний простір. – М., 1992.
2. Вища математика в прикладах. – К., 1998.
3. Математична енциклопедія. – М., 1983.
Похожие работы
-
Матриці дії над ними Обернена матриця Матричний запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь т
Пошукова робота на тему: Матриці, дії над ними. Обернена матриця. Матричний запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь та її розв’язок. Матриці, дії над ними.
-
Вектори лінійні операції над ними
Пошукова робота на тему: Вектори, лінійні операції над ними. План Вектори і скаляри. Множення вектора на число. Додавання та віднімання векторів. Проекція вектора на вісь.
-
Власні числа та власні вектори матриці
Реферат на тему: Власні числа та власні вектори матриці План Власні числа і власні вектори лінійного перетворення. Характеристичне рівняння. Властивості власних векторів і власних значень.
-
Оператор присвоювання
Реферат на тему: Оператор присвоювання В будь-якій мові програмування можна виділити чотири типи елементів, що використовуються при побудові описів програм:
-
Приклади складання рівняння лінії на площині за даними її геометричними властивостями Пряма на
Пошукова робота на тему: Приклади складання рівняння лінії на площині за даними її геометричними властивостями. Пряма на площині. Площина. Пряма в просторі. Пряма і площина.
-
Скалярний добуток двох векторів його властивості Векторний добуток його властивості Змішаний
Реферат на тему: Скалярний добуток двох векторів, його властивості. Векторний добуток, його властивості. Змішаний добуток трьох векторів, його властивості.
-
Основи невербальної комунікації
Реферат на тему: "Основи невербальної комунікації" План: 1). Поняття невербальної комунікації. 2). Міжособистістний простір як елемент невербальної комунікації.
-
Системи координат декартова полярна циліндрична сферична Довжина і координати вектора Век
Пошукова робота на тему: Системи координат (декартова, полярна, циліндрична, сферична). Довжина і координати вектора. Векторний простір. Лінійна залежність і незалежність системи векторів.
-
Вектори на площині і в просторі Дії з векторами
Вектори на площині і в просторі. Дії з векторами Мета. Узагальнення знань студентів про вектори на площині; формування поняття вектора в просторі. 1. Вектори. Основні поняття і означення.
-
Опуклі множини
У курсі “Математичне програмування” та в деяких економічних дослідження використовуються поняття опуклої лінійної комбінації векторів та опуклої множини.