Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

П лан

• Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
• Характеристичне рівняння
• Загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами

1. Лінійні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами

Такі рівняння дуже часто зустрічаються в практиці й розв’язуються досить просто. Розглянемо окремі однорідні й неоднорідні рівняння, причому для простоти опинимося детально на диференціальних рівняннях другого порядку.

1.1. Лінійні однорідні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Нехай маємо диференціальне рівняння вигляду

(12.38)

де і - сталі числа. Знайдемо два лінійно незалежних розв’язки цього рівняння . Будемо шукати розв’язок рівняння (12.38) у вигляді експоненти де - поки що невідома стала. Похідна будь-якого порядку від такої функції містить , а це дозволяє легко знайти розв’язок (12.38).

Справді, запишемо та :

Підставляючи ці похідні, а також функцію в рівняння (12.62), одержимо

Оскільки маємо

(12.39)

Рівняння (12.39) називається характеристичним відносно рівняння (12.38). Це – квадратне рівняння. Можливі такі ситуації відносно його коренів:

1) і - дійсні, причому не рівні між собою числа ;

2) і - комплексні числа ( );

3) і - дійсні рівні числа

Зупинимося детально на кожному із цих трьох випадків.

1) Корені характеристичного рівняння дійсні й різні:

Відповідні частинні розв’язки та

лінійно незалежні, бо

Загальний розв’язок рівняння (12.38) має вигляд

(12.40)

де і - довільні сталі.

2) Корені характеристичного рівняння – комплексні числа. Нехай . Частинні розв’язки і є комплексними функціями дійсного аргументу:

або

Неважко переконатися, що функція та , які є відповідно дійсною та уявною частинами розв’язку , також задовольняють рівнянню (12.38). Справді, якщо яка-небудь комплексна функція є розв’язком рівняння (12.38) з дійсними коефіцієнтами, то та також задовольняють це рівняння. Це випливає з таких перетворень:

а комплексна функція тоді і тільки тоді дорівнює нулеві, коли її дійсна та уявна частини дорівнюють нулеві, що й треба було довести.

Зауважимо, що розв’язки та лінійно незалежні:

Отже, загальний розв’язок рівняння (12.38) у розглядуваному випадку має вигляд

(12.41)

де і - довільні сталі.

3) Корені характеристичного рівняння дійсні й рівні: При цьому один частинний розв’язок знаходиться, як у випадку 1): Другий частинний розв’язок, лінійно незалежний від першого, будемо шукати у вигляді де - невідома функція. Знайдемо і :

Підставимо та у рівняння (12.38):

(12.42)

Оскільки - корінь характеристичного рівняння, а дискримінант дорівнює нулю (корінь кратний), то або Отже, рівняння (12.42) спрощується й після скорочення на набуває вигляду . Його загальний розв’язок отримується за допомогою інтегрування двічі і має вигляд Зокрема, якщо вибрати , розв’язок буде лінійно незалежним відносно :

Загальний інтеграл диференціального рівняння (12.38) у разі кратних коренів має вигляд

(12.43)

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

а) б) в)

У прикладі а) характеристичне рівняння має вигляд або Звідси маємо (випадок1).

Згідно з формулою (12.40) загальним розв’язком рівняння буде функція .

У прикладі б) запишемо характеристичне рівняння Його корені – комплексно спряжені числа: (випадок 2). При цьому Загальний розв’язок рівняння згідно з формулою (12.41) буде

У прикладі в) корені і характеристичного рівняння збігаються: Загальний розв’язок згідно з формулою (12.43) має вигляд

Приклад 2. Матеріальна точка маси рухається прямолінійно, притягуючись до нерухомого центра силою, пропорційною відстані від точки до цього центра. Знайти закон руху точки.

Р о з в ‘ я з о к. Згідно з умовою сила , з якою притягується точка, подається у вигляді , де - коефіцієнт пропорційності, - відстань від точки до центра. За допомогою другого закону Ньютона запишемо рівняння руху точки ( - час)

.

Це однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Для зручності подамо його у вигляді

(12.44)

Цьому диференціальному рівнянню відповідає таке характеристичне рівняння

причому Корені та - комплексно спряжені числа Отже, загальний розв’язок рівняння (12.68) має вигляд

(12.45)

Знайдемо частинний розв’язок рівняння (12.44), який задовольняє початковим умовам .

Поклавши у рівність (12.45), отримаємо Про диференціюємо обидві частини (12.45):

При звідси Отже, шуканим розв’язком задачі Коші буде