Название: Частинні похідні і диференціали вищих порядків
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 30.89 Kb
Скачать файл: referat.me-218406.docx
Краткое описание работы: Пошукова робота на тему: Частинні похідні і диференціали вищих порядків. Частинні похідні вищих порядків Теорема про рівність змішаних похідних Диференціали вищих порядків
Частинні похідні і диференціали вищих порядків
Пошукова робота на тему:
Частинні похідні і диференціали вищих порядків.
П лан
- Частинні похідні вищих порядків
- Теорема про рівність змішаних похідних
- Диференціали вищих порядків
6.11.Частинні похідні вищих порядків
Розглянемо функцію двох змінних . Її частинні похідні і є функціями змінних і . Від цих похідних також можна знайти частинні похідні. Їх буде чотири, оскільки від кожної з функцій і можна знайти частинні похідні по та по . Назвемо їх частинними похідними другого порядку і позначатимемо:
- функція два рази диференціюється по ;
- функція диференціюється по , а потім по ;
- функція диференціюється по , а потім по ;
- два рази диференціюється по .
Похідні другого порядку також можна диференціювати по і . Одержані при цьому похідні називаються частинними похідними третього порядку функції . Їх буде вісім. Аналогічно позначаються похідні більш високих порядків.
Приклад. Знайти другі частини похідних від функції .
Р о з в ’ я з о к. Знайдемо перші частинні похідні:
; .
Диференціюємо кожну з них по і . Одержуємо частинні похідні другого порядку:
.
В розглянутому прикладі
.
Залежність результату диференціювання від порядку диференціювання за різними змінними визначає така теорема.
Теорема . Якщо функція та її частинні похідні означені і неперервні в точці і в деякому її околі, то в цій точці
,
тобто результат диференціювання не залежить від порядку диференціювання за різними змінними.
Доведення теореми опускаємо.
Зауваження . Аналогічна теорема справедлива для будь-якого числа змінних і для похідних більш високих порядків.
Нехай - диференційована в області функція двох незалежних змінних і . В будь-якій точці цієї області ми можемо обчислити новий диференціал:
.
Будемо називати його диференціалом першого порядку. Він залежить від значень і , тобто є функцією чотирьох змінних. Закріпивши і , одержимо функцію двох змінних і , означену в області .
Диференціал від цієї функції в будь-якій точці області , якщо він існує, називається диференціалом другого порядку від функції в точці . Позначається або .
Отже, за означенням .
Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д. порядків. Зокрема,
.
Якщо функція в області має неперервні частинні похідні до - го порядку включно в кожній точці області існують. Обчислимо їх:
тощо.
Введемо символічну - у степінь : вираз, одержаний в результаті піднесення двочлена, записаного в дужках, у звичайну - у степінь із подальшою зміною степенів і , помножених на , частинними похідними відповідного порядку від функції .
Тоді
(6.72)
…………………………………………….
Зауваження . Якщо - диференційована функція проміжних змінних і , які, в свою чергу, є диференційованими функціями і , то, обчислюючи , і т. д. ,ми уже не одержимо формул (6.78) для обчислення диференціалів.
Так,
Тут і - не є постійними (постійні ). Отже, в цьому випадку форма запису другого, третього і т. д. порядків не є інваріантною.
Похожие работы
-
Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ДОНБАСЬКИЙ ГІРНІЧО-МЕТАЛУРГІЙНИЙ ІНСТИТУТ Т.М. Сукач Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової системи
-
Похідні та диференціали функції багатьох змінних
Частинні похідні та диференційованість функції: поняття та теореми. Повний диференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок. Диференціали вищих порядків. Інваріантність форми повного диференціала. Диференціювання неявної функції.
-
Інтегрування деяких рівнянь другого порядку шляхом пониження порядку рівняння
Пошукова робота на тему: Інтегрування деяких рівнянь другого порядку шляхом пониження порядку рівняння. План Лінійні диференціальні рівняння другого порядку (загальна теорія)
-
Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами Задача Коші
з дисципліни: „Вища математика” Розділ 6: „Диференціальні рівняння” на тему: „Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами. Задача Коші.” Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.
-
Диференціальні рівняння вищих порядків
ВІННИЦЬКИЙ ФІНАНСОВО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Кафедра економічної кібернетики ЗВІТ з навчальної практики на тему: «Диференціальні рівняння вищих порядків»
-
Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах. Площа
Пошукова робота на тему: Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах. Площа поверхні. План Довжина дуги кривої в декартових і полярних координатах
-
Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернулл
Пошукова робота на тему: Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі). План Рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними
-
Застосування частинних похідних
Побудова дотичної площини та нормалі до поверхні. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних. Поняття скалярного поля, зв'язок між градієнтом і похідною в даній точці. Формула Тейлора для функції двох змінних та її локальні екстремуми.
-
Теореми Ролля Лагранжа Коші Правило Лопіталя Формула Тейлора для функції однієї та двох змін
Пошукова робота на тему: Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних. План Основні теореми диференціального числення
-
Похідні і диференціали вищих порядків Функції задані параметрично їх диференціювання
Пошукова робота на тему: Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично, їх диференціювання. План Похідні вищих порядків Диференціали вищих порядків.