Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования

Определение динамических свойств объектов с помощью дифференциальных уравнений может быть пока успешно выполнена только для сравнительно простых объектов. Как правило, в редких случаях можно при небольшой затрате времени составить достаточно точное дифференциальное уравнение объекта.

В настоящие время при составлении дифференциальных уравнений элементов и систем регулирования принято пользоваться безразмерными переменными величинами. Для этого отклонения величин относят к каким-либо постоянным (базовым) значениям величин, например к максимальным или средним (номинальным). Выражая входную и выходную величины элемента (или системы) в долях от этих базовых величин, вводят безразмерные координаты.

Например, уравнение

(С *d ( D Q) /С _C *dt) + D Q= 2*I₀ *R* D I/ С _C *F (1)

D I/ I = X_ВХ характеризует относительное отклонение входной величины от базового значения, а D Q/ Q₀ = Х_вых относительное отклонение выходной величины. Для перехода от размерной формы записи дифференциального уравнения к безразмерной производят замену абсолютных координат относительными. Так, например, уравнение (1) можно записать в безразмерной форме, заменив:

D Q = Q₀ *Х_вых и D I = I * X_ВХ

Тогда

С* Q₀ * d Х_вых / С_C * F* dt + Q₀ Х_вых = 2* I₀ ² * R* X_ВХ / С_C * F

Разделив обе части уравнения на Q_{0, п} олучим:

С* d Х_вых / С_C * F* dt + Х_вых = 2* I₀ ² * R* X_ВХ / С_C * F* Q₀

Обозначим:

С / С _C * F= Т 2* I₀ ² * R/ С _C *F* Q₀ = R

Коэффициенты при производных от выходной величины называются постоянными времени и имеют размерность времени

В самом деле,

С [дж/град ]/ С _C [вт/см² *град ]* F [ см ]= С/ С _C * F [дж*см² *град/град*вт*см² ]

Коэффициент К при X_ВХ называется коэффициентом усиления, и естественно должен быть безразмерным:

2* I₀ ² [А² ]* R [Ом ]/ С _C [ вт/см² *град ]* F [ см ]* Q₀ [град ] =

= 2* I₀ ² * R/ С _C * F* Q₀ [А² *Ом*см² *град/Вт*см² *град ] =

= 2* I₀ ² * R/ С _C *F* Q₀ [ 0 ] = К

Уравнение (1) с учетом введённых обозначений будет иметь в безразмерной форме следующий вид:

Т* Х^/ вых + Х вых = К* Х вх (2)

Определим для примера уравнение кривой разгона термической печи, дифференциальное уравнение которой было введено ранее:

Т* Х^/ вых + Х вых = К* Х вх

Будем искать решение этого уравнения в виде

Х вых = С*е ^rt + K* Х вх ₀

Где r и С подлежат определению

Подставляя значения Х вых и Х^/ вых в уравнение (2). Получим

Т* С* r*е ^rt + С*е ^rt = 0

Сокращая на С*е ^rt будем иметь:

Т* r + 1 = 0

Откуда r = - 1/Т и решение примет вид

Х вых = К* Х вх ₀ (1-е^{- t/ T} )

При t = 0 Х вых = 0 следовательно С = К* Х вх ₀ . тогда уравнение кривой разгона будет:

Х вых = К* Х вх _{0 (} 1-е^{- t/ T} )

График кривой разгона:

При t = ¥ выходная величина Х вых достигает предельного значения

Х вых. уст = К* Х вх ₀

Коэффициент усиления К определяет отношение установившихся значений выходной величины к входной:

К = Х вых. уст/ Х вх ₀

Коэффициент усиления может быть непосредственно найден из графика переходной функции; постоянная времени Т характеризует инерционность процесса.

Таким образом, кривые разгона дают наглядное представление о характере протекания переходных процессов в системе или объекте.