Название: Функция плотности распределения
Вид работы: контрольная работа
Рубрика: Математика
Размер файла: 260.64 Kb
Скачать файл: referat.me-216017.docx
Краткое описание работы: Графическое изображение теоретической и эмпирической функций плотности распределения; критерии их согласования. Определение доверительных интервалов для математического ожидания. Расчет диапазона рассеивания значений при заданной вероятности риска.
Функция плотности распределения
Задание
номер интервала | границы интервалов t | частота m | |
свыше | до(включительно) | ||
1 | 57,997 | 57,999 | 2 |
2 | 57,999 | 58,001 | 2 |
3 | 58,001 | 58,003 | 8 |
4 | 58,003 | 58,005 | 25 |
5 | 58,005 | 58,007 | 33 |
6 | 58,007 | 58,009 | 50 |
7 | 58,009 | 58,011 | 65 |
8 | 58,011 | 58,013 | 71 |
9 | 58,013 | 58,015 | 32 |
10 | 58,015 | 58,017 | 37 |
11 | 58,017 | 58,019 | 26 |
12 | 58,019 | 58,021 | 6 |
13 | 58,021 | 58,023 | 3 |
1. Определение теоретической функции плотности распределения. Графическое изображение эмпирического и теоретического распределений
плотность распределение доверительный математический ожидание
При построении гистограмм и полигонов по оси абсцисс откладывают значения результатов измерений (середины интервалов xi ), по оси ординат – частности появления результатов измерения в каждом i-м интервале.
Из-за ограниченности числа результатов измерений при обработке вместо математического ожидания и дисперсии получают их приближенные оценки– соответственно эмпирическое среднее и эмпирическую дисперсию S2
, характеризующие средний результат измерений и степень разброса измерений.
и S2
определяются из выражений:
Значения вероятности попадания результата измерения в конкретный интервал можно определить, используя значения функции:
,
где .
Тогда вероятность попадания результата в i-й интервал величиной h
.
Внесем все вычисления в таблицу и на основании полученных результатов построим кривую теоретического распределения, а так же гистограмму и полигон эмпирического распределения:
Середина интервала xi | Эмпирич. частости P’i | mi xi | xi
-![]() |
zi | mi xi 2 | φi (z) | Pi |
57,998 | 0,006 | 115,996 | -0,01285 | 2,874965 | 6727,536 | 0,006399 | 0,002863 |
58 | 0,006 | 116 | -0,01085 | 2,4275 | 6728 | 0,020956 | 0,009377 |
58,002 | 0,022 | 464,016 | -0,00885 | 1,980034 | 26913,86 | 0,056179 | 0,025138 |
58,004 | 0,069 | 1450,1 | -0,00685 | 1,532569 | 84111,6 | 0,123277 | 0,055162 |
58,006 | 0,092 | 1914,198 | -0,00485 | 1,085103 | 111035 | 0,221427 | 0,099081 |
58,008 | 0,139 | 2900,4 | -0,00285 | 0,637638 | 168246,4 | 0,325553 | 0,145674 |
58,01 | 0,181 | 3770,65 | -0,00085 | 0,190173 | 218735,4 | 0,391793 | 0,175314 |
58,012 | 0,197 | 4118,852 | 0,00115 | 0,257293 | 238942,8 | 0,385954 | 0,172701 |
58,014 | 0,089 | 1856,448 | 0,00315 | 0,704758 | 107700 | 0,311212 | 0,139257 |
58,016 | 0,103 | 2146,592 | 0,00515 | 1,152223 | 124536,7 | 0,20541 | 0,091914 |
58,018 | 0,072 | 1508,468 | 0,00715 | 1,599689 | 87518,3 | 0,110976 | 0,049658 |
58,02 | 0,017 | 348,12 | 0,00915 | 2,047154 | 20197,92 | 0,049077 | 0,02196 |
58,022 | 0,008 | 174,066 | 0,01115 | 2,494619 | 10099,66 | 0,017765 | 0,007949 |
Сумма | 20883,91 | 1211493 |
![]() |
58,01085 |
S2 = | 1,99775E-05 |
S= | 0,00446962 |
2. Критерий согласия эмпирического и теоретического распределений
Считают, что эмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим, если (1 - g) больше 0,1. Согласно критерию Колмогорова, сравнивают эмпирические и теоретические значения, но уже не плотности распределения, а интегральной функции. Значение максимальной (по абсолютной величине) разности между ними DN подставляют в выражение:
,
где N – объем выборки.
Вычисление эмпирических F’i и теоретических Fi значений интегральной функции производим путем последовательного суммирования соответственно значений P’i и Pi . Результаты вычислений сведены в таблицу:
Номер интервала | Pi | P’i | Fi | F’i | Fi-Fi' |
1 | 0,002863 | 0,005556 | 0,002863 | 0,005556 | 0,002692 |
2 | 0,009377 | 0,005556 | 0,01224 | 0,011111 | -0,00113 |
3 | 0,025138 | 0,022222 | 0,037379 | 0,033333 | -0,00405 |
4 | 0,055162 | 0,069444 | 0,092541 | 0,102778 | 0,010237 |
5 | 0,099081 | 0,091667 | 0,191622 | 0,194444 | 0,002823 |
6 | 0,145674 | 0,138889 | 0,337295 | 0,333333 | -0,00396 |
7 | 0,175314 | 0,180556 | 0,512609 | 0,513889 | 0,00128 |
8 | 0,172701 | 0,197222 | 0,68531 | 0,711111 | 0,025801 |
9 | 0,139257 | 0,088889 | 0,824566 | 0,8 | -0,02457 |
10 | 0,091914 | 0,102778 | 0,91648 | 0,902778 | -0,0137 |
11 | 0,049658 | 0,072222 | 0,966138 | 0,975 | 0,008862 |
12 | 0,02196 | 0,016667 | 0,988098 | 0,991667 | 0,003568 |
13 | 0,007949 | 0,008333 | 0,996048 | 1 | 0,003952 |
DN = F'8 – F8 =0,025801,
N=åmi =360,
Тогда получаем:
λ= 0,48953
Для lN =0,52 g» 0,05 Þ (1 – 0,05)=0,95 >0,1.
Отсюда можно сделать вывод: согласие эмпирического распределения с нормальным теоретическим можно считать хорошим.
3. Определение доверительных интервалов
В ряде задач, особенно при малом числе измерений, требуется не только найти эмпирическую оценку для того или иного параметра, но и определить доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью будет находиться теоретическое значение параметра.
Доверительный интервал для математического ожидания определяем из выражения:
интегральный доверительный интервал математический ожидание
Значения tγ табулированы и равняется tγ = 2,18 для N=13 и γ*=0,95.
58,00814756<M<58,01355244
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения определяем из выражения:
Значения χ1 2 , χ2 2 табулированы и определяется в зависимости от числа измерений N и односторонних вероятностей γ1 , γ2 :
Значение χ1 2 определяем при вероятности (1- γ1 ), χ2 2 – при γ2 .
χ1 2 =24,1 χ2 2 =4,18
И тогда
0,003024897 | <σ< | 0,008194587 |
4. Определение диапазона рассеивания значений
Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при вероятности риска 0,0027 .
М
»
=
58,01085
»
S
=
0,00446962
М-3
»
57.997442
М+3
»
58.024258
Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при допускаемом значении вероятности риска 2β=0,001
М±σ
=0,4995
при этом
=3,29
(по справочнику)
М-3,29=57,996146
М+3,29=58,025554
Список использованной литературы
1. Зябрева Н.Н. и др. Пособие к решению задач по курсу "Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения". Учеб. Пособие для вузов. М., "Высш. школа", 1977.
Похожие работы
-
Ряд распределения функция распределения
Задача 1 (5) Производится контроль партии из 4 изделий. Вероятность изделия быть неисправным равна 0,1. Контроль прекращается при обнаружении первого неисправного изделия. Х – число обследованных приборов. Найти:а) ряд распределения Х б)функцию распределения F(X), в ответ ввести F(3.5). в) m(x) г) d(x) д) p(1.5<X<3.5).
-
Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении
Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении Расчетная работа Выполнил Шеломанов Р.Б. Кафедра математической статистики и эконометрики
-
Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике
Точечное оценивание. Интервальное оценивание.
-
Первичная статистическая обработка информации
400 45 431 394 362 436 343 403 483 462 395 467 420 411 391 397 455 412 363 449 439 411 468 435 313 486 463 417 369 377 409 390 389 386 409 379 412 370 391 421 459 390 415 415 366 323 469 399 486 393 361 407
-
Оценка точности и надежности результатов измерений
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ И НАДЕЖНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Цель работы: по данным результатов измерений найти предварительные значения показателей вариации, оценить пределы возможных ошибок и после исключения ошибочных результатов найти точные показатели вариации, определить величину доверительных интервалов для заданных значений доверительных вероятностей.
-
Теория вероятностей
Обработка случайных выборок с нормальным законом распределения. Оценка коэффициентов регрессии и доверительных интервалов. Оценка значимости факторов по доверительным интервалам и корреляционного момента. Построение эмпирической интегральной функции.
-
Расчет показателей надежности и законов их распределения
Расчет параметров экспериментального распределения. Вычисление среднего арифметического значения и среднего квадратического отклонения. Определение вида закона распределения случайной величины. Оценка различий эмпирического и теоретического распределений.
-
Математическая статистика
Длина интервала группирования. Графическое описание выборки. Гистограмма относительных частот. Кусочно-постоянная функция. Границы доверительного интервала математического ожидания. Вычисление коэффициента корреляции. Эмпирическая функция распределения.
-
Математическое моделирование систем и процессов
Задания на контрольную работу. 1. Произвести моделирование случайной величины в ЕХСЕ варианту методом Монте-Карло. С помощью функции заполнить таблицу требуемым количеством случайных величин, равномерно распределенных в интервале (0, 1).
-
Законы распределения случайных величин. Доверительный интервал
Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.