Название: Математическое програмирование
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 736.29 Kb
Скачать файл: referat.me-214688.docx
Краткое описание работы: Математическое программирование Задача 1 Для производства двух видов изделий А и В используется три типа технологического оборудования. Для производства единицы изделия А оборудование первого типа используется 2 часа, оборудование второго типа – 1 час, оборудование третьего типа – 3 часа. Для производства единицы изделия В оборудование первого типа используется 2 часа, оборудование второго типа – 2 часа, оборудование третьего типа – 1 час.
Математическое програмирование
Математическое программирование
Задача 1
Для производства двух видов изделий А и В используется три типа технологического оборудования. Для производства единицы изделия А оборудование первого типа используется 2 часа, оборудование второго типа – 1 час, оборудование третьего типа – 3 часа. Для производства единицы изделия В оборудование первого типа используется 2 часа, оборудование второго типа – 2 часа, оборудование третьего типа – 1 час.
На изготовление всех изделий предприятие может использовать оборудование первого типа не более чем 48 часа, оборудование второго типа – 38 часов, оборудование третьего типа – 54 часов.
Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет 2 денежные единицы, а изделия В – 3 денежные единицы.
Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. Решить задачу симплекс-методом путем преобразования симплекс-таблиц. Дать геометрическое истолкование задачи, используя для этого ее формулировку с ограничениями – неравенствами.
Решение.
Данная задача является задачей линейного программирования. Под планом производства понимается: сколько изделий А и сколько изделий В надо выпустить, чтобы прибыль была максимальна.
Прибыль рассчитывается по формуле:
Запишем математическую модель задачи:
Решим данную задачу графически.
Для этого построим на плоскости области, описываемые ограничениями-неравенствами, и прямую
, которая называется целевой функцией.
Три записанных выше неравенства ограничивают на плоскости многоугольник, ограниченный слева и снизу координатными осями (т.к. искомое количество изделий положительно).
График целевой функции передвигается в направлении, обозначенном стрелкой (в направлении своего градиента), до тех пор, пока не достигнет граничной точки многоугольника – в нашем случае это точка – (10 ; 14). В этой точке целевая функция будет достигать максимума.
Решим эту задачу симплекс-методом. Для этого перейдем от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам, введя дополнительные переменные .
Составляем симплекс-таблицу:
Базис | Cб | В | 2 | 3 | 0 | 0 | 0 |
А1 | А2 | А3 | А4 | А5 | |||
А3 | 0 | 48 | 2 | 2 | 1 | 0 | 0 |
А4 | 0 | 38 | 1 | 2 | 0 | 1 | 0 |
А5 | 0 | 54 | 3 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Fi - Ci | 0 | -2 | -3 | 0 | 0 | 0 |
В графе Базис записываются вектора переменных, принимаемые за базисные. На первом этапе это – А3 , А4 , А5 . Базисными будут переменные, каждая из которых входит только в одно уравнение системы, и нет такого уравнения, в которое не входила бы хотя бы одна из базисных переменных.
В следующий столбец записываются коэффициенты целевой функции, соответствующие каждой переменной. Столбец В – столбец свободных членов. Далее идут столбцы коэффициентов Аi
при i –й переменной.
Под столбцом свободных членов записывается начальная оценка
Остальные оценки записываются под столбцами соответствующих векторов .
Преобразуем симплекс-таблицу следующим образом:
Шаг 1: Проверяется критерий оптимальности, суть которого состоит в том, что все оценки должны быть неотрицательны. В нашем случае этот критерий не выполнен, поэтому переходим ко второму шагу.
Шаг 2: Для отрицательных оценок вычисляются величины:
Из этих элементов выбирается тот, для которого вычисленное произведение минимально, в нашем случае -57 минимально, поэтому в качестве разрешающего элемента выбирается второй элемент второго столбца – 2 (выделен в таблице).
Шаг 3: Вторая строка таблицы делится на 2
От элементов строки 1 отнимает соответствующие элементы строки 2, умноженные на 2.
От элементов строки 3 отнимает соответствующие элементы строки 2.
От элементов строки 4 отнимает соответствующие элементы строки 2, умноженные на -3.
Базис | Cб | В | 2 | 3 | 0 | 0 | 0 |
А1 | А2 | А3 | А4 | А5 | |||
А3 | 0 | 10 | 1 | 0 | 1 | - | 0 |
А5 | 0 | 19 | 0,5 | 1 | 0 | 0,5 | 0 |
А2 | 3 | 35 | 2,5 | 0 | 0 | -0,5 | 1 |
Fi - Ci | 57 | -0,5 | 0 | 0 | 1,5 | 0 |
Таким образом, новыми базисными переменными становятся А3 , А5 , А2 .
Возвращаемся к шагу 1 и повторяем весь процесс.
Проверяется критерий оптимальности. Отрицательная оценка только одна – в столбце А1 .
Вычисляем:
Разрешающим элементом будет первый элемент первого столбца – 1.
Новыми базисными переменными становятся A5 , A2 , A1
От элементов строки 2 отнимает соответствующие элементы строки 1, умноженные на 0,5.
От элементов строки 3 отнимает соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2,5.
От элементов строки 4 отнимает соответствующие элементы строки 1, умноженные на -0,5.
Базис | Cб | В | 2 | 3 | 0 | 0 | 0 |
А1 | А2 | А3 | А4 | А5 | |||
А5 | 0 | 10 | 1 | 0 | 1 | -1 | 0 |
А2 | 3 | 14 | 0 | 1 | -0,5 | 1 | 0 |
А1 | 2 | 10 | 0 | 0 | -2,5 | 2 | 1 |
Fi - Ci | 62 | 0 | 0 | 1,5 | 1 | 0,5 |
Отрицательных оценок нет, то есть критерий оптимальности выполнен.
Таким образом, получается искомое значение целевой функции
F(10; 14; 0; 0; 10) = 62, т.е. возвращаясь к системе неравенств, получаем:
Ответы, полученные различными методами, совпадают.
Ответ: хопт = ( 10 , 14) Значение функции : F = 62
Задача 2
Имеются три пункта отправления А1 ,А2 ,А3 однородного груза и пять пунктов В1 , В2 , В3 , В4 , В5 его назначения. На пунктах А1 ,А2 ,А3 находится груз в количествах 50, 30, 70 тонн. В пункты В1 , В2 , В3 , В4 , В5 требуется доставить соответственно 20, 30, 50, 30, 20 тонн груза. Расстояния в сотнях километрах между пунктами отправления и назначения приведены в матрице D:
Пункты отправления |
Пункты назначения | ||||
В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | |
А1 | 9 | 5 | 1 | 1 | 9 |
А2 | 7 | 1 | 4 | 9 | 4 |
А3 | 5 | 3 | 4 | 9 | 9 |
Найти такой план перевозок, при котором общие затраты на перевозку грузов будут минимальными.
Указания: 1) считать стоимость перевозок пропорциональной количеству груза и расстоянию, на которое этот груз перевозится, т.е. для решения задачи достаточно минимизировать общий объем плана, выраженный в тонно-километрах;
2) для решения задачи использовать методы северо-западного угла и потенциалов.
Решение.
Составим математическую модель задачи:
Обозначим - количество груза, перевезенного из пункта отправления i в пункт назначения j.
Получим следующие ограничения (т.к. весь груз должен быть вывезен, и все потребности удовлетворены полностью):
При этом должна быть минимизирована целевая функция
Построим опорный план методом северо-западного угла:
Пункты отправления |
Пункты назначения | Запасы | ||||
В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | ||
А1 | 9 20 |
5 30 |
1 | 1 | 9 | 50 |
А2 | 7 | 1 | 4 30 |
9 | 4 | 30 |
А3 | 5 | 3 | 4 20 |
9 30 |
9 20 |
70 |
Потребности | 20 | 30 | 50 | 30 | 20 | 150 |
Принцип заполнения таблицы состоит в том, что, начиная с крайней левой верхней ячейки (принцип северо-западного угла), количество грузов вписывается в таблицу так, чтобы потребности полностью удовлетворялись или груз полностью вывозился.
Построим систему потенциалов. Ui - потенциалы, соответствующие поставщикам, Vi - потенциалы, соответствующие потребителям.
Полагаем U1 =0, а далее Ui + Vi = dij для занятых клеток таблицы.
Пункты отправления |
Пункты назначения | Запасы | |||||
В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | |||
V1 =9 | V2 =5 | V3 =4 | V4 =9 | V5 =9 | |||
А1 | U1 =0 | 9 20 |
5 30 |
1 | 1 | 9 | 50 |
А2 | U2 =0 | 7 | 1 | 4 30 |
9 | 4 | 30 |
А3 | U3 =0 | 5 | 3 | 4 20 |
9 30 |
9 20 |
70 |
Потребности | 20 | 30 | 50 | 30 | 20 | 150 |
Проверим критерий оптимальности : для свободных клеток.
Из тех условий, где критерий не выполняется, выбираем то условие, где разница максимальна. Это – ячейка (1 , 4). Перебросим в ячейку (1 , 4) 20 единиц груза из ячейки (1 , 1).
Пункты отправления |
Пункты назначения | Запасы | |||||
В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | |||
V1 =9 | V2 =5 | V3 =4 | V4 =9 | V5 =9 | |||
А1 | U1 =0 | 9 |
5 30 |
1 | 1 20 |
9 | 50 |
А2 | U2 =0 | 7 | 1 | 4 30 |
9 | 4 | 30 |
А3 | U3 =0 | 5 20 |
3 | 4 20 |
9 10 |
9 20 |
70 |
Потребности | 20 | 30 | 50 | 30 | 20 | 150 |
Чтобы компенсировать недостаток в третьей строке, перебросим те же 20 единиц груза из ячейки (3 , 4) в ячейку (3 , 1).
Получили новую таблицу, для которой повторяем расчет потенциалов:
Полагаем U1 =0, а далее Ui + Vi = dij для занятых клеток таблицы.
Пункты отправления |
Пункты назначения | Запасы | |||||
В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | |||
V1 =5 | V2 =5 | V3 =4 | V4 =1 | V5 =9 | |||
А1 | U1 =0 | 9 |
5 30 |
1 | 1 20 |
9 | 50 |
А2 | U2 =0 | 7 | 1 | 4 30 |
9 | 4 | 30 |
А3 | U3 =0 | 5 20 |
3 | 4 20 |
9 10 |
9 20 |
70 |
Потребности | 20 | 30 | 50 | 30 | 20 | 150 |
Проверим критерий оптимальности : для свободных клеток.
Из тех условий, где критерий не выполняется, выбираем то условие, где разница максимальна. Это – ячейка (2 , 5). Перебросим в ячейку (2 ,5) 20 единиц груза из ячейки (1 , 2).
Пункты отправления |
Пункты назначения | Запасы | |||||
В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | |||
V1 =5 | V2 =5 | V3 =4 | V4 =1 | V5 =9 | |||
А1 | U1 =0 | 9 |
5 10 |
1 20 |
1 20 |
9 | 50 |
А2 | U2 =0 | 7 | 1 | 4 10 |
9 | 4 20 |
30 |
А3 | U3 =0 | 5 20 |
3 20 |
4 20 |
9 10 |
9 |
70 |
Потребности | 20 | 30 | 50 | 30 | 20 | 150 |
Получили новую таблицу, для которой повторяем расчет потенциалов:
Полагаем U1 =0, а далее Ui + Vi = dij для занятых клеток таблицы.
Пункты отправления |
Пункты назначения | Запасы | |||||
В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | |||
V1 =2 | V2 =5 | V3 =1 | V4 =1 | V5 =1 | |||
А1 | U1 =0 | 9 |
5 10 |
1 20 |
1 20 |
9 | 50 |
А2 | U2 =3 | 7 | 1 | 4 10 |
9 | 4 20 |
30 |
А3 | U3 =3 | 5 20 |
3 20 |
4 20 |
9 10 |
9 |
70 |
Потребности | 20 | 30 | 50 | 30 | 20 | 150 |
Проверим критерий оптимальности : для свободных клеток.
Из тех условий, где критерий не выполняется, выбираем то условие, где разница максимальна. Это – ячейка (2 , 2). Перебросим в ячейку (2 ,2) 10 единиц груза из ячейки (1 , 2).
Пункты отправления |
Пункты назначения | Запасы | |||||
В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | |||
V1 =2 | V2 =5 | V3 =1 | V4 =1 | V5 =1 | |||
А1 | U1 =0 | 9 |
5 |
1 20 |
1 30 |
9 | 50 |
А2 | U2 =3 | 7 | 1 10 |
4 |
9 | 4 20 |
30 |
А3 | U3 =3 | 5 20 |
3 20 |
4 30 |
9 |
9 |
70 |
Потребности | 20 | 30 | 50 | 30 | 20 | 150 |
Получили новую таблицу, для которой повторяем расчет потенциалов:
Полагаем U1 =0, а далее Ui + Vi = dij для занятых клеток таблицы.
Пункты отправления |
Пункты назначения | Запасы | |||||
В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | |||
V1 =3 | V2 =1 | V3 =1 | V4 =1 | V5 =4 | |||
А1 | U1 =0 | 9 |
5 |
1 20 |
1 30 |
9 | 50 |
А2 | U2 =0 | 7 | 1 10 |
4 |
9 | 4 20 |
30 |
А3 | U3 =2 | 5 20 |
3 20 |
4 30 |
9 |
9 |
70 |
Потребности | 20 | 30 | 50 | 30 | 20 | 150 |
Проверим критерий оптимальности : для свободных клеток.
Критерий выполнен, значит, полученное решение оптимально.
Найдем минимальную стоимость перевозок.
Ответ:
Задача 3
Дана задача выпуклого программирования. Требуется:
1) найти решение графическим методом
2) написать функцию Лагранжа данной задачи и найти ее седловую точку, используя решение задачи, полученное графически.
Решение.
Графическое решение задачи следующее:
Система неравенств определяет область, ограниченную двумя прямыми и координатными осями. График целевой функции представляет собой окружность переменного радиуса с центром в точке (5, 10). Значение целевой функции графически представляет собой квадрат радиуса этой окружности. Минимальным радиусом, удовлетворяющим системе ограничений, будет такой радиус, который обеспечивает касание окружности с границей области так, как это показано на рисунке.
Искомая точка определяется как решение системы уравнений
Получили точку (3 , 8), значение целевой функции в этой точке равно
Запишем задачу в традиционном виде:
Функция называется функцией Лагранжа, а переменные
- коэффициентами Лагранжа.
Точка называется седловой точкой функции Лагранжа, если для любых
выполняются неравенства:
Если функции f, gдифференцируемы, то условия определяющие седловую точку (условия Куна-Таккера):
В данном случае получаем:
Подставим в эти выражения значения:
Получаем
Седловая точка функции Лагранжа:
Проверим условие cедловой точки:
Условия выполнены, седловая точка.
Ответ:
Задача 4
Для двух предприятий выделено 900 единиц денежных средств. Как распределить все средства в течение 4 лет, чтобы доход был наибольшим, если известно, что доход от х единиц, вложенных в первое предприятие равен , а доход от у единиц, вложенных во второе предприятие равен
. Остаток средств к концу года составляет
- для первого предприятия,
- для второго предприятия. Решить задачу методом динамического программирования.
Решение.
Процесс распределения средств разобьем на 4 этапа – по соответствующим годам.
Обозначим - средства, которые распределяются на k–ом шаге как сумма средств по предприятиям.
Суммарный доход от обоих предприятий на k–ом шаге:
Остаток средств от обоих предприятий на k–ом шаге:
Обозначим - максимальный доход, полученный от распределения средств между двумя предприятиями с k-го шага до конца рассматриваемого периода.
Рекуррентные соотношения Беллмана для этих функций
Проведем оптимизацию, начиная с четвертого шага:
4-й шаг.
Оптимальный доход равен:
, т.к. линейная возрастающая функция достигает максимума в конце рассматриваемого промежутка, т.е. при
.
3-й шаг.
т.к. линейная возрастающая функция достигает максимума в конце рассматриваемого промежутка, т.е. при .
2-й шаг.
т.к. линейная возрастающая функция достигает максимума в конце рассматриваемого промежутка, т.е. при
.
1-й шаг.
т.к. линейная возрастающая функция достигает максимума в конце рассматриваемого промежутка, т.е. при .
Результаты оптимизации:
Определим количественное распределение средств по годам:
Так как ,
, получаем
Представим распределение средств в виде таблицы:
предприятие | год | |||
1 | 2 | 3 | 4 | |
1 | 900 | 90 | 9 | 0,9 |
2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
При таком распределении средств за 4 года будет получен доход, равный
Ответ:
Похожие работы
-
Сертификация: испытательная лаборатория
Испытания и измерения при осуществлении обязательной сертификации продукции проводятся аккредитованными на компетентность и независимость испытательными лабораториями в пределах своей области аккредитации.
-
Обеспечение надежности действующих ТЭС
На каждой ТЭС устанавливается состав работ по техническому обслуживанию с указанием периодичности их выполнения, назначаются персональных ответственные исполнители.
-
Контрольная работа по Экономико-математическим методам
Контрольная работа по дисциплине «ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ и модели» вариант 10 Алгоритм решения транспортной задачи Применение алгоритма решения транспортной задачи требует соблюдения ряда предпосылок:
-
по Информационной системе в экономике
Всероссийский заочный финансово-экономический институт Филиал в г.Волгограде Кафедра автоматизированной обработки экономической информации Контрольная работа по дисциплине
-
Автоматизированная система диспетчерского контроля
Автоматизированные системы управления позволяют в едином информационном пространстве оперативно решать главные технологические, экономические и управленческие задачи, обеспечить менеджеров различного уровня управления необходимой и достоверной информацией для принятия оптимальных решений.
-
Решение задачи про кондитерскую фабрику
Задание 1 Маленькая кондитерская фабрика должна закрыться на реконструкцию, поэтому надо реализовать оставшиеся запасы сырья, получив максимальную прибыль. Запасы и расход сырья для производства единицы продукции каждого вида, а также получаемая при этом прибыль представлены в таблице.
-
Задача линейного программирования
Юридический техникум Рассмотрено и одобрено ПЦК г. Кропоткин программирования Председатель ПЦК Покалицына О.В. План чтения лекции по учебной дисциплине
-
Расчёт экономической эффективности внедрения новой техники
ЧАСТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КОЛЛЕДЖ ПРАВА И ЭКОНОМИКИ УТВЕРЖДАЮ Заместитель директора по УПР ______М.В. Залесская
-
Теория вероятностей
Поиск искомой вероятности через противоположное событие. Интегральная формула Муавра–Лапласа. Нахождение вероятности попадания в заданный интервал распределенной случайной величины по ее математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению.
-
Построение математических моделей 2
Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО УГТУ-УПИ Кафедра автоматизированных систем управления Курсовая работа по дисциплине «Теория принятия решений»