Название: Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 100.09 Kb
Скачать файл: referat.me-216167.docx
Краткое описание работы: Лабораторная работа 1 Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (4 часа) При решении многих физических и геометрических задач приходится искать неизвестную функцию по данному соотношению между неизвестной функцией, ее производными и независимыми переменными. Такое соотношение называется
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Лабораторная работа 1
Численные методы решения
обыкновенных дифференциальных уравнений (4 часа)
При решении многих физических и геометрических задач приходится искать неизвестную функцию по данному соотношению между неизвестной функцией, ее производными и независимыми переменными. Такое соотношение называется дифференциальным уравнением , а отыскание функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению, называется решением дифференциального уравнения.
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство
, (1)
в котором - независимая переменная, изменяющаяся в некотором отрезке
, а
- неизвестная функция y
(
x
)
и ее первые n
производные.
Число называется порядком уравнения
.
Задача заключается в нахождении функции y, удовлетворяющей равенству (1). Более того, не оговаривая это отдельно, будем предполагать, что искомое решение обладает той или иной степенью гладкости, необходимой для построения и «законного» применения того или иного метода.
Различают два типа обыкновенных дифференциальных уравнений
- уравнения без начальных условий
- уравнения с начальными условиями.
Уравнения без начальных условий - это уравнение вида (1).
Уравнение с начальными условиями
- это уравнение вида (1), в котором требуется найти такую функцию , которая при некотором
удовлетворяет следующим условиям:
,
т.е. в точке функция
и ее первые
производных принимают наперед заданные значения.
Задачи Коши
При изучении способов решения дифференциальных уравнений приближенными методами основной задачей считается задача Коши.
Рассмотрим наиболее популярный метод решения задачи Коши – метод Рунге-Кутта. Этот метод позволяет строить формулы расчета приближенного решения практически любого порядка точности.
Выведем формулы метода Рунге-Кутта второго порядка точности. Для этого решение представим куском ряда Тейлора, отбрасывая члены с порядком выше второго. Тогда приближенное значение искомой функции в точке x 1 можно записать в виде:
(2)
Вторую производную y "( x 0 ) можно выразить через производную функции f ( x , y ) , однако в методе Рунге-Кутта вместо производной используют разность
соответственно подбирая значения параметров
Тогда (2) можно переписать в виде:
y 1 = y 0 + h [ β f ( x 0 , y 0 ) + α f ( x 0 + γh , y 0 + δh )], (3)
где α , β , γ и δ – некоторые параметры.
Рассматривая правую часть (3) как функцию аргумента h , разложим ее по степеням h :
y 1 = y 0 +( α + β ) h f ( x 0 , y 0 ) + αh 2 [ γ fx ( x 0 , y 0 ) + δ fy ( x 0 , y 0 )],
и выберем параметры α , β , γ и δ так, чтобы это разложение было близко к (2). Отсюда следует, что
α + β =1, αγ =0,5, α δ =0,5 f ( x 0 , y 0 ).
С помощью этих уравнений выразим β , γ и δ через параметры α , получим
y
1
=
y
0
+
h
[(1 -
α
)
f
(
x
0
,
y
0
) +
α
f
(
x
0
+,
y
0
+
f
(
x
0
,
y
0
)],
(4)
0 < α ≤ 1.
Теперь, если вместо (x 0 , y 0 ) в (4) подставить (x 1 , y 1 ), получим формулу для вычисления y 2 – приближенного значения искомой функции в точке x 2 .
В общем случае метод Рунге-Кутта применяется на произвольном разбиении отрезка [ x 0 , X ] на n частей, т.е. с переменным шагом
x0 , x1 , …,xn ; hi = xi+1 – xi , xn = X. (5)
Параметры α выбирают равными 1 или 0,5. Запишем окончательно расчетные формулы метода Рунге-Кутта второго порядка с переменным шагом для α =1:
yi+1
=yi
+hi
f(xi
+
, yi
+
f(xi
, yi
)),
(6.1)
i = 0, 1,…, n -1.
и α =0,5:
yi+1
=yi
+ [f(xi
, yi
) + f(xi
+ hi
, yi
+ hi
f(xi
, yi
))],
(6.2)
i = 0, 1,…, n -1.
Наиболее употребляемые формулы метода Рунге-Кутта – формулы четвертого порядка точности:
yi+1
=yi
+
(k1
+ 2k2
+ 2k3
+ k4
),
k1
=f(xi
, yi
), k2
= f(xi
+
, yi
+
k1
),
(7)
k3
= f(xi
+
, yi
+
k2
), k4
= f(xi
+h, yi
+hk3
).
Для метода Рунге-Кутта применимо правило Рунге для оценки погрешности. Пусть y ( x ; h ) – приближенное значение решения в точке x , полученное по формулам (6.1), (6.2) или (7) с шагом h , а p – порядок точности соответствующей формулы. Тогда погрешность R ( h ) значения y ( x ; h ) можно оценить, используя приближенное значение y ( x ; 2 h ) решения в точке x , полученное с шагом 2 h :
(8)
где p =2 для формул (6.1) и (6.2) и p =4 для (7).
Уточненное решение пишем в виде
. (9)
В алгоритмах с автоматическим выбором шага предварительно задают погрешность в виде положительного параметра ε, и на каждом этапе вычисления следующего значения yi +1 подбирают такой шаг h , при котором выполняется неравенство
, (10)
Метод Рунге-Кутта применим и к задаче Коши для системы m дифференциальных уравнений первого порядка с m неизвестными функциями
x
(x0
, X),
(11)
y1 (x0 )=y1,0 , y2 (x0 )=y2,0 ,…, ym (x0 )=ym,0 . (12)
Приведем для задачи (11), (12) расчетные формулы метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Пусть требуется найти систему m функций y 1 ( x ), y 2 ( x ),…, ym ( x ), удовлетворяющих в интервале ( x 0 , X ) дифференциальным уравнениям (11), а в точке x 0 – начальным условиям (12). Предположим, что отрезок [ x 0 , X ] разбит на N частей:
xi
=
x
0
+
i
hi
,
Тогда каждую l -ю функцию yl ( x ) можно приближенно вычислять в точках xi +1 по формулам Рунге-Кутта
Kl,1 =fl (xi , y1,i , y2,i ,…,ym,i ), i=1, 2, …, m,
Kl,2
=fl
(xi
+ , y1,i
+
K1,1
, y2,i
+
K2,1
,…,ym,i
+
Km,1
), i=1, 2, …, m,
Kl,3
=fl
(xi
+ , y1,i
+
K1,2
, y2,i
+
K2,2
,…,ym,i
+
Km,2
), i=1, 2, …, m,
(13)
Kl,4 =fl (xi + h, y1,i + hK1,3 , y2,i + hK2,3 ,…,ym,i + hKm,3 ), i=1, 2, …, m,
Yl,i+1
= yl,i
+( Kl,1
+ 2 Kl,2
+ 2 Kl,3
+ Kl,4
), i=1, 2, …, m,
Здесь через yl , i обозначается приближенное значение функции yl ( x ) в точке xi .
Обратите внимание на порядок вычислений по формулам (13). На каждом шаге сначала вычисляются коэффициенты Kl , i в следующем порядке:
K1,1 , K2 ,1 ,…, Km,1 ,
K1,2 , K2 ,2 ,…, Km,2 ,
K 1,3 , K 2 ,3 ,…, Km ,3 ,
K 1,4 , K 2 ,4 ,…, Km ,4 ,
и лишь затем приближенные значения функций y 1, i +1 , y 2, i +1 ,…, ym , i +1 .
Задачи Коши для дифференциальных уравнений n -го порядка
y(n)
=f(x, y, y', …, y(n-1)
), x (x0
, X),
(14)
y(x0 )=y0 , y'(x0 )=y1,0 , …, y(n-1) (x0 )=yn-1,0 (15)
сводятся к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка с помощью замены переменных
z 0 = y , z 1 = y ',… , zn-1 = y(n-1) . (16)
Учитывая (16), из уравнения (14) получим систему дифференциальных уравнений
(17)
Начальные условия (15) для функций zl переписываются в виде
z0 (x0 )= y0 , z1 (x0 )= y1,0 ,…, zn-1 (x0 )= y п -1,0 . (18)
Запишем для полученной системы метод Рунге-Кутта:
zl,i+1
= zl,i
+
(Kl,1
+ 2Kl,2
+ 2Kl,3
+ Kl,4
),
(19)
i =0, 1, …, N , l =0, 1, …, n -1.
Для вычисления коэффициентов Kl ,1 , Kl ,2 , Kl ,3 и Kl ,4 имеем следующие формулы:
K 0,1 = z 1, i ,
K1 ,1 = z2 , i,
…………
Kn-1,1 = f(xi , z0,i , z1,i ,…, zn-1,i ,),
K
0,2
=
z
1,
i
+
K
1,1
,
K1
,2
=
z2
,
i
+
K2
,1
,
…………………
Kn-1,2
= f(xi
+ , z0,i
+
K0,1
, z1,i
+
K1,1
,…, zn-1,i
+
Kn-1,1
),
K0,3
= z
1,
i
+
K
1,
2
,
K1,3
= z2,i
+ K2
,2
,
……………………
Kn-1,3
= f(xi
+ , z0,i
+
K0,2
, z1,i
+
K1,2
,…, zn-1,i
+
Kn-1,2
),
K0,4 = z1,i + hK1,3 ,
K1,4 = z2,i + hK2,3 ,
……………………
Kn-1,4 = f(xi + h, z0,i + hK0,2 , z1,i + hK1,2 ,…, zn-1,i + hKn-1,2 ).
Задания лабораторной работы 1
1. Написать файл-функции для решения поставленных далее задач.
2. Сохранить их в отдельных m-файлах (среда Матлаб)
3. Выполнить и оформить в виде отчета поставленные далее задачи.
Задача № 1 . Решить задачу Коши на отрезке [x0 ,X] методом Рунге-Кутта четвертого порядка, применяя деление отрезка на N частей. Оценить погрешность.
Варианты заданий в табл.1.
Табл.1.
№ варианта |
Уравнение |
Начальное условие |
[ x 0 , X ] |
N |
1 |
y'(x)=sin(xy2 ) |
y(0)=1 |
[0,2] |
10 |
2 |
y'(x)=cos(x) + y2 |
y(0)=2 |
[0,2] |
20 |
3 |
y'(x)= cos(xy2 ) |
y(0)=3 |
[0,2] |
30 |
4 |
y'(x)=sin |
y(0)=1 |
[0,2] |
40 |
5 |
y'(x)=tg |
y(0)=2 |
[0,2] |
50 |
6 |
y'(x)=x + y2 |
y(1)=3 |
[1,2] |
10 |
7 |
y'(x)= |
y(1)=1 |
[1,2] |
20 |
8 |
y'(x)=cos |
y(1)=2 |
[1,2] |
30 |
9 |
y'(x)=sin
(
x |
y(1)=3 |
[1,2] |
40 |
10 |
y'(x)= |
y(1)=1 |
[1,2] |
50 |
11 |
y'(x)=x ln(1+y2 ) |
y(1)=2 |
[1,3] |
10 |
12 |
y'(x)=y cos(x+y2 ) |
y(1)=3 |
[1,3] |
20 |
13 |
y'(x)=ex x+y2 |
y(1)=1 |
[1,3] |
30 |
14 |
y'(x)=sin(x(1+y2 )) |
y(1)=2 |
[1,3] |
40 |
15 |
y'(x)=lg |
y(1)=3 |
[1,3] |
50 |
16 |
y'(x)=x+y2 3x |
y(-1)=1 |
[-1,1] |
10 |
17 |
y'(x)=|x-y|(1+x2 +y2 ) |
y(-1)=2 |
[-1,1] |
20 |
18 |
y'(x)= |
y(-1)=3 |
[-1,1] |
30 |
19 |
y'(x)=x+ |
y(-1)=1 |
[-1,1] |
40 |
20 |
y'(x)=
|
y(-1)=2 |
[-1,1] |
50 |
21 |
y'(x)= |
y(0)=3 |
[0,π] |
10 |
22 |
y'(x)=sin(x) ln(1+y2 ) |
y(0)=1 |
[0,π] |
20 |
23 |
y'(x)=sin(y) cos(x+y2 ) |
y(0)=2 |
[0,π] |
30 |
24 |
y'(x)=ex sin(y)+x2 ey |
y(0)=3 |
[0,π] |
40 |
25 |
y'(x)= cos(x) (x+y2 ) |
y(0)=1 |
[0,π] |
50 |
26 |
y'(x)= |
y( π/2 )=2 |
[π/2,π] |
10 |
27 |
y'(x)=x 2y+y 2x |
y( π/2 )=1 |
[π/2,π] |
20 |
28 |
y'(x)= |x - y| cos(x2 + y2 ) |
y( π/2 )=3 |
[π/2,π] |
30 |
29 |
y'(x)= |
y( π/2 )=2 |
[π/2,π] |
40 |
30 |
y'(x)=(y + x |
y( π/2 )=3 |
[π/2,π] |
50 |
Задача № 2 . Решить задачу Коши для дифференциального уравнения сведением к задачи Коши для системы уравнений первого порядка.
Табл.2.
№ варианта |
Дифференциальное уравнение |
Начальное условие |
[ x 0 , X ] |
N |
1 |
y(x)=x y(x)+ sin(x) |
y (0)=1, y' (0) =2 |
[0,2] |
10 |
2 |
y"'(x)=2x2 y(x) y"(x) |
y(0)=2, y' (0) =2, y"(0)=1 |
[0,2] |
20 |
3 |
y"(x) – 3cos(x) y(x)=tg(x) |
y(0)=3, y' (0) =2 |
[0,2] |
30 |
4 |
"'y(x)=x y'(x) |
y(0)=1, y' (0) =1, y"(0)=1 |
[0,2] |
40 |
5 |
y"'(x)=-cos(x) y"(x) – y(x) sin(x) |
y(0)=2, y' (0) =2 , y"(1)=1 |
[0,2] |
50 |
6 |
y"(x)– sin(x) y(x)=sin(x) |
y(1)=3, y' ( 1 ) =1 |
[1,2] |
10 |
7 |
y"(x) – 2x2 y(x)=cos(x) |
y(1)=1, y' ( 1 ) =1 |
[1,2] |
20 |
8 |
y"'(x)=(x – 1) y(x) + x y"(x) |
y(1)=2, y' ( 1 ) =1, y"(1)=1 |
[1,2] |
30 |
9 |
y"(x) - sin(x) y(x)=sin3 (x) |
y(1)=3, y' ( 1 ) =1 |
[1,2] |
40 |
10 |
y"'(x)=x y(x) - sin(x) y'(x) |
y(1)=1, y' ( 1 ) =1, y"(1)=1 |
[1,2] |
50 |
11 |
y"(x)-cos(x) y(x)=x |
y(1)=2, y' ( 1 ) =1 |
[1,3] |
10 |
12 |
y"'(x) – 2x2 y(x)=x2 |
y(1)=3, y' (0) =1, y"(0)=1 |
[1,3] |
20 |
13 |
y"(x) - lgx y(x)=2x |
y(1)=1, y' ( 1 ) =1 |
[1,3] |
30 |
14 |
y"'(x) - 2|sin(x)| y'(x)=3x3 |
y(1)=2, y' ( 1 ) =1, y"(1)=1 |
[1,3] |
40 |
15 |
y"(x) – 2lnx y(x)=1+x |
y(1)=3, y' ( 1 ) =1 |
[1,3] |
50 |
16 |
y"'(x) - |cos(x)| y(x)=x |
y(-1)=1, y' ( -1 ) =1, y"(-1)=1 |
[-1,1] |
10 |
17 |
y"(x) - 2|x| y(x)=cos2 (x) |
y(-1)=2, y' ( 1 ) =1 |
[-1,1] |
20 |
18 |
y"'(x) - y(x)=e2x |
y(-1)=3, y' ( -1 ) =1, y"(-1)=1 |
[-1,1] |
30 |
19 |
y"(x) – ln(1+x2 ) y(x)=sin(2x) |
y(-1)=1, y' ( 1 ) =1 |
[-1,1] |
40 |
20 |
y"'(x) – sin|x| y(x)=sin(x) |
y(-1)=2, y' ( -1 ) =1, y"(-1)=1 |
[-1,1] |
50 |
21 |
y"(x) - 2y(x)=sin(x) |
y(0)=3, y' (0) =2 |
[0,π] |
10 |
22 |
y"'(x)=3y(x)+y"(x) cos(x) |
y(0)=1, y' (0) =1, y"(0)=1 |
[0,π] |
20 |
23 |
y"(x) - 2x y(x)=x3 |
y(0)=2, y' (0) =2 |
[0,π] |
30 |
24 |
y"'(x) - x y(x)=x4 y'(x) |
y(0)=3, y' (0) =1, y"(0)=1 |
[0,π] |
40 |
25 |
y"(x) - 2x2 y(x)=x2 |
y(0)=1, y' (0) =2 |
[0,π] |
50 |
26 |
y"'(x)=cos(x) y(x)+ex y"(x) |
y( 2 )=2, y' ( 2 ) =1, y"(2)=1 |
[2,π] |
10 |
27 |
y"(x) - 2x2 y(x)=2x ex |
y( 2 )=3, y' (0) =2 |
[2,π] |
20 |
28 |
y"'(x) - 5y"(x)=32x |
y( 2 )=1, y' ( 2 ) =1, y"(2)=1 |
[2,π] |
30 |
29 |
y"(x) - 2sin(x) y(x)=sin(3x) |
y( 2 )=2, y' (0) =2 |
[2,π] |
40 |
30 |
y"'(x) - lnx y'(x)=1 |
y( 2 )=3, y' ( 2 ) =1, y"(2)=1 |
[2,π] |
50 |
Задача № 3 .
Найти методом Рунге-Кутта с точностью ε = 10-8 решение задачи Коши y '( x )=2 x (1+ y 2 ), y (0)=0 в точке x =1 .
(Точным решением является функция y ( x )= tg ( x 2 ) )
Задача № 4 .
Решить методом Эйлера на отрезке [1, 2] задачу Коши
y
'(
x
)=
,
y
(1)=0.
(Точным решением данной задачи является функция y
(
x
)=
tg
(
ln
).
Контрольные вопросы:
1. Какое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением?
2. Какие методы решения задач для дифференциальных уравнений вы знаете?
3. В каком случае решение дифференциального уравнения единственно?
4. Рассказать правило Рунге для оценки погрешности.
Похожие работы
-
Особое решение дифференциальных уравнений первого порядка
Введение Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.
-
Решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта-Мерсо
ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………….…………3 ГЛАВА . РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРНЕЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ РУНГЕ-КУТТА-МЕРСОНА
-
Замечательное уравнение кинематики
В предлагаемой статье рассмотрена возможность расширения сферы применения кинематических уравнений для решения задач механики. Показана возможность переноса метода составления простейших уравнений движения.
-
Вычисление радиальных функций Матье-Ханкеля
Условия возникновения и особенности вычисления функций Матье, характеристика дифференциального уравнения Матье. Алгоритм решения задачи и алгоритмы вычисления радиальных функций эллиптического цилиндра. Определение точности результатов вычисления.
-
Применение численных методов для решения уравнений с частными производными
Методы оценки погрешности интерполирования. Интерполирование алгебраическими многочленами. Построение алгебраических многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
-
Поиск нулей функции. Итерационные методы
Поиск нулей функции - исследование и построение различных функций зависимостей. Исследование непрерывных процессов. Метод простой итерации. Итерационный процесс Ньютона, аналитическое задание системы уравнений и локализация области нахождения корня.
-
Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования
Определение динамических свойств объектов с помощью дифференциальных уравнений для сравнительно простых объектов. Выражение входной и выходной величины элемента в долях, введение безразмерных координат. График кривой разгона, коэффициент усиления.
-
Анализ дифференциальных уравнений
Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
-
Метод Хемминга
Алгоритм численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Хемминга с постоянным шагом интегрирования.
-
Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях
В работе изложены характерные особенности теории дифференциальных уравнений. Эта теория возникла из приложений и в настоящее время самым тесным образом связана с приложениями. Она оказывает большое влияние на развитие других областей математики.