Название: Різницевий метод розв язування звичайних диференціальних рівнянь Апроксимація Метод прогонки
Вид работы: реферат
Рубрика: Информатика
Размер файла: 112.68 Kb
Скачать файл: referat.me-133544.docx
Краткое описание работы: Різницевий метод розв'язування звичайних диференціальних рівнянь. Апроксимація. Метод прогонки Розглянемо задачу: [0, 1] розіб'ємо на n частин, Розглянемо розклади
Різницевий метод розв язування звичайних диференціальних рівнянь Апроксимація Метод прогонки
Різницевий метод розв'язування
звичайних диференціальних рівнянь.
Апроксимація. Метод прогонки
Розглянемо задачу:
[0, 1] розіб'ємо на n частин, ,
Розглянемо розклади
Із (3),(4) одержимо
(5),(6),(7) – різницеві співвідношення, які апроксимують 1,2 похідну. Використовуючи різницеві співвідношення (5),(6),(7) апроксимуючи оператори L , l одержимо задачу:
Щоб порівнювати фунції u (h) i u , f (h) i f , введем норму
Означення 1:
Оператор L h (l ) апроксимує на функції u оператор L (l ) з порядком апроксимації К , якщо , що має місце:
Означення 2:
f h () апроксимує f () з порядком апроксимації К , якщо , що має місце:
Означення 3:
Різницева схема (8), (9) апроксимує крайову задачу (1), (2) з порядком апроксимації к, якщо виконуються умови (10-13).
Розглянемо апроксимацію оператора крайових або початкових умов.
Відзначимо, що розв'язок задачі (14-15) задовільняє і ряд тривіальних умов. Наприклад:
Оператор апроксимуєм різницевим оператором
Враховуючи, що , одержимо:
, тобто
Щоб одержати апроксимацію вищого порядку, треба використовувати тривіальні умови
Використаємо тривіальні умови для визначення ; із рівняння
Замість задачі (14), (15) можем розглядати задачу
тому, що розв'язок задачі (14-15) однозначно визначається умовами (14), (16).
Для підвищення порядку апроксимації можна користуватись ще формулами:
Метод прогонки
Виберемо сітку х0 , х1 …х N , x0 =a, xn =b, h=(b-a)/n
Різницеву схему (3), (4) перетворимо до вигляду:
Розглянутий метод називається різницевим методом прогонки.
Якщо різницева задача (5),(6) має вигляд:
То проводячи аналогічні викладки одержимометод правої прогонки, якщо
то метод буде стійким до похибки округлень
Якщо виконуються умови:
то можна застосовувати метод лівої прогонки, який буде стійкий до похибок заокруглень
Приклад: знайти розв'язок задачі
в точках х n =0, 1n, n=0,1,…10
Розв'язок:
Практична задача апроксимується на сітці х n =0, 1n, n=0,1,…10 різницевою схемою
Для розв'язку використовуємо метод правої прогонки
1) Знаходимо прогоночні коефіцієнти:
2) Значення у n обчислюємо по співвідношенням
Результати обчислень зручно записувати в таблицю:
n |
x n |
z n |
y n |
Індивідуальне завдання з книжки “Сборник задач по методах вычислений” под ред. Монас-тырского, ст. 217, 204 точний розв'язок – y(x) = (1-x) 2 |
0 |
- |
- |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0.81 |
|
2 |
0.5 |
0.49 |
0.64 |
|
3 |
0.66667 |
0.31333 |
0.49 |
|
4 |
0.75 |
0.22 |
0.36 |
|
5 |
0.8 |
0.16 |
0.25 |
|
6 |
0.83333 |
0.11667 |
0.16 |
|
7 |
0.68714 |
0.08286 |
0.09 |
|
8 |
0.87500 |
0.05500 |
0.04 |
|
9 |
0.88889 |
0.03111 |
0.01 |
|
10 |
0.9 |
0.0100 |
0 |
До питання про існування розв'язку різницевої схеми
На сітці х0 , х1 …х N , x0 =a, xn =b, h=(b-a)/n апроксимуємо різницевою схемою
Різницева схема (3-4) має єдиний розв'язок, якщо відмінний від 0 її детермінант
Ця умова (7) не зручна для перевірки, тому існування розв'язку доводять використовуючи теорему:
Теорема (дискретний принцип максимуму )
Нехай 1) p(x), g(x), f(x) – достатньо гладкі функції;
2) g(x) 0 на [a, b ]
3) h настільки мале, що
Тоді, якщо у внутрішніх точках проміжку [a,b ] виконується умова , то ф-ція u h не може приймати max додатнього (min від'ємного) значення у внутрішніх точках [a, b ], за винятком випадку, коли u (h) стала на [a, b ].
Оскільки (3,4) є системою лінійних р-нь, і якщо відповідна тривіальна система має лише тривіальний розв'язок, то різницева схема (3,4) має єдиний розв'язок. Те що однорідна система має лише тривіальний розв'язок доводять від супротивного використовуючи попередню теорему.
Схему (3,4) можна записати у вигляді
і її можна розв'язувати ітераційним методом.
Якщо g(x) <0, то із (6) , тобто ітераційний процес (8) збіжний.
Збіжність і стійкість
апроксимуємо її різницевою
Означення:
(3,4) апроксимує (1,2) з порядком апроксимації К , якщо , що виконуються співвідношення:
Означення :
Різницева схема (3-4) стійка, якщо що
Теорема. Якщо різницева схема (3,4) стійка і апроксимує крайову задачу (1),(2) з порядком апроксимації К, то розв'язок різницевої схеми збігається до розв'язку крайової задачі при , причому порядок збіжності рівний К.
Завдання №
Методом сіток з використанням методу прогонки знайти розв'язки крайових задач в точках x k =k h , h= 0.1, k= 0,1,…,10
Похожие работы
-
Задачі нелінійного програмування
У задачах лінійного програмування, які розглядалися раніше, всі невідомі входили як до системи обмежень, так і до цільової функції, у першому степені. Тому ці задачі були досить простими у постановці і за методами розв'язування.
-
Тренд-аналіз геологічних даних
В складних умовах геологічної будови об’єктів при мозаїчному характері розподілу локальних аномалій ознаки, яка вивчається, виділення напрямків регіональної тенденції його ззміни часто представляє важку задачу при традиційному графічному зображенні, оскільки при цьому звичайно вносяться суб’єктивні представлення априорних геологічних концепцій.
-
Розв язання раціональних рівнянь
Розв’язання раціональних рівнянь 2002 Для нашого часу характерна інтеграція наук, прагнення отримати найточніші уявлення про загальну будову світу. Ці ідеї знаходять своє відображення і в концепції освіти. Сучасна педагогічна наука стверджує, що для продуктивного засвоєння учнями знань і для їхнього інтелектуального розвитку важливо встановлювати зв’язки як між різними розділами курсу, так і між різними дисциплінами в цілому.
-
Наближене розв язування рівнянь графічне відокремлення коренів методи проб хорд і дотичних Д
Пошукова робота на тему: Наближене розв’язування рівнянь: графічне відокремлення коренів, методи проб, хорд і дотичних. Дотична і нормаль до кривої.
-
Обернені тригонометричні функції Тригонометричні рівняння і нерівності
Реферат Н а Т Е М У: “Обернені тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння і нерівності” ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ. РОЗВЯЗУВАННЯ НАЙПРОСТІШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ
-
Задачі геометричного і фізичного характеру що приводять до диференціальних рівнянь Диференціал
Пошукова робота на тему: Задачі геометричного і фізичного характеру, що приводять до диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші.
-
Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
Характеристичне рівняння Загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами 1. Лінійні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами
-
Розвязання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Кафедра інформатики КУРСОВА РОБОТА З програмування На тему: “Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера”
-
Дослідження однокрокових методів розвязання звичайних диференційних рівнянь
Міністерство освіти і науки України Вінницький національний технічний університет Інститут АЕКСУ Кафедра АІВТ Контрольна робота з дисципліни: “Моделювання на ЕОМ”
-
Дослідження однокрокових методів розв язання звичайних диференційн 2
Міністерство освіти і науки України Вінницький національний технічний університет Інститут автоматики, електроніки та комп’ютерних систем управління