Інтегрування виразів що містять тригонометричні функції Приклади первісних що не є елементарн

П лан

• Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції
• Інтеграли вигляду
• Інтеграли вигляду
• Інтеграли вигляду

· Інтеграли вигляду

• Інтеграли вигляду ( - ціле, додатне число)
• Інтеграли вигляду

8.3.9. Інтегрування трансцендентних функцій

а) Усі інтеграли вигляду інтегруються в замкненому вигляді. Тут - символ раціональної функції. Справді, підстановка зводить цей інтеграл до вигляду

Приклад. За допомогою заміни інтеграл перетворюється в такий :

б) Як уже зазначалося, інтеграли зводяться до розглядуваного. Тому інтеграл нас цікавить не тільки сам по собі, а й у зв’язку з тим, що й інші інтеграли зводяться до нього.

Усі інтеграли типу інтегруються в замкненому вигляді. Підстановка перетворює інтеграл у такий: тобто до інтеграла, розглянутого в п.9.8.

Ймовірно, що способи інтегрування заданого інтеграла в розумінні більшої або меншої трудності залежатимуть від характеру функції : парна чи непарна вона за змінною або , або і і , або, можливо, і не володіє цими властивостями. Нехай

Очевидно, що в цьому випадку її можна подати

у формі

Якщо то

Тому

Звідси випливає така підстановка:

,

тобто - раціональна функція .

Отже, якщо в разі заміни на підінтегральна функція змінює знак, то доцільно є підстановка .

Цілком аналогічно, якщо в разі заміни на

то доцільною є

підстановка .

Розглянемо тепер випадок тобто функція є парною як за , так і за . Очевидно, що .Якщо тепер знаки i замінити на протилежні, то , тобто є парною за , тому

. Вважаючи, що , одержимо

Підстановка зведе інтеграл до вигляду

Отже, у випадку доцільною є заміна змінної .

Оскільки , , (8.26)

то ,

тобто підстановка перетворить інтеграл до вигляду

.

Якщо не задовольняє жодну із розглянутих умов, то інтегрується за допомогою підстановки . Практично інтегруючи функцію перш за все варто встановити, чи задовольняє вона хоча б одну з умов

чи ні. Лише тоді, коли вона не задовольняє жодну, доцільно використати заміну , яку називають універсальною.

Приклад. 1.

Оскільки в разі заміни на і на підінтегральна функція не змінює знака, то підстановка зведе інтеграл до вигляду

Приклад 2. .

Цей інтеграл не задовольняє жодної з указаних умов. Тому слід використати підстановку , яка зведе інтеграл до вигляду

.

Якщо , то

.

Якщо , то

При .

При .

Приклад 3 . .

Підстановка . З її допомогою інтеграл перетвориться в

.

в) Усі інтеграли вигляду

де - раціональна функція, інтегруються в замкненому вигляді. Цей висновок випливає з п.9.4.

г) Інтеграли вигляду

( - ціле, додатне число) можна проінтегрувати відповідно за допомогою підстановок

В результаті матимемо

Аналогічно обчислюється і другий інтеграл.

д) Інтеграли вигляду де - цілі невід’ємні числа, обчислюються, використовуючи формули тригонометрії для пониження степеня:

(8.27)

Тоді

Піднісши до степеня і розкриваючи дужки, одержимо інтеграли, що містять в парних і непарних степенях. Інтеграли з непарними степенями обчислюються, як показано у випадку б). Парні показники степенів знову понижуємо за формулами (9.13). Продовжуючи так, дійдемо до інтегралів які легко обчислюються.

Якщо хоча б один з показників від’ємний, то необхідно робити підстановку (або ).

Інтеграли вигляду можна

проінтегрувати, застосовуючи формулу Муавра. Маємо:

(8.28)

Звідси

Далі обчислимо:

Аналогічно

Тепер уже інтегрування двох інтегралів здійснюється легко для будь-яких скінчених цілих .

е) Усі інтеграли вигляду

можуть бути представлені в замкненому вигляді, якщо функція є цілою раціональною функцією відносно синусів і косинусів величин, що стоять під знаком функції, а всі константи є дійсними числами.

Оскільки ціла раціональна функція будується лише на основі дій додавання, віднімання і множення ( зокрема піднесення до цілого додатного степеня ) , то кожний добуток двох множників можна подати у вигляді суми двох доданків на основі формул

(8.29)

Застосовуючи формули (8.29) послідовно до кожного члена, що є добутком кількох множників, функцію можна подати як лінійну комбінацію синусів і косинусів, аргументи яких є лінійними функціями . Кожна така лінійна комбінація інтегрується елементарно.

Приклад.

є) Усі інтеграли виглядів де є довільними дійсними константами, а – довільний поліном, інтегруються у замкненому вигляді.

Цей висновок випливає з п.8.3.8.

ж) Інтеграли вигляду за допомогою підстановки зводяться до інтегралів від біномінальних диференціалів , які вже були розглянуті в п.8.3.8 є). Там також було з’ясовано, в яких випадках інтеграл від біномінального диференціала інтегрується в замкненому вигляді. Отже, інтеграл виражається через елементарні функції, якщо 1) - ціле число; 2) - ціле число; 3) - ціле число.