Referat.me / Математика / Использование расчетных формул в задачах

Название: Использование расчетных формул в задачах

Вид работы: контрольная работа

Размер файла: 88.17 Kb

Скачать файл: referat.me-215660.docx

Краткое описание работы: Определение центра тяжести сечения. Вычисление, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения вала равно нулю, построение эпюры крутящих моментов. Расчет значений осевых и центробежных моментов инерции, построение схемы сечения.

Использование расчетных формул в задачах

Задача 1.

Определить центр тяжести сечения.

Решение

Укажем оси координат X и Y с началом в нижнем левом углу сечения.

Сечение разобьем на два простых сечения – прямоугольник 1 с центром тяжести С₁ и квадрат 2 с центром тяжести С₂ .

Координаты центра тяжести С сечения находим по формулам:

и , где

x ₁ = 15 мм - координата центра тяжести С₁ прямоугольника по оси Х ;

y ₁ = 30 мм - координата центра тяжести С₁ прямоугольника по оси Y ;

x ₂ = 45 мм - координата центра тяжести С₂ квадрата по оси Х ;

y ₂ = 15 мм - координата центра тяжести С₂ квадрата по оси Y ;

F ₁ = = 1800 мм2 - площадь прямоугольника;

F ₂ = = 900 мм2 - площадь квадрата.

Тогда

мм, мм.

Задача 2.

К стальному валу приложены три известных момента М ₁ , М ₂ , М ₃ . Требуется: 1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения вала равно нулю; 2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его значение до ближайшего, равного 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм; 4) построить эпюру углов закручивания; 5) найти наибольший относительный угол закручивания (на 1 м).

Для стали принять G = МПа. Полярный момент инерции м⁴

a = 1,9 м, b = 1,2 м, c = 1,4 м,

М ₁ = 1900 Нм, М ₂ = 1200 Нм,

М ₃ = 1700 Нм, [τ] = 75 МПа.

Решение.

1) Угол поворота правого концевого сечения определяется как алгебраическая сумма взаимных углов поворота сечений на участках АВ, BC, CD, DE

Отсюда определим момент X

Х = 1178,125Нм

2) Строим эпюру крутящих моментов M _К (см. рис а )

Определяем опорные реакции. Отбросив опору (в данном случае защемление), заменим ее возможными реакциями. Т. к. все активные силы представляют собой крутящие моменты, то в опоре возникает только одно воздействие крутящий момент М _Е , который определим из уравнения равновесия:

; М _Е – 1900 + 1200 – 1700 + 1178,125 = 0

М _Е = 1900 – 1200 + 1700 – 1178,125 = 1221,875 Нм

При построении эпюры крутящих моментов М _К применяем метод сечений дл каждого из четырех участков.

Для участка DE :

; Нм

Для участка CD :

; Нм

Для участка ВС :

; Нм

Для участка АВ :

; Нм

3) Определяем диаметр вала

Из эпюры максимальный М _К = 1221,875 Нм на участке DE . На этом участке возникает максимальное касательное напряжение , где W_P – момент сопротивления сечения

Приравнивая τ [τ], определим диаметр вала

0,043 м или 43 мм,

Согласно условиям задачи принимаем d = 45 мм.

4) Строим эпюру углов закручивания (см. рис. в ) для всех участков по формуле

Выбираем начало координат в точке Е.

Участок DE :

Угол поворота сечения, взятого на расстоянии z от неподвижного сечения Е , будет

, где ;

при z = 0 φ = 0;

при z = a = 1,9 м

= – 0,071 рад.

Участок CD :

, где

при z = а = 1,9 м φ = – 0,071 рад;

при z = (a + b ) = 3,1 м = – 0,046 рад.

Участок BC :

, где

при z = (а + b ) = 3,1 м φ = – 0,046 рад;

при z = (a + b + c ) = 4,5 м = – 0,068 рад.

Участок AB :

, где

при z = (а + b + c ) = 4,5 м φ = – 0,068 рад;

при z = (2a + b + c ) = 6,4 м = 0 рад.

5) Наибольший относительный угол закручивания будет на участке DE

== 0,037 рад/м

Задача 3.

Для поперечного сечения, составленного из стандартных прокатных профилей, требуется:

1) определить положение центра тяжести;

2) найти значения осевых и центробежных моментов инерции относительно горизонтальной и вертикальной осей, проходящих через центр тяжести сечения;

3) определить направления главных центральных осей инерции;

4) найти значения моментов инерции относительно главных центральных осей;

5) вычертить сечение в масштабе 1:2 и указать на нем все оси и размеры.

Схема сечения состоит из двух прокатных профилей:

профиля I - швеллера № 30,

профиля II - двутавра № 33.

Решение.

Геометрические характеристики швеллера берем по ГОСТ 8240-72:

h^I = 300 мм, b^I = 100 мм, d^I = 6,5 мм, t^I = 11 мм,

см⁴ , см⁴ , А₁ = 40,5 см² , z ₀ = 2,52 см.

Геометрические характеристики двутавра берем по ГОСТ 8239-72:

h^II = 330 мм, b^II = 140 мм, d^II = 7 мм, t^II = 11,2 мм,

см⁴ , см⁴ , А₂ = 53,8 см² .

Выбираем вспомогательные оси V , Z и определяем относительно их координаты центра тяжести составного сечения

19,7 см;

13,4 см.

Вспомогательные центральные оси X _C и Y _C параллельны осям V и Z .

Вычисляем осевые и центробежные моменты инерции относительно этих осей. Центральные вспомогательные осиX _C и Y _C параллельны осям центральным осям швеллера и двутавра, относительно которых моменты инерции известны.

Тогда

Осевые моменты инерции

см⁴ = м⁴

Центробежный момент инерции

Для швеллера оси X ₁ , Y ₁ являются главными, поэтому . Для двутавра оси X ₂ , Y ₂ являются главными, поэтому .

Тогда

см⁴ = м⁴

Определяем положение главных осей инерции составного сечения (угол наклона) к исходной оси X _C

–1,165 .

Определяем главные моменты инерции составного сечения по формулам

м⁴ ;

м⁴ .

Проверим правильность расчетов по выполнению соотношений

м⁴

, то есть расчет произведен точно.

Задача 4.

Определить диаметр стального вала постоянного сечения из условия прочности, приняв [τ] = 30 Н/мм² . Мощности P₁ = 52 кВт, Р₂ = 100 кВт, Р₃ = 60 кВт. Угловая скорость ω = 32 рад/с.