Referat.me

Название: Интересные примеры в метрических пространствах

Вид работы: реферат

Рубрика: Математика

Размер файла: 23.41 Kb

Скачать файл: referat.me-215501.docx

Краткое описание работы: Интересные примеры в метрических пространствах: 1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром , то вершины этих кубиков будут образовывать конечную

Интересные примеры в метрических пространствах

Интересные примеры

в метрических пространствах:

1. В n - мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром e, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную -сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.

1. Единичная сфера S в пространстве l 2 дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:

е 1 =(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),

е 2 =(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),

…………………………,

е n =(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),

………………………….

Расстояние между любыми двумя точками е n и е м (n ¹ m ) равно Ö2. Поэтому последовательность {е i } и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной e-сети ни при каком e<Ö2/2.

2. Рассмотрим в l 2 множество П точек

x=(x1 , x2 , ¼, xn , ...),

удовлетворяющих условиям:

| x1 |£1, | x2 |£1/2, ¼,| xn |£1/2n -1 , ...

Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым кирпичем») пространства l 2 . Оно представляет собой пример бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом.

Пусть e>0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1 <e/2. Каждой точке x=(x1 , x2 , ¼, xn , ...)

из П сопоставим точку x*=(x1 , x2 , ¼, xn , 0, 0, ...)

из того же множества. При этом

r(x,x*)=£<1/2n -1 <e/2.

Множество П* точек вида x*=(x1 , x2 , ¼, xn , 0, 0, ...) из П вполне ограничено (как ограниченное множество в n -мерном пространстве). Выберем в П* конечную e/2-сеть. Она будет в то же время e-сетью во всем П . Докажем это.

Доказательство : для "e>0, выберем n так, что 1/2n -1 <e/2.

"xÎП : x=(x1 , x2 , ¼, xn , ...) сопоставим

x*=(x1 , x2 , ¼, xn , 0, 0, ...) и x*ÎП . При этом r(x,x*)<e/2. Из пространства П выберем x**: r(x*,x**)<e/2.

Тогда: r(x,x**)£r(x,x*)+r(x*,x**)<e/2+e/2=e.

Множество П* содержит точки вида x*=(x1 , x2 , ¼, xn , 0, 0, ...), в этом множестве выберем конечную e/2-сеть. Она будет e-сетью в пространстве П , так какr(x,x**)<e.

Похожие работы

  • Геометрические свойства регулярного круглого конуса в пространстве

    Приведены явные формулы для вычисления множеств положительных и отрицательных частей произвольного элемента в пространстве , упорядоченном круглым регулярным конусом.

  • Компактные операторы

    Содержание Введение........................................................................................................... 3 §1. Основные понятия и определения............................................................. 4

  • Метрические характеристики графа

    ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОСИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное Образовательное Учреждение Высшего Профессионального Образования «Воронежский Государственный Технический Университет» (ГОУВПО «ВГТУ»)

  • Функциональный анализ

    Функциональный анализ Абсолютно непрерывные функции. Связь между абсолютно непрерывными функциями и интегралом Лебега (КФЭ 394). Абсолютно непрерывной называется такая функция , заданная на отрезке [a,b], что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов (ak,bk) с суммой длин меньшей , сумма модулей разностей значений функции в концах интервалов меньше чем .

  • Полином Жегалкина

    Изучение булевых функций. Алгоритм представления булевых функций в виде полинома Жегалкина. Система функций множества. Алгебраические преобразования, метод неопределенных коэффициентов. Таблица истинности для определенного количества переменных.

  • Операторы проектирования

    Основные понятия и предложения. Дополняемость в гильбертовых пространствах. Задача о дополняемости. Доказательство замкнутости ядра. Формула изменения коэффициентов Фурье при сдвиге на некоторое вещественное число.

  • Методы квантования систем с нелинейной геометрией фазового пространства

    Практически все интересные модели фундаментальных взаимодействий (включая Стандартную модель, Эйнштейновскую гравитацию, теорию струн и пр.) - это теории с калибровочной симметрией или, в более широком контексте, гамильтоновыми системами со связями.

  • Некоторые линейные операторы

    Содержание Введение §1. Определение линейного оператора. Примеры §2. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора

  • Стереометрия

    Определения и свойства двух, трехгранных углов, многогранников.

  • Оператор сдвига

    Оператор сдвига в гильбертовом пространстве. Основные понятия и факты теории линейных операторов. Определение и примеры линейных операторов. Ограниченность и норма линейного оператора. Сумма и произведение линейных операторов.