Название: Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач Обчислення інтеграла Пуассон
Вид работы: реферат
Рубрика: Астрономия
Размер файла: 55.13 Kb
Скачать файл: referat.me-3067.docx
Краткое описание работы: Пошукова робота на тему: Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач. Обчислення інтеграла Пуассона. План Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач
Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач Обчислення інтеграла Пуассон
Пошукова робота на тему:
Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач. Обчислення інтеграла Пуассона.
П лан
- Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач
- Маса пластинки
- Статичні моменти і центр ваги пластинки
- Момент інерції пластинки
- Обчислення інтеграла Пуассона
11.5. Застосування подвійних інтегралів
до задач механіки
Визначення маси пластинки . Нехай тонка пластинка розміщена в площині і займає область . Товщину пластинки вважаємо настільки малою, що зміною густини та товщиною можна знехтувати.
Поверхневою густиною такої пластинки в даній точці називається границя відношення маси площадки до її площі за умови, що площадка стягується до даної точки.
Означена таким чином поверхнева густина залежатиме тільки від розміщення точки, тобто вона буде функцією її координат: . Знайдемо масу неоднорідної пластинки. Для цього розіб’ємо область , яку займає пластинка, на частинні області з площадками (рис. 11.16). Вибираємо в кожній області довільну точку і вважаємо, що густина в усіх точках елементарної області стала і дорівнює густині у вибраній точці. Тоді для маси пластинки можна скласти приблизний вираз у вигляді інтегральної суми.
.
Переходячи до границі за умови, що і кожна елементарна область стягується в точку, дістаємо формулу для обчислення маси пластинки:
. (11.29)
Статичні моменти і центр ваги пластинки . Перейдемо до обчислення статичних моментів пластинки відносно осей координат. Якщо зосередити в точках маси відповідних елементарних областей, то статичні моменти отриманої системи матеріальних точок можна записати так:
, .
Переходячи до границі за звичайних умов і замінюючи інтегральні суми інтегралами, матимемо ,
. (11.30)
Як і у випадку означеного інтеграла, знаходимо координати центра ваги пластинки:
,
. (11.31)
Моменти інерції пластинки. Моментом інерції матеріальної точки масою відносно якої-небудь осі називається добуток маси на квадрат відстані точки від цієї осі.
Метод складання виразів для моментів інерції пластинки відносно осей координат такий самий , як і для обчислення статичних моментів. Тому наведемо лише формули для моментів інерції відносно координатних осей:
, (11.32)
Рис.11.17 Рис.11.18
Зазначимо, що інтеграл називається центробіжним моментом інерції; він позначається .
У механіці розглядається полярний момент інерції точки, що дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані до даної точки -полюса. Полярний момент інерції пластинки відносно початку координат визначається за формулою
. (11.33)
Отже , очевидно, .
Приклад 1. Обчислити масу неоднорідної пластинки, обмеженої лініями якщо поверхнева густина розподілу мас
Р о з в ‘ я з о к. За формулою (11.29) знаходимо (рис. 11.17):
Приклад 2. Знайти момент інерції площі, обмеженої параболою , прямою і віссю (11.18).
Р о з в ‘ я з о к. Центральний момент інерції обчислюємо за формулою (11.33)
.
11.6. Інтеграл Пуассона
Обчислимо інтеграл Цей інтеграл називається інтегралом Пуассона.
Розглянемо подвійний інтеграл
де область інтегрування є круг
Перейшовши до полярних координат одержимо
Якщо тепер необмежено збільшувати радіус тобто необмежено розширяти область інтегрування, то одержимо невласний подвійний інтеграл:
Можна показати, що інтеграл прямує до границі якщо область довільної форми розширюється на всю площину.
Якщо , зокрема, область квадрат зі стороною і центром в початку координат, то
Тоді
і
(11.34)
Похожие работы
-
Метод безпосереднього інтегрування
Метод безпосереднього інтегрування Цей метод базується на рівності , де а та b – де сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегральна функція має вигляд
-
Інтегрування з допомогою заміни змінної Інтегрування частинами
Пошукова робота на тему: Інтегрування з допомогою заміни змінної. Інтегрування частинами. План Інтегрування частинами Інтегрування часток Заміна змінної
-
Інтегральне числення Невизначений інтеграл
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ Означення : Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F'(x) = f(x) або dF(x) = f(x)dx .
-
Інтегрування виразів що містять тригонометричні функції Приклади первісних що не є елементарн
Пошукова робота на тему: Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції. Приклади первісних, що не є елементарними функціями. Використання таблиць неозначених інтегралів.
-
Про систему задач для вивчення інтеграла
Система задач для вивчення первісної та інтеграла в навчальному посібнику (1) недостатньо досконала. Завдання тут в основному зводяться до обчислення площ фігур (№1022-1027, 1037-1042, 1081-1087) і інтеграла (1028-1036, 1071-1080), тобто, так як і в задачниках з математичного аналізу для втузів, мають тренувальний характер.
-
Основні властивості означеного інтеграла Формула Ньютона-Лейбніца
Пошукова робота на тему: Основні властивості означеного інтеграла. Формула Ньютона- Лейбніца. План Інтегрування підстановкою у визначеному інтегралі
-
Первісна функція і неозначений інтеграл Основні властивості неозначеного інтеграла Таблиця осно
Пошукова робота на тему: Первісна функція і неозначений інтеграл. Основні властивості неозначеного інтеграла.Таблиця основних інтегралів. План Первісна функція
-
Подвійний інтеграл його властивості
Пошукова робота на тему: Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості.
-
Методи інтегрування
Перш за все відмітимо, що в усіх табличних інтегралах підінтегральна функція є певною функцією, аргумент якої співпадає із змінною інтегрування. Розглянемо, наприклад, інтеграл ∫sin(x2+l)dx. В цьому випадку аргументом основної елементарної функції сінус буде u=х2+1, а змінна інтегрування — х, тому при знаходженні цього інтеграла не можна використати табличну формулу
-
Інтегрування ірраціональних виразів
Пошукова робота на тему: Інтегрування ірраціональних виразів. План Інтегрування деяких ірраціональних функцій Інтеграли від виразів Підстановки Чебишева