Название: Проверка статистической гипотезы о нормальном законе распределения случайной величины
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 27.09 Kb
Скачать файл: referat.me-218563.docx
Краткое описание работы: ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО ТОмский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОЛОГО-ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА КАРТОГРАФИИ И ГИС Лабораторная работа №3
Проверка статистической гипотезы о нормальном законе распределения случайной величины
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУ ВПО ТОмский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКОЛОГО-ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА КАРТОГРАФИИ И ГИС
Лабораторная работа №3
Проверка статистической гипотезы о нормальном
законе распределения случайной величины
Вариант 6
Выполнил: ст.981гр.
Васиковский В. А.
Проверил: ст.преп.
Войкова О.А.
Тюмень 2009 г.
Цель работы: приобрести навыки по овладению методом проверки статистической гипотезы о нормальном законе распределения изучаемой случайной величины.
Содержание работы:
1. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения с помощью критериев согласия:
· критерия Пирсона;
· критерия Романовского;
· критерия Ястремского;
· критерия Колмогорова.
2. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения с помощью приближенных методов:
· с использованием σв ;
· с использованием as и ek ;
· графическим методом.
3. Графическая иллюстрация сходства (или расхождения) эмпирического распределения с теоретическим.
Вариант 6
Дана себестоимость продукции в рублях
xi |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
mi |
3 |
8 |
24 |
31 |
23 |
7 |
4 |
Этап I
Представление исходных данных в виде дискретного вариационного ряда и вычисление необходимых числовых характеристик
1. Представим исходные данные в виде дискретного вариационного ряда частот.
xi |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
mi |
3 |
8 |
24 |
31 |
23 |
7 |
4 |
2. Вычислим числовые характеристики. Промежуточные расчеты оформим в виде таблицы:
xi |
mi |
ui |
mi *ui |
mi *ui 2 |
mi *ui 3 |
mi *ui 4 |
5 |
3 |
-3 |
-9 |
27 |
-81 |
243 |
7 |
8 |
-2 |
-16 |
32 |
-64 |
128 |
9 |
24 |
-1 |
-24 |
24 |
-24 |
24 |
11 |
31 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
13 |
23 |
1 |
23 |
23 |
23 |
23 |
15 |
7 |
2 |
14 |
28 |
56 |
112 |
17 |
4 |
3 |
12 |
36 |
108 |
324 |
∑=0 |
∑=170 |
∑=18 |
∑=854 |
Непосредственный подсчет числовых характеристик:
В условных вариантах |
В исходных вариантах |
М1 * =0/100=0 |
|
М2 * =170/100=1,7 |
|
М3 * =18/100=0,18 |
|
М4 * =854/100=8,54 |
|
xв =0 |
xв =0*2+11=11 |
Dв =m2 = М2 * -( М1 * )2 =1,7 |
Dв =1,7*22 =6,8 |
σв =√6,8=2,6 |
|
m3 (U)=0,18-3*1,7*0+2*03 =0,18 |
m3 (х)=0,18*23 =1,44 |
m4 (U)=8,54-4*0,18*0+6*1,7*02 -3*04 =8,4 |
m4 (х)=8,54*24 =136,64 |
as = m3 / σв 3 =1,44/17,6=0,08 |
|
ek =m4 /σв 4 -3=136,64/45,7-3=-0,02 |
|
Vσ =2,6/11*100%=23,6% |
Этап II
Проверка гипотезы о нормальном законе распределения
с помощью критериев согласия
3. Вычисление теоретических частот.
n*h/σв =100*2/2,6=76,9
xi |
mi |
xi -xв |
Ui = xi -xв /σв |
φ(Ui ) |
nh/σв *φ(Ui ) |
mi ´ |
5 |
3 |
-6 |
-2,3 |
0,0283 |
2,17 |
2,2 |
7 |
8 |
-4 |
-1,5 |
0,1295 |
9,95 |
10 |
9 |
24 |
-2 |
-0,8 |
0,2897 |
22,27 |
22,3 |
11 |
31 |
0 |
0 |
0,3989 |
30,67 |
30,7 |
13 |
23 |
2 |
0,8 |
0,2897 |
22,27 |
22,3 |
15 |
7 |
4 |
1,5 |
0,1295 |
9,95 |
10 |
17 |
4 |
6 |
2,3 |
0,0283 |
2,17 |
2,2 |
∑=100 |
4. Вычисление наблюдаемого значения χ2 .
mi |
mi ´ |
mi -mi ´ |
(mi -mi ´ )2 |
(mi -mi ´ )2 /mi |
3 |
2,2 |
0,8 |
0,64 |
0,2 |
8 |
10 |
-2 |
4 |
0,5 |
24 |
22,3 |
1,7 |
1,36 |
0,06 |
31 |
30,7 |
0,3 |
0,09 |
0,003 |
23 |
22,3 |
0,7 |
0,49 |
0,02 |
7 |
10 |
-3 |
9 |
1,3 |
4 |
2,2 |
1,8 |
3,24 |
0,8 |
∑=2,88 |
χ2 набл =2,88
5. К=7-3=4
6. Для нахождения табличного значения зададимся уровнем значимости L=0,05,
χ2 табл (0,05;4)=9,49
7. Сравним χ2 набл и χ2 табл ; 2,88<9,49; χ2 набл <χ2 табл , то эмпирические данные не противоречат предположению о нормальном их распределении, т.е. гипотеза о нормальном законе распределения принимается на уровне значимости 0,05*P(χ2 набл ;γ)=P(2,88;4)≈0,95>1.
8. Для применения критерия Романовского подсчитаем величину выражения:
Р=׀ χ2 набл -К׀/√2К=׀2,88-4׀/√2*4=׀-1,12׀/2,83≈0,4
9. Так как 0,4<3, то гипотеза о нормальном законе распределения.
10. Для применения критерия Ястремского подсчитаем величину
Р=׀ χ2 набл -S׀/√2n+4*0,6=׀2,88-7׀/√2*100+4*0,6=׀-4,12׀/202,4≈0,02
11. Так, как 0,02<3, то гипотеза о нормальном распределении принимается.
12. 13. Для применения критерия Колмогорова, необходимо подсчитать величину D. Для подсчета накопленных частот и разности между ними составим таблицу:
xi |
mi |
mi ´ |
Mi |
Mi ´ |
Mi -Mi ´ |
׀Mi -Mi ´׀ |
5 |
3 |
2,2 |
1 |
2,2 |
-1,2 |
1,2 |
7 |
8 |
10 |
9 |
12,2 |
-3,2 |
3,2 |
9 |
24 |
22,3 |
33 |
34,5 |
-1,5 |
1,5 |
11 |
31 |
30,7 |
64 |
65,2 |
-1,2 |
1,2 |
13 |
23 |
22,3 |
87 |
87,5 |
-0,5 |
0,5 |
15 |
7 |
10 |
94 |
97,5 |
-3,5 |
3,5 |
17 |
4 |
2,2 |
98 |
99,7 |
-1,7 |
1,7 |
14. D=max׀m-m´׀=1,7
15. λ=D/√n=1,7/√100≈0,17
16. По специальной таблице находим Р(λ)=Р(0,17)=0,000
17. Так как 0,000<0,05,то гипотезу о нормальном распределении следует принять.
Этап III
Проверка гипотезы о нормальном законе распределения
с помощью приближенных методов
18. Приближенная проверка с использованием значений σв .
0,3σв =0,3*2,6=0,78;
0,7σв =0,7*2,6=1,82;
1,1σв =1,1*2,6=2,86;
3,0σв =3,0*2,6=7,8.
19. Вычисление границ интервалов
№1: 11±0,78→[11,78; 10,22]
№2: 11±1,82→[12,82; 9,18]
№3: 11±2,86→[13,86; 8,14]
№4: 11±7,8→[18,8; 3,2]
20. Подсчитаем число значении, попавших в последний интервал
mN 1 =31;
mN 2 =11;
mN 3 =33;
mN 4 =77;
21. mN 1/ n=0,31; mN 2 / n=0,11; mN 3/ n=0,33; mN 4 / n=0,77
22. Приближенная проверка с помощью as и ek .
as = m3 / σв 3 =0,081
ek =m4 /σв 4 -3=136,64/45,7-3=-0,011
23. Подсчитаем несмещенные оценки
as =√n(n-1)/n-2*as =√100*99/98*(0,08)=0,08;
24. Вычислим средние квадратические отклонения Sa , Se .
Sa =√6n(n-1)/(n-2)(n-1)(n+3)=√59400/999306=√0,0594412=0,2438
Se =√24(n-1)2 /(n-3)(n-2)(n+3)(n+5)=√235224/1,03=√228372,81=0,048
25. Проверим выполнимость условий
׀as ׀≤3Sa ; 0,08≤0,72
׀ek ׀≤5Se ; 0,04≤0,24
Вывод: Изучаемое эмпирическое распределение скорее всего подчиняется нормальному закону распределения.
Графическая проверка.
26. От дискретного вариационного ряда перейдем к интервальному, учитывая, что данные значения вариант есть середины интервалов, длины которых равны 2.
xi |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
mi |
3 |
8 |
24 |
31 |
23 |
17 |
4 |
xi -xi+1 |
4-6 |
6-8 |
8-10 |
10-12 |
12-14 |
14-16 |
16-18 |
mi |
3 |
8 |
24 |
31 |
23 |
17 |
4 |
27. 28. 29. Составим расчетную таблицу для подсчета накопленных частот и нахождения квантилей:
i |
xi |
mi |
∑mi |
Pi =∑mi /n |
Pi *100% |
Up |
1 |
5 |
3 |
3 |
0,03 |
3 |
0,382 |
2 |
7 |
8 |
11 |
0,11 |
11 |
0,456 |
3 |
9 |
24 |
35 |
0,35 |
35 |
0,298 |
4 |
11 |
31 |
66 |
0,66 |
66 |
0,255 |
5 |
13 |
23 |
89 |
0,89 |
89 |
0,164 |
6 |
15 |
7 |
96 |
0,96 |
96 |
0,245 |
7 |
17 |
4 |
100 |
1 |
100 |
0,159 |
30. В прямоугольной системе координат построим точки с координатами:
(5; 0,382), (7; 0,456), (9; 0,298), (11; 0,255), (13; 0,164), (15; 0,245), (17; 0,159).
Вывод: Так как точки располагаются вблизи некоторой прямой, то есть основания предполагать, что эмпирическое распределение подчиняется нормальному закону.
Этап IV.
31. Увидеть величину расхождения поможет построение соответствующих графиков.
Точки теоретического распределения соединены светлой линией, эмпирического – темнее.
(xi; mi): ( 5 ;3), ( 7 ; 8 ), ( 9 ; 2 4 ), ( 11 ;31), ( 13 ; 2 3 ), ( 15 ; 7 ), ( 17 ;4)
( xi; mi ´ ): (5; 2,2), (7;10), (9;22,3), (11;30,7), (13;22,3), (15;10), (17;2,2)
Похожие работы
-
Проверка больших чисел на простоту
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра ИИТ Лабораторная работа №4
-
Решение задачи линейного программирования симплексным методом
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования «Волгоградский государственный технический университет»
-
Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении
Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении Расчетная работа Выполнил Шеломанов Р.Б. Кафедра математической статистики и эконометрики
-
Математические методы обработки результатов эксперимента
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
-
Первичная статистическая обработка информации
400 45 431 394 362 436 343 403 483 462 395 467 420 411 391 397 455 412 363 449 439 411 468 435 313 486 463 417 369 377 409 390 389 386 409 379 412 370 391 421 459 390 415 415 366 323 469 399 486 393 361 407
-
Решение систем линейных уравнений
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
-
Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона
Федеральное агентство по образованию РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра: «Высшая математика» РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
-
Построение Эпюр М и Q
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
-
Проверка гипотезы о законе распределения случайной величины по критерию Пирсона
Случайная выборка объема как совокупность независимых случайных величин. Математическая модель в одинаковых условиях независимых измерений. Определение длины интервала по формуле Стерджесса. Плотность относительных частот, критерий согласия Пирсона.
-
Формула Бернулли. Локальная функция Лапласа
Вероятность выхода прибора за время t в нормальном режиме равна 0,1, в ненормальном 0,7. Семена некоторых растений прорастают с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что из 2000 посаженных семян прорастает 1600 семян; не менее 1600 семян.