Название: Расчет показателей надежности и законов их распределения
Вид работы: курсовая работа
Рубрика: Математика
Размер файла: 65.91 Kb
Скачать файл: referat.me-215937.docx
Краткое описание работы: Расчет параметров экспериментального распределения. Вычисление среднего арифметического значения и среднего квадратического отклонения. Определение вида закона распределения случайной величины. Оценка различий эмпирического и теоретического распределений.
Расчет показателей надежности и законов их распределения
Федеральное агентство по образованию (Рособразование)
Архангельский государственный технический университет
Кафедра эксплуатации автомобилей и МЛК
(наименование кафедры)
Расчётно-графическая работа
По дисциплине
Основы теории надежности и диагностики
На тему
Расчет показателей надежности и законов их распределения
Руководитель
Кузнецов Н.И.
Архангельск
2009
Задание
По данным, (они представляют собой ресурсы автомобилей или их агрегатов до капитального ремонта в тысячах километров пробега), необходимо:
- определить среднее арифметическое значение ресурса автомобиля до капитального
ремонта;
- рассчитать среднее квадратическое отклонение ресурса;
- определить коэффициент вариации ресурса;
- построить эмпирический закон распределения ресурса;
- подобрать теоретический закон;
- проверить согласие теоретического и эмпирического законов распределений;
- определить доверительный интервал для математического ожидания ресурса.
1. Расчет параметров экспериментального распределения
Число классов статистического ряда определяем по формуле (11):
,
где N– общее число наблюдений
Принимаем 
.
Размах выборки для нашего ряда
Значение классового промежутка находим по формуле (12):
Для удобства вычислений принимаем 
.
Середина классов W – полусумма начала данного класса и начала следующего класса. Середины крайних классов принимаем близкими к наименьшему и наибольшему значениям случайной величины.
Начало Wa и конец Ww класса находим по формулам:
где h-принятая точность измерения случайной величины.
Результаты расчетов сведены в таблицу 1.
Таблица 1 - Cоставление статистического ряда
| Границы класса | Середина | Частота | ||
| 15,09 | 17,08 | 16,09 | 0,00 | |
| 13,09 | 15,08 | 14,09 | 0,00 | |
| 11,09 | 13,08 | 12,09 | 0,00 | |
| 9,09 | 11,08 | 10,09 | 2,00 | |
| 7,09 | 9,08 | 8,09 | 9,00 | |
| 5,09 | 7,08 | 6,09 | 16,00 | |
| 3,09 | 5,08 | 4,09 | 14,00 | |
| 1,09 | 3,08 | 2,09 | 9,00 | |
| Всего | 50,00 | |||
2. Вычисление среднего арифметического значения и среднего квадратического отклонения
Среднее арифметическое значение случайной величины способом произведений вычисляем по формуле
(13)
где А - условная средняя, середина модального или близкого к нему класса;
S1 - первая сумма,
а - условные отклонения середин классов, выраженные в классовых промежутках,
Среднее квадратическое отклонение определяем по формуле
(14)
где с - сумма взвешенных квадратов центральных отклонений середин классов от средней ряда, выраженная в квадратах классов промежутков,
;
S2 – вторая сумма,
Результаты расчетов сведены в таблицы 2 и 3.
Таблица 2 - Вспомогательные вычисления для определения 
| W | f | a | fa | fa^2 |
| 16,09 | 0 | 3,0 | 0 | 0 |
| 14,09 | 0 | 2,0 | 0 | 0 |
| 12,09 | 0 | 1,0 | 0 | 0 |
| 10,09 | 2 | 0,0 | 0 | 0 |
| 8,09 | 9 | -1,0 | -9 | 9 |
| 6,09 | 16 | -2,0 | -32 | 64 |
| 4,09 | 14 | -3,0 | -42 | 126 |
| 2,09 | 9 | -4,0 | -36 | 144 |
| Всего | 50 | -119 | 343 |
Таблица 3
| S1 | S2 | X | C | Сигма | V |
| -119 | 343 | 5,33 | 59,78 | 2,21 | 0,414 |
3. Определение вида закона распределения случайной величины
распределение экспериментальный случайный величина
Закон распределения случайной величины определяют в следующей последовательности:
- выравнивают эмпирический ряд одним из теоретических распределений;
- производят оценку различий эмпирического и теоретического распределений по критериям c2 или l.
3.1 Экспоненциальный закон распределения
Теоретические частоты для распределения определяют по формуле
,
где 
- экспоненциальная функция, значения которой табулированы;
- условные отклонения середин классов,
.
Результаты расчетов сведены в таблицу 4, выравнивание статистического ряда по экспоненциальному закону приведено на рисунке 1.
Таблица 4 - Выравнивание статистического ряда по экспоненциальному закону
| W | f | W-X | x=Wi/X | ℓ | (Nk/X)*ℓ | f' |
| 16,09 | 0,00 | 10,76 | 3,02 | 0,026 | 0,488 | 0,00 |
| 14,09 | 0,00 | 8,76 | 2,64 | 0,035 | 0,657 | 1,00 |
| 12,09 | 0,00 | 6,76 | 2,27 | 0,492 | 0,657 | 1,00 |
| 10,09 | 2,00 | 4,76 | 1,89 | 0,077 | 1,435 | 1,00 |
| 8,09 | 9,00 | 2,76 | 1,52 | 0,135 | 2,538 | 3,00 |
| 6,09 | 16,00 | 0,76 | 1,14 | 0,237 | 4,445 | 4,00 |
| 4,09 | 14,00 | -1,24 | 0,77 | 0,415 | 7,782 | 8,00 |
| 2,09 | 9,00 | -3,24 | 0,39 | 0,733 | 13,760 | 14,00 |
| Всего | 50,00 | 31,76 | 32,00 |
Рисунок 1 - Выравнивание статистического ряда по экспоненциальному закону распределения
3.1.1 Оценка различий эмпирического и теоретического распределений
Методика оценки различий эмпирического и теоретического распределений для различных законов распределения одна и та же.
Для проверки согласованности теоретического и эмпирического распределений чаще всего используют критерий c2 Пирсона, величину которого рассчитывают по формуле
где c02 – стандартные значения критерия, его значения находят по специальным таблицам в зависимости от числа степеней свободы v;
, 
– эмпирические и теоретические частоты классов соответственно.
Первичное v1 и вторичное v2 числа степеней свободы определяют по следующим формулам:
; 
; 
.
где r1,r2 - числа классов до и после объединения классов с малыми теоретическими частотами.
Крайние классы с частотой 
<
объединяют с соседними классами ( – минимально допустимая теоретическая частота крайних классов в зависимости от начального числа степеней свободы)
Различия распределений могут считаться случайными, если эмпирический критерий не достигает требуемого порога вероятности b. Необходимо ориентироваться на три уровня вероятности: при малой ответственности исследований b1>= 0,999; при обычной b2 >= 0,99; при большой b3 >= 0,95.
Таблица 5 - Определение различий законов распределения
| W1 | f | f ' | f-f ' | (f-f ' )^2 | ( f-f ' )^2/f ' |
| 16,1 | 0 | 0,49 | -0,49 | 0,24 | 0,49 |
| 14,1 | 0 | 0,66 | -0,66 | 0,43 | 0,66 |
| 12,1 | 0 | 0,66 | -0,66 | 0,43 | 0,66 |
| 10,1 | 2 | 1,44 | 0,56 | 0,32 | 0,22 |
| 8,1 | 9 | 2,54 | 6,46 | 41,75 | 16,45 |
| 6,1 | 16 | 4,44 | 11,56 | 133,53 | 30,04 |
| 4,1 | 14 | 7,78 | 6,22 | 38,66 | 4,97 |
| 2,1 | 9 | 13,76 | -4,76 | 22,66 | 1,65 |
| Всего | 50 | 31,762 | 55,13 |
Следовательно, c02: 13,3; 18,5 при b соответственно, 0,99, 0,999
Таким образом, при b=0,99 и 0,999 ответственности испытаний c2 больше c02, то есть эмпирическое распределение противоречит экспоненциальному закону распределения.
3.2 Нормальный закон распределения
Таблица 6 - Выравнивание статистического ряда по нормальному закону
| Нормальный закон | ||||||
| Теор частоты | ||||||
| W | f | W-X | x=(W-Ч)/сигма | f(x) | Nkf(x)/сигма | f' |
| 16,09 | 0,00 | 10,76 | 4,87 | 0,00 | 0,000 | 0,00 |
| 14,09 | 0,00 | 8,76 | 3,97 | 0,00 | 0,007 | 0,00 |
| 12,09 | 0,00 | 6,76 | 3,06 | 0,00 | 0,167 | 0,00 |
| 10,09 | 2,00 | 4,76 | 2,15 | 0,04 | 1,773 | 2,00 |
| 8,09 | 9,00 | 2,76 | 1,25 | 0,18 | 8,277 | 8,00 |
| 6,09 | 16,00 | 0,76 | 0,34 | 0,38 | 17,026 | 17,00 |
| 4,09 | 14,00 | -1,24 | -0,56 | 0,34 | 15,431 | 15,00 |
| 2,09 | 9,00 | -3,24 | -1,47 | 0,14 | 6,162 | 6,00 |
| Всего | 50,00 | 48,84 | 48,00 | |||
Рисунок 2 - Выравнивание статистического ряда по нормальному закону распределения
Таблица 7 - Определение различий законов распределения
| W1 | f | f ' | f-f ' | (f-f ' )^2 | ( f-f ' )^2/f ' |
| 16,1 | 0 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 |
| 14,1 | 0 | 0,01 | -0,01 | 0,00 | 0,01 |
| 12,1 | 0 | 0,17 | -0,17 | 0,03 | 0,17 |
| 10,1 | 2 | 1,77 | 0,23 | 0,05 | 0,03 |
| 8,1 | 9 | 8,28 | 0,72 | 0,52 | 0,06 |
| 6,1 | 16 | 17,03 | -1,03 | 1,05 | 0,06 |
| 4,1 | 14 | 15,43 | -1,43 | 2,05 | 0,13 |
| 2,1 | 9 | 6,16 | 2,84 | 8,06 | 1,31 |
| Всего | 50 | 48,842 | 1,77 |
Следовательно, c02:11,1; 15,1; 20,5 при b соответственно 0,95, 0,99, 0,999
Таким образом, при b=0,99 и 0,999 ответственности испытаний c2 меньше c02, то есть эмпирическое распределение не противоречит нормальному закону распределения.
3.3 Распределение Вейбула
Таблица 8 - Выравнивание статистического ряда по распределение Вейбула
| W | f | Wi /a | x=af (Wi/a) |
|
f' |
| 16,09 | 0,00 | 2,74 | 1,2134 | 20,636 | 20,6 |
| 14,09 | 0,00 | 2,40 | 1,4715 | 25,026 | 25,0 |
| 12,09 | 0,00 | 2,06 | 1,5130 | 25,731 | 25,7 |
| 10,09 | 2,00 | 1,72 | 1,3597 | 23,124 | 23,1 |
| 8,09 | 9,00 | 1,38 | 1,0791 | 18,352 | 18,4 |
| 6,09 | 16,00 | 1,04 | 0,7590 | 12,908 | 12,9 |
| 4,09 | 14,00 | 0,70 | 0,4697 | 7,988 | 8,0 |
| 2,09 | 9,00 | 0,36 | 0,2495 | 4,243 | 4,2 |
| Всего | 50,00 | 138,01 | 137,90 |
Рисунок 3 - Выравнивание статистического ряда по распределению Вейбула
Таблица 9 - Определение различий законов распределения
| W1 | f | f ' | f-f ' | (f-f ' )^2 | ( f-f ' )^2/f ' |
| 16,1 | 0 | 20,6 | -20,60 | 424,36 | 20,60 |
| 14,1 | 0 | 25,0 | -25,00 | 625,00 | 25,00 |
| 12,1 | 0 | 25,7 | -25,70 | 660,49 | 25,70 |
| 10,1 | 2 | 23,1 | -21,10 | 445,21 | 19,27 |
| 8,1 | 9 | 18,4 | -9,40 | 88,36 | 4,80 |
| 6,1 | 16 | 12,9 | 3,10 | 9,61 | 0,74 |
| 4,1 | 14 | 8,0 | 6,00 | 36,00 | 4,50 |
| 2,1 | 9 | 4,2 | 4,80 | 23,04 | 5,49 |
| Всего | 50 | 137,900 | 106,11 |
Следовательно, c02: 15,1; 20,5 при b соответственно, 0,99, 0,999
Таким образом, при b=0,99 и 0,999 ответственности испытаний c2больше c02, то есть эмпирическое распределение противоречит распределения Вейбула.
Вывод: Эмпирическое распределение соответствует нормальному закону распределения.
4. Определение доверительного интервала для математического ожидания случайной величины
В рассмотренном способе оценки числовых характеристик случайных величин неизвестный параметр определялся одним числом. Такая оценка называется точечной. При оценке надежности машин и оборудования часто требуется не только найти для заданного параметра числовое значение, но и оценить его точность и достоверность. Пусть для параметра X (например, математического ожидания) получена по результатам выборочного обследования точечная оценка этого параметра X.
Требуется определить ошибку замены параметра Xего точечной оценкой X. Назначим некоторую вероятность b (b = 0,9) и определим такое значение ошибки e> 0, для которого 
.
Это равенство означает, что с вероятностью 
неизвестное значение параметра Xпопадает в интервал 
.
Интервал 
называется доверительным, а b- доверительной вероятностью.
Рассмотрим зависимости, используемые при построении доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону.
Для математического ожидания границы доверительного интервала определяют по формуле
,
где tb - коэффициент распределения Стьюдента, определяемый по таблицам в зависимости от доверительной вероятности b и числа степеней свободы или размера выборки N -1, ( tb= 1,658)
Доверительный интервал для математического ожидания ресурса согласно формуле:
Iβ=(4,812; 5,848)
Вывод :
Таким образом, точное значение ресурса автомобилей или их агрегатов до капитального ремонта с вероятностью 0,99 находится в пределах от 4,812 до 5,848 тыс. км пробега.
Список использованных источников
1. Кузнецов Н. И., Абакумов Н. В. Надежность машин и оборудования: Методические указания и задания к выполнению расчетных работ и задач. - Архангельск: Изд-во АГТУ, 2001. - 36 с.
2. Кузнецов Н. И., Абакумов Н. В. Надежность машин и оборудования: Нормативно справочный материал к выполнению расчетных работ и задач. - Архангельск: Изд-во АГТУ, 2003. - 14 с.
Похожие работы
-
Проверка статистической гипотезы о нормальном законе распределения случайной величины
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО ТОмский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОЛОГО-ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА КАРТОГРАФИИ И ГИС Лабораторная работа №3
-
Показатели вариации
Вариация — это различия индивидуальных значений признака у единиц изучаемой совокупности. Исследование вариации имеет большое практическое значение и является необходимым звеном в экономическом анализе.
-
Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении
Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении Расчетная работа Выполнил Шеломанов Р.Б. Кафедра математической статистики и эконометрики
-
Вариационные ряды
Задание № 1. По данной выборке: а) Найти вариационный ряд; б) Построить функцию распределения; в) Построить полигон частот; г) Вычислить среднее значение СВ, дисперсию, среднеквадратичное отклонение.
-
Моделирование дискретной случайной величины по геометрическому закону распределения
Распределение дискретной случайной величины по геометрическому закону распределения, проверка теоремы Бернулли на примере моделирования электрической схемы. Математическое моделирование в среде Turbo Pascal. Теоретический расчёт вероятности работы цепи.
-
Первичная статистическая обработка информации
400 45 431 394 362 436 343 403 483 462 395 467 420 411 391 397 455 412 363 449 439 411 468 435 313 486 463 417 369 377 409 390 389 386 409 379 412 370 391 421 459 390 415 415 366 323 469 399 486 393 361 407
-
Обработка статистических данных и установление закона распределения случайных величин
ГОУ ВПО ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ кафедра «Управление эксплуатационной работой» Расчетно-графическая работа
-
Методика обработки экспериментальных данных 2
Задание на курсовую работу Построить вариационный ряд Рассчитать числовые характеристики статистического ряда: а) Размах варьирования. б) Среднее арифметическое значение.
-
Функция плотности распределения
Графическое изображение теоретической и эмпирической функций плотности распределения; критерии их согласования. Определение доверительных интервалов для математического ожидания. Расчет диапазона рассеивания значений при заданной вероятности риска.
-
Теория вероятности и математическая статистика
Теорема Бернулли на примере моделирования электросхемы. Моделирование случайной величины, имеющей закон распределения модуля случайной величины, распределенной по нормальному закону. Проверка критерием Х2: имеет ли данный массив закон распределения.