Власні числа та власні вектори матриці

Реферат на тему:

Власні числа та власні вектори матриці лан

• Власні числа і власні вектори лінійного перетворення.
• Характеристичне рівняння.
• Властивості власних векторів і власних значень.

Означення. Ненульовий вектор який задовольняє умові

, (1)

називається власним вектором лінійного перетворення а число власним значенням . Говорять, що власний вектор відповідає власному значенню

Задача знаходження всіх власних векторів лінійного перетворення має важливе значення як для кінцево вимірних просторів, так і у випадку нескінченновимірних просторів. Ми розглянемо її для лінійного простору кінцевого виміру

Якщо в просторі вибраний базис, то рівність (1) можна записати в координатах як що зв’зує матрицю перетворення і координатний стовпчик вектора або

(2)

де одинична матриця В розгорнутому вигляді (2) можна записати так:

(2^/ )

Із рівності (4.18^/ ) знаходимо координати власного вектора Це система лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими. Оскільки власний вектор ненульовий вектор, то не всі його координати повинні бути рівними нулю. Однорідна система (2^/ ) має нетривіальні розв’язки тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто

(3)

Рівняння (3) називається характеристичним рівнянням . Із характеристичного рівняння знаходяться всі власні значення лінійного перетворення Ясно, що в дійсному просторі комплексні корені не можуть бути власними значеннями.

Знайшовши із рівняння (3) всі власні значення , ми кожне із них підставляємо в систему (2^/ ) і знаходимо власні вектори , що відповідають цим власним значенням.

Приклад . Знайти власні значення та власні вектори лінійного перетворення що задається в деякому базисі матрицею

Р о з в ‘ я з о к. Запишемо характеристичне рівняння (3)

, тоді і власні значення матриці Нехай власний вектор, що відповідає власному значенню Для визначення його координат запишемо систему рівнянь (2^/ )

загальний розв’язок якої буде

Оскільки ми шукаємо ненульові розв’язки однорідної системи, то, покладаючи і одержимо два власних вектори, що відповідають власному значенню

і причому

Приведемо без доведення деякі властивості власних векторів і власних значень.

1⁰ . Власні вектори , що відповідають попарно різним власним значенням , лінійно незалежні.

2⁰ . Якщо і матриці лінійного перетворення в різних базисах, то характеристичні многочлени цих матриць співпадають, тобто

3⁰ . Якщо деяке власне значення перетворення є коренем характеристичного рівняння кратності то йому відповідає не більше лінійно незалежних власних векторів.

4⁰ . Власні значення симетричної матриці дійсні, а власні вектори, що відповідають різним власним значенням ортогональні.

5⁰ . Матриця лінійного перетворення в базисі має діагональний вигляд тоді і тільки тоді, коли всі вектори базису – власні вектори перетворення, причому на головній діагоналі знаходяться його власні значення.

6⁰ . Якщо всі корені характеристичного многочлена матриці

різні, то існує така матриця із визначником, що не дорівнює нулю, що матриця діагональна.