Название: Мера угла
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 294.23 Kb
Скачать файл: referat.me-216160.docx
Краткое описание работы: Дисциплина: "Высшая математика" Тема: "Мера угла" 1. Градусная и радианная мера угла Как было показано ранее, функция задает определенное соотношение между двумя числовыми множествами. Однако в некоторых случаях область определения функции может являться множеством чисел, имеющих размерность.
Мера угла
Дисциплина: "Высшая математика"
Тема: "Мера угла"
1. Градусная и радианная мера угла
Как было показано ранее, функция задает определенное соотношение между двумя числовыми множествами. Однако в некоторых случаях область определения функции может являться множеством чисел, имеющих размерность. В частности, речь идет о множестве значений некоторого угла. Прежде чем приступить к рассмотрению подобных функций, напомним некоторые факты, связанные с измерением углов.
Определение 1. Углом в
называется центральный угол, опирающийся на дугу окружности, имеющей длину, равную ее
части.
Исторически сложилось деление градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд, то есть:
,
. Секунды делятся на десятые, сотые и т.д. части. Градус является наиболее распространенной единицей измерения углов.
Определение 2. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу окружности, имеющую длину, равную ее радиусу
.
Таким образом, для отыскания радианной меры
центрального угла достаточно длину дуги (l), на которую он опирается, разделить на длину радиуса (R), то есть
.
Из сказанного выше следует, что полной окружности будет соответствовать в градусах угол в 360 раз больший, то есть
. В радианах это будет
радиан. Необходимо также отметить, что величина угла в градусной и радианной мере никак не связана с радиусом окружности. Следовательно, в дальнейшем можно рассматривать окружность любого радиуса, проще всего - единичного.
Формулы перехода от градусной меры дуг и углов к радианной и наоборот имеют вид:
,
.
Отсюда следует, что
1 рад =
, а
рад
0,01745 рад.
Рассмотрим теперь координатную плоскость с началом координат в точке О. Проведем окружность единичного радиуса с центром в точке О и отметим точки ее пересечения с осями координат.
Рассмотрим произвольную точку M на окружности и вектор
, который называется радиус-вектором точки M.
Будем рассматривать центральные углы AOM, образованные векторами
и
при перемещении точки M по окружности.
Если точка M совпадает с точкой A, то
полагают равным нулю. Будем считать
положительным, если вращение вектора
от начального положения
происходит в направлении противоположном движению часовой стрелки. В противном случае
будем считать отрицательным.
Так как полный оборот вектора
приводит его в то же положение, однозначно определить величину угла, если это не оговорено, нельзя. Иначе говоря, в общем случае
Или
.
2. Элементарные тригонометрические функции произвольного угла
Введем определение основных тригонометрических функций угла. Для этого изобразим вначале единичную окружность.
Определение 1. Синусом угла
называется отношение ординаты
конца подвижного радиус-вектора
, который образует угол
с осью абсцисс, к длине этого радиус-вектора и обозначается
.
Определение 2. Косинусом угла
называется отношение абсциссы
конца подвижного радиус-вектора
, который образует угол
с осью абсцисс, к длине этого радиус-вектора и обозначается
.
Определение 3. Тангенсом угла
называется отношение ординаты
конца подвижного радиус-вектора
, который образует угол
с осью абсцисс, к абсциссе
конца этого радиус-вектора и обозначается
.
Определение 4. Котангенсом угла
называется отношение абсциссы
конца подвижного радиус-вектора
, который образует угол
с осью абсцисс, к ординате
конца этого радиус-вектора и обозначается
.
Из приведенных определений следует, что
,
,
,
причем у единичной окружности
,
.
Введение произвольных по знаку и абсолютной величине углов позволяет каждому действительному числу
поставить в соответствие угол в
радиан и, наоборот, каждому углу - однозначно определяемое действительное число, равное числу радиан. Такое взаимнооднозначное соответствие позволяет определить тригонометрические функции числового аргумента.
Определение 5. Тригонометрическая функция числа
это та же тригонометрическая функция угла величиной в
радиан
.
Рассмотрим графики основных элементарных тригонометрических функций.

.
Здесь
;
;
период
;
; корни
, где
.
2.
.
Здесь
;
;
период
;
; корни
, где
.
3.
.


Здесь
,
где
;
; период
;
; корни
, где
.
4.
.

Здесь
,
где
;
; период
;
; корни
, где
.
5.

.
Здесь
;
;
; корень
.
6.

.
Здесь
;
;
; корень
.
7.
.

Здесь
;
;
; корень
.
8.
.
Здесь
;
;
; корней нет.
Литература
1. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. - 584c.
2. Клейн Ф., Феликс Христиан Клейн Высшая геометрия: Пер. с нем. Изд.3. Изд-во: ЛИБРОКОМ, 2009. - 400c.
3. Крищенко Александр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Издательство "Академия/Academia", 2009. - 2008c.
4. Фролов С. Начертательная геометрия Учебник.3-е изд., перераб. и доп. Изд-во: ИНФРА-М, ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМ, 2007. - 286c.