Referat.me

Название: Поверхні другого порядку

Вид работы: реферат

Рубрика: Государство и право

Размер файла: 25.5 Kb

Скачать файл: referat.me-49474.docx

Краткое описание работы: Поняття поверхні другого порядку Поверхнею другого порядку називається множина точок, прямокутні координати яких задовольняють рівняння виду ах2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+kz+l=0, (1)

Поверхні другого порядку

Поняття поверхні другого порядку

Поверхнею другого порядку називається множина точок, прямокутні координати яких задовольняють рівняння виду

ах2 +by2 +cz2 +dxy+exz+fyz+gx+hy+kz+l=0, (1)

де принаймні один з коефіцієнтів а, b, c, d, e, f відмінний від нуля.

Рівняння(1) називається загальним рівнянням поверхні другого порядку.

Поверхня другого порядку як геометричний об’єкт не змінюється, якщо він заданої прямокутної системи координат перейти до іншої. При цьому рівняння і рівняння, знайдене після перетворення координат, будуть еквівалентні.

Можна довести, що існує система координат, в якій рівняння має найпростіший (або канонічний вигляд.

До поверхонь другого порядку належать, зокрема, циліндричні та конічні поверхні, поверхні обертання, сфера, еліпсоїд, одно порожнинний та двопорожнинний гіперболоїди, еліптичний та гіперболічний параболоїди. Розглянемо ці поверхні та їхні канонічні рівняння.

Циліндричні поверхні

Циліндричною поверхнею називають поверхнюσ, утворену множиною прямих (твірних), які перетинають задану лінію L (напрямну) і паралельні заданій прямій l. Вивчатимемо лише такі циліндричні поверхні, напрямні яких лежать в одній з координатних площин, а твірні паралельні координатній осі, яка перпендикулярна до цієї площини.

Розглянемо випадок, коли твірні циліндричної поверхні паралельні осі Оz, а напрямна лежить в площині Оху.

Нехай задано рівняння

f (x; y) =0, (2)

яке в площина Оху визначає деяку лінію L – множину точок М (х; у), координати яких задовольняють це рівняння. Дане рівняння задовольняють також координати всіх тих точок N(х; у; z) простору, у яких дві перші координати х і у збігаються з координатами будь-якої точки ліні L, а третя координата z – довільна, тобто тих точок простору, які проектуються на площину Оху в точки лінії L.

Всі такі точки лежать на прямій, яка паралельна осі Oz і перетинає лінію L в точці М (х; у). Сукупність таких прямих і є циліндричною поверхнею σ.

Якщо точка не лежить на поверхні σ, то вона не може проектуватися в точку лінії L, тобто координати такої точки рівняння (2) не задовольняють. Отже, рівняння (2) визначає поверхню σ. Таким чином, рівняння f (x; y) =0 визначає в просторі циліндричну поверхню, твірні якої паралельні осі Оz, а напрямна L в площині Оху задається тим самим рівняння f (x; y) =0. Ця сама лінія в просторі Охzу задається двома рівняннями:

Аналогічно рівняння f (x; y) =0, в якому відсутня зміна у, визначає в просторі циліндричну поверхню, твірні якої паралельні осі Оу, а напрямна L в площині Охz задається тим самим рівнянням f (x; y) =0; рівняння f (у; z) =0 визначає в просторі циліндричну поверхню, твірні якої паралельні осі Ох.

Поверхня обертання

Поверхню, утворену обертанням заданої плоскої кривої l навколо заданої прямої (осі обертання), яка лежить в площині кривої l, називають поверхнею обертання.

Нехай лініяl, що лежить в площині Оуz, задана рівняннями

(Х,Y, Z – змінні координати точок лінії l, а х, у, z)= змінні координати точок поверхні).

Розглянемо поверхню, утворену обертанням цієї лінії навколо осі Оz і знайдемо рівняння поверхні обертання.

Проведено через довільну точку М (х, у, z) поверхні обертання площину, перпендикулярну до осі Оz, і позначимо через К і N точки перетину цієї площини з віссю Оz і лінією l. Оскільки відрізки , КNKM рівні між собою як радіуси, КР = у, РМ = х, то Y=+ , крім того Z=z. Оскільки координати точки N задовольняють рівняння F(X, Z) = 0, то, підставляючи в це рівняння замість Y, Z рівні їм величини + , z, дістанемо рівняння

F=+ ,z) = 0,

яке задовольняє довільна точка М (х; у; z) поверхні обертання. Можнапоказати, що короординати точок, які н лежать на цій поверхні, рівняння не задовольняють. Отже, рівняння є рівнянням поверхні обертання.

Аналогічно можна скласти рівняння поверхонь обертання навколо осей Ох і Оу. Таким чином, щоб дістати рівняння поверхні обертання кривої навколо якої-небудь координатної осі, треба в рівнянні кривої залишити без зміни координату, яка відповідає осі обертання, а другу координату замінити на квадратний корінь із суми квадратів двох інших координат, взятий із знаком + або -.

Конічні поверхні

Конічною поверхнею називається поверхня, утворена множиною прямих, що проходять через задану точку Р і перетинають задану лінію L. При цьому лінія L називається напрямною конічної поверхні, точка Р – її вершиною, а кожна з прямих, які утворюють конічну поверхню, - твірною.

Нехай напрямна L задана в прямокутній системі координат рівняннями

(1)

а точка Р (х0 ; у0 ;z0 ) – вершина конічної поверхні. Щоб скласти рівняння конічної поверхні, візьмемо на поверхні довільну точку М (х; у; z) і позначимо точку перетину твірної РМ з напрямною L через N(Х,Y, Z).

Канонічні рівняння твірних, які проходять через точку N і Р, мають вигляд

= = (2)

Виключаючи Х,Y, Z з рівнянь дістанемо шукане рівняння конічної поверхні.

Похожие работы

  • Інтерполяція 4

    Пошукова робота на тему: Інтерполяція. План Інтерполяція Інтерполяційна формула Лагранжа Інтерполяційна формула Ньютона 13.16. Інтерполювання функцій

  • Суб єкти цивільних прав та обов язків Фізичні особи як учасники цивільних правовідносин

    Реферат з правознавства Суб’єкти цивільних прав та обов’язків. Фізичні особи як учасники цивільних правовідносин Поняття та види учасників цивільних відносин.

  • Закони Кеплера 2

    Назва реферату : Закони Кеплера Розділ : Астрономія, авіація, космонавтика Закони Кеплера Заслуга відкриття законів руху планет належить видатному німецькому вченому Йоганну Кеплеру (1571 —1630). На початку XVII ст. Кеплер, вивчаючи рух Марса навколо Сонця, встановив три закони руху планет.

  • Захист цивільних прав

    Реферат на тему: Захист цивільних прав Для розвитку цивільних правовідносин в суспільстві на­дання суб'єктам права лише можливості здійснення на­лежних суб'єктивних цивільних прав недостатньо. Необ­хідно надати також можливість уповноваженій особі за­хистити свої права та охоронювані законом інтереси.

  • Поняття юридична особа

    Поняття "юридична особа" Юридичні особи є активними суб'єктами міжнародного приватного права. Ними вважаються підприємства, організа ції, установи, створені відповідно до законодавства певної дер Жави. Проте поняття юридичної особи не в усіх правових системах є нормативно визначеним.

  • Проблеми правового забезпечення екологічної безпеки у процесі видобування надр

    Поняття надр та їх характеристика. Проблеми правового забезпечення відносин надрокористування в Україні. Права та обов’язки надрокористувачів. Обмеження прав надрокористувачів. Відповідальність за порушення українського законодавства про надра.

  • Підстави і порядок припинення права користування надрами

    Обов’язкові й умовні підстави припинення права користування надрами та дострокового розірвання угоди (контракту) на ці права іноземних юридичних осіб і громадян. Обов'язки державного контролю з питань надрокористування та інших природних ресурсів.

  • Посягання на територіальну цілісність і недоторканність України

    Реферат на тему: 1. Умисні дії, вчинені з метою зміни меж території або державного кордону України на порушення порядку, встановленого Конституцією України, а також публічні заклики чи розповсюдження матеріалів із закликами до вчинення таких дій —караються обмеженням волі на строк до трьох років або позбавленням волі на той же строк.

  • Кримінально-виконавче право

    Контрольна робота Кримінально-виконавче право План 1. Поняття про кримінально-виконавче право, його завдання 2. Загальні положення виконання покарань у вигляді

  • Поняття, встановлення, зміна цільового призначення земель України

    Цільове призначення земель в межах території України, головний і єдиний критерій диференціації земель на окремі категорії, які мають особливий правовий режим. Правові наслідки порушення порядку встановлення та зміни цільового призначення земель.