Referat.me

Название: Линейные блоковые коды

Вид работы: реферат

Рубрика: Коммуникации и связь

Размер файла: 45.35 Kb

Скачать файл: referat.me-168020.docx

Краткое описание работы: Способы задания линейных кодов. Проверочная матрица в систематическом виде. Основные свойства линейных кодов. Стандартное расположение группового кода. Коды Хэмминга. Корректирующая способность кода Хэмминга. Процедура исправления одиночных ошибок.

Линейные блоковые коды

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

кафедра РЭС

реферат на тему:

«Линейные блоковые коды»

МИНСК, 2009


Линейным блоковым (n,k) - кодом называется множество N последовательностей длины n над GF(q), называемых кодовыми словами, которое характеризуется тем, что сумма двух кодовых слов является кодовым словом, а произведение любого кодового слова на элемент поля также является кодовым словом.

Обычно N=qk , где k - некоторое целое число. Если q=2, линейные коды называются групповыми, так как кодовые слова образуют математическую структуру, называемую группой. При формирование этого кода линейной операцией является суммирование по mod2.

Способы задания линейных кодов

1. Перечислением кодовых слов, т.е. составлении списка всех кодовых слов кода.

Пример. В таблице 1 представлены все кодовые слова (5,3) - кода (ai - информационные, а bi - проверочные символы).

Таблица 1
a1 a2 a3 b1 b2
1 0 0 1 1 0
2 0 1 0 1 1
3 0 1 1 0 1
4 1 0 0 0 1
5 1 0 1 1 1
6 1 1 0 1 0
7 1 1 1 0 0
8 0 0 0 0 0

2. Системой проверочных уравнений, определяющих правила формирования проверочных символов по известным информационным:

где

j - номер проверочного символа;

i - номер информационного символа;

hij - коэффициенты, принимающие значения 0 или 1 в соответствии с правилами формирования конкретных групповых кодов.

Пример. Для кода (5,3) проверочные уравнения имеют вид:

b1 = a2 + a3 ;

b2 = a1 + a2 .

3. Матричное, основанное на построении порождающей и проверочной матриц.

Векторное пространство Vn над GF(2) включает в себя 2n векторов (n-последовательностей), а подпространством его является множество из 2k кодовых слов длины n, которое однозначно определяется его базисом, состоящим из k линейно независимых векторов. Поэтому линейный (n,k) - код полностью определяется набором из k кодовых слов, принадлежащих этому коду. Набор из k кодовых слов, соответствующих базису, обычно представляется в виде матрицы, которая называется порождающей.

Пример. (5,3) - код, который был представлен в таблице 1, может быть задан матрицей

Остальные кодовые слова получаются сложением строк матриц в различных сочетаниях.

Общее количество различных вариантов порождающих матрицу определяется выражением

Для исключения неоднозначности в записи G(n,k) вводят понятие о канонической или систематической форме матрицы, которая имеет вид

где

Ik - единичная матрица, содержащая информационные символы;

Rk,r - прямоугольная матрица, составленная из проверочных символов.

Пример. Порождающая матрица в систематическом виде для (5,3) - кода

Порождающая матрица G(n,k) в систематическом виде может быть получена из любой другой матрицы посредством элементарных операций над строками (перестановкой двух произвольных строк, заменой произвольной строки на сумму ее самой и ряда других) и дальнейшей перестановкой столбцов.

Проверочная матрица в систематическом виде имеет вид

где Ir - единичная матрица; - прямоугольная матрица в транспонированном виде матрицы Rk,r из порождающей матрицы.

Пример. Проверочная матрица (5,3) - кода


Основные свойства линейных кодов

1. Произведение любого кодового слова на транспонированную проверочную матрицу дает нулевой вектор размерности (n-k)

Пример. для кода (5,3)

2. Произведение некоторого кодового слова, т.е. с ошибкой, на транспонированную проверочную матрицу называется синдромом и обозначается Si (x)

3. Между порождающей и проверочной матрицами в систематическом виде существует однозначное соответствие, а именно:

4. Кодовое расстояние d0 (n,k) - кода равно минимальному числу линейно зависимых столбцов проверочной матрицы

Пример.

для кода (5,3):

для кода (5,2):

5. Произведение информационного слова на порождающую матрицу дает кодовое слово кода

Пример. для кода (5,3)

6. Два кода называются эквивалентными, если их порождающие матрицы отличаются перестановкой координат, т.е. порождающие матрицы получаются одна за другой перестановкой столбцов и элементарных операций над строками.

7. Кодовое расстояние любого линейного (n,k) - кода удовлетворяет неравенству (граница Сингтона). Линейный (n,k) - код, удовлетворяющий равенству, называется кодом с максимальным расстоянием.

Стандартное расположение группового кода

Стандартное расположение группового кода представляет разложение множества всех возможных n-элементных слов, представляющих собой группу, на смежные классы по подгруппе из 2k кодовых слов, составляющих (n,k)-код (см. таблицу 2).

Таблица 2
 

Образующие или лидеры смежных классов выбираются таким образом, чтобы в их состав вошли наиболее вероятные образцы ошибок в кодовом слове, т.е. образцы ошибок с наименьшим весом.

Пример. Код (5,3) имеет матрицы

и

а стандартное расположение имеет вид,

00000 10111 01101 11010
00001 10110 01100 11011
00010 10101 01111 11000
00100 10011 01001 11110
01000 11111 00101 10010
10000 00111 11101 01010
00011 10100 01110 11001
10001 00110 11100 01011

Этот код имеет d0 =3. Он гарантирует исправление одиночных ошибок, конфигурация которых дана в первом столбце.

Процедура исправления ошибок следующая. Принятое кодовое слово анализируют и определяют, в каком столбце оно находится, а затем в качестве исправленного кодового слова берут слово, находящееся в верхней строке.

Однако, если длина кода большая и таблица стандартного расположения также значительная, пользоваться таким алгоритмом неудобно. Поэтому при декодировании используют таблицу синдромов (декодирования), представляющую собой список образцов ошибок (см. первый столбец стандартного расположения) и список соответствующих синдромов, которые однозначно характеризуют каждый смежный класс.

Коды Хэмминга

Кодом Хэмминга называется (n,k)-код, проверочная матрица которого имеет r = n-k строк и 2r -1 столбцов, причем столбцами являются все различные ненулевые последовательности.

Пример. Для (7,4)-кода Хэмминга

или

Проверочная матрица любого кода Хэмминга всегда содержит минимум три линейно зависимых столбца, поэтому кодовое расстояние кода равно трем.

Если столбцы проверочной матрицы представляют упорядоченную запись десятичных чисел, т.е. 1,2,3... в двоичной форме, то вычисленный синдром

однозначно указывает на номер позиции искаженного символа.

Пример. Для (7,4)-кода Хэмминга проверочная матрица в упорядоченном виде имеет вид

Пусть переданное кодовое слово ,а принятое слово - .

Синдром, соответствующий принятому слову будет равен

Вычисленный синдром указывает на ошибку в пятой позиции.

Проверочная матрица в упорядоченном виде представляет совокупность проверочных уравнений, в которых проверочные символы занимают позиции с номерами 2i (i=0,1,2...).

Для (7,4)-кода Хэмминга проверочными уравнениями будут

где - проверочные символы.

Элементы синдрома определяются из выражений

Корректирующая способность кода Хэмминга может быть увеличена введением дополнительной проверки на четность. В этом случае проверочная матрица для рассмотренного (7,4)-кода будет иметь вид

а кодовое расстояние кода d0 =4.

Проверочные уравнения используются для построения кодера, а синдромные - декодера кода Хэмминга.


ЛИТЕРАТУРА

1. Лидовский В.И. Теория информации. - М., «Высшая школа», 2002г. – 120с.

2. Метрология и радиоизмерения в телекоммуникационных системах. Учебник для ВУЗов. / В.И.Нефедов, В.И.Халкин, Е.В.Федоров и др. – М.: Высшая школа, 2001 г. – 383с.

3. Цапенко М.П. Измерительные информационные системы. - . – М.: Энергоатом издат, 2005. - 440с.

4. Зюко А.Г. , Кловский Д.Д., Назаров М.В., Финк Л.М. Теория передачи сигналов. М: Радио и связь, 2001 г. –368 с.

5. Б. Скляр. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. Изд. 2-е, испр.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2003 г. – 1104 с.

Похожие работы

  • Цифровые методы приёма и передачи сигналов

    Федеральное агентство связи ГОУ ВПО УрТИСИ СибГУТИ Отчёт по практической работе №2 По дисциплине «Цифровые методы приёма и передачи сигналов» Тема: «Канальный кодер»

  • Исследование свойств многоканальных доплеровских фильтров

    Исследование частотных свойств фильтра. Особенности уровня боковых лепестков, шумовых полос, максимальных потерь преобразования окна Кайзера-Бесселя при заданных параметрах. Исследование энергетических и вероятностных свойств многоканального фильтра.

  • Особенности практического применения способов кодирования. Способы декодирования с обнаружением ошибок

    Декодирование циклического кода с обнаружением ошибок. Способы декодирования с исправлением ошибок и схемная реализация декодирующих устройств. Коды Рида-Соломона являются недвоичными циклическими кодами. Синдром образцов ошибок с ненулевым коэффициентом.

  • Классификация помехоустойчивых кодов. Особенности практического кодирования

    Помехоустойчивые коды и их классификация. Формирование каскадного кода. Линейные коды. Замкнутость кодового множества. Схемы кодирования, применяемые на практике. Основные классы кодов. Блоковый код мощности. Сферы декодирования. Неполный декодер.

  • Циклические коды. Коды БЧХ

    Длина циклического кода. Свойство кодовых слов циклического кода - это их делимость без остатка на некоторый многочлен g(x), называемый порождающим. Декодирование циклических кодов. Синдромный многочлен, используемый при декодировании циклического кода.

  • Преобразователь двоичного кода от 0 до 255 в двоично-десятичный код

    Основные способы реализации преобразователей кодов. Структурная схема преобразователя двоичного кода, описание работы ее составных элементов: DIP-переключателей, семисегментного индикатора с дешифратором. Основы моделирования схемы в среде Quartus II.

  • Практическое кодирования по Хэммингу

    Оптимальное кодирование. Число дополнительно вводимых двоичных символов. Закодированный текст. Зависимость нижней границы допустимых значений и относительной избыточности. Конкретная конструкция кода Р. Хэмминга. Контрольная матрица. Контрольные символы.

  • Радиотехническая система передач

    БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Кафедра радиотехнических систем РЕФЕРАТ На тему: «Параметры кодов. Контроль, обнаружение и исправление ошибок»

  • Основные параметры помехоустойчивого кодирования. Основные параметры помехоустойчивых кодов

    Метод обработки сигналов, предназначенный для увеличения надежности передачи по цифровым каналам. Кодирование с исправлением ошибок. Двоичный канал связи. Появление фиксированной одиночной ошибки. Поиск при декодировании. Параметры помехоустойчивых кодов.

  • Проектирование системы передачи цифровых данных

    Представление и классификация кодов, построение кода с заданной коррекцией. Характеристика корректирующих кодов (код Хемминга, код БЧХ). Разработка схемотехнической реализации кодера и декодера. Выбор способа представления информации в канале передачи.