Похідні і диференціали вищих порядків Функції задані параметрично їх диференціювання

Пошукова робота на тему:

Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично, їх диференціювання.

П лан

• Похідні вищих порядків
• Диференціали вищих порядків.
• Похідна другого порядку від функції, заданої параметрично.

6.9. Похідні вищих порядків

Нехай функція задана на деякому проміжку і нехай всередині цього проміжку вона має похідну . Тоді може трапитися випадок, що , будучи функцією від , в деякій точці , а можливо, і в усіх точках цього проміжку, в свою чергу, має похідну. Цю похідну називають похідною другого порядку, або другою похідною, від функції в точці .

Похідна другого порядку позначається одним із символів:

.

Отже, за означенням похідна другого порядку є похідна першого порядку від похідної першого порядку, тобто

.

Звідси випливає таке правило знаходження похідної другого порядку: щоб знайти від функції похідну другого порядку, треба знати спочатку від цієї функції похідну першого порядку , а потім від похідної знайти ще похідну першого порядку. Інакше кажучи, щоб знайти , треба функцію продиференціювати два рази.

Приклад . Знайти від функції .

Р о з в ’ я з о к. Знаходимо : .

Для знаходження цей результат диференціюємо ще раз. Маємо

.

Зауваження . Якщо рух матеріальної точки відбувається за законом

.

то , як вже було з’ясовано, дорівнює швидкості точки в даний момент часу:

.

Тоді прискорення визначають як похідну першого порядку від швидкості, тобто , але , тому .

Отже, похідній другого порядку можна дати механічну інтерпретацію, а саме: її можна тлумачити як величину, що дорівнює прискоренню рухомої точки в даний момент часу.

Подібно до того як ми означили похідну другого порядку, визначається й похідна третього порядку.

Нехай у кожній внутрішній точці проміжку існує похідна другого порядку . Отже, є функція . Припустимо, що в деякій внутрішній точці має похідну першого порядку .

Похідна першого порядку від похідної другого порядку називається похідною третього порядку, або третьою похідною в точці, і позначається одним із символів:

.

Отже, за означенням

.

Звідси й випливає правило знаходження похідної третього порядку, треба функцію послідовно три рази продиференціювати.

Приклад . Знайти від функції .

Р о з в ’ я з о к. Знаходимо : .

Цей результат ще раз диференціюємо, тобто шукаємо

.

Продиференціювавши ще раз, знаходимо похідну третього порядку:

.

Від похідної третього порядку можна перейти до похідної четвертого порядку, а від похідної четвертого порядку – до похідної п’ятого порядку і т. д. Взагалі, якщо припустити, що від функції вже визначена похідна - го порядку і остання існує в кожній внутрішній точці проміжку , то можна дати означення похідної - го порядку від функції в точці .

Означення . Похідна першого порядку, якщо вона існує, від похідної - го порядку називається похідною - го порядку, або - ю похідною, позначається одним із символів:

.

Отже, згідно з означенням похідної - го порядку маємо таку рівність:

,

а звідси й випливає правило знаходження похідної - го порядку: щоб знайти похідну - го порядку, треба функцію продиференціювати послідовно раз.

Зауважимо, що похідні від першого до четвертого порядку позначають так: . Похідні п’ятого, шостого і т. д.

- го порядку: .

6.10. Диференціали вищих порядків

Розглянемо на деякому проміжку функцію , яка на цьому проміжку має похідні до - го порядку включно. Тоді для такої функції в кожній точці проміжку існує диференціал

.

У подальшому диференціал називатимемо диференціалом першого порядку, або першим диференціалом від функції .

Диференціал першого порядку є функція від і отже, якщо функція є, в свою чергу диференційованою на проміжку , то вона (або, те саме, ) має диференціал. Цей диференціал називають диференціалом другого порядку, або другим диференціалом від функції , і позначають .

Отже, за означенням . Підставимо в цю рівність . Матимемо

.

Оскільки є приріст аргументу і є величина стала, то його можна виносити за знак операції диференціювання. Отже, дістаємо такі формули для диференціала другого порядку:

. (6.68)

Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д. порядків. Зокрема, якщо для функції уже означений диференціал - го порядку - й диференціал то диференціалом - го порядку, або - м диференціалом від функції називається диференціал першого порядку від диференціала - го порядку. Диференціал - го порядку визначається символом .

Отже, згідно з означенням

.

Використовуючи формулу диференціала першого порядку, можна вивести таку формулу для диференціала - го порядку:

(6.69)

Приклад . Знайти другий диференціал від функції .

Р о з в ’ я з о к. Знаходимо похідні і :

,

Тоді

.

При розгляданні диференціала першого порядку була доведена його інваріантна властивість: форма диференціала не змінюється і в тому випадку, коли аргумент функції є, в свою чергу, деякою функцією від .

Виявляється, що диференціали вищих порядків такої властивості не мають. Покажемо це на прикладі диференціала другого порядку.

Нехай маємо складну функцію , де функції і мають похідні за своїми аргументами до другого порядку включно. Тоді має диференціал ,

де - похідна за аргументом , а .

Знайдемо . Згідно з означенням

.

Оскільки диференціал першого порядку має інваріантну властивість, то

Остаточно дістанемо таку рівність:

. (6.70)

Порівнюючи формули (6.75) та (6.77), виводимо, що формула диференціала другого порядку змінюється. У формулі (6.70) є новий доданок , який у випадку не дорівнює нулю.

Якщо функція задана параметрично

то її друга похідна обчислюється за формулою

(6.71)