Название: Двойной интеграл в полярных координатах
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 80.03 Kb
Скачать файл: referat.me-216848.zip
Краткое описание работы: усть в двойном интеграле при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая x = r cos , y = r sin . (2) бласть интегрирования S разобьем на элементарные ячейки
Двойной интеграл в полярных координатах
П
усть
в двойном интеграле
(1)
при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая
x = r cos , y = r sin . (2)
Область
интегрирования
S
разобьем на
элементарные
ячейки Si
с помощью
координатных
линий r
= ri
(окружности)
и
= i
(лучи) (рис.1).
Введем
обозначения:
rj = rj+1 - rj,
i = i+1 - i
Так
как окружность
перпендикулярна
(ортогональна)
радиусам, то
внутренние
ячейки Si
с точностью
до бесконечно
малых высшего
порядка
малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rji и rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:
Si = rj i rj (3)
Что касается ячеек Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки Mij Sij для простоты выберем вершину ячейки Sij с полярными координатами rj и i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:
xij = rj cos i, yij = rj sin i.
И следовательно,
f(xij,yij) = f(rj cos i, rj sin i) (3')
Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной
суммы, являющиеся
бесконечно
малыми высшего
порядка малости,
поэтому учитывая
формулы (3) и (3'),
п
олучаем:
(4)
где d - максимальный диаметр ячеек Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Or. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции
f(r cos, r sin)r,
с
оответствующая
прямоугольной
сетке с линейными
элементами
i
и ri.
Следовательно
(5)
С
равнивая
формулы (4) и (5),
получим окончательно
(6)
Выражение
dS = r d dr
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).
Д
ля
вычисления
двойного интеграла
(6) его нужно
заменить повторным.
Пусть область
интегрирования
S
определяется
неравенствами
Где r1(), r1() - однозначные непрерывные функции на отрезке [,]. (рис 2).
Имеем
(8)
Где
F(r,) = rf(r cos, r sin)
Пример 1.
П
ереходя
к полярным
координатам
и r, вычислить
двойной интеграл
Где
S -
первая четверть
круга радиуса
R=1,
с центром в
точке О(0,0) (рис
3).
Так как
то
применяя формулу
(6),
п
олучим
Область
S определена
Неравенствами
П
оэтому
на основании
формулы (8) имеем
Пример 2.
В
интеграле
(9)
перейти к полярным координатам.
Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).
В полярных координатах уравнения
этих прямых записываются
следующим образом: =0,
=/4, r cos=1 и,
следовательно, область S
определяется неравенствами
О
тсюда
на основании
формул
(6) и(8), учитывая, что
и
меем
Краснодарский Колледж Электронного Приборостроения
РЕФЕРАТ
Выполнил студент
группы 60-5ЭВТ
Немцев Михаил
Краснодар
1998г.
Похожие работы
-
Некоторые свойства многогранника. Задачи о P-медиане
В данной статье рассматривается известная NP-трудная задача оптимального размещения на графе - задача о p-медиане.
-
Симметрии многогранника системы независимости
В настоящей работе показано, что группа симметрий многогранника системы независимости выписывается с помощью подгруппы L и семейства некоторых специальных преобразований пространства RE.
-
Формулы по математическому анализу
Формулы дифференцирования Таблица основных интегралов Правила интегрирования Основные правила дифференцирования Пусть С—постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие
-
Криволинейный интеграл первого и второго рода
Криволинейный интеграл первого рода Криволинейный интеграл второго рода Задача приводящая к понятию криволинейного интеграла. Определение криволинейного интеграла по координатам.
-
Кратные интегралы
Министерство образования и науки Российской Федерации Курсовая работа По дисциплине: Высшая математика (Основы линейного программирования) На тему: КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
-
Дискретная теория поля
Определение понятия поверхностного интеграла первого и второго рода, их основные свойств, примеры вычисления и его перевода в обыкновенный двойной. Рассмотрение потока векторного поля через поверхность, как механического смысла поверхностного интеграла.
-
Тройные и кратные интегралы
Вычисление тройных и кратных интегралов в различных системах координат. Применение тройных интегралов.
-
Билеты по математическому анализу
Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Билет № Сформулируйте понятие полного дифференциала функции двух переменных и объясните его геометрический смысл.
-
Двойной интеграл в полярных координатах
Методика расчетов.
-
Геометрические и физические приложения двойных, тройных, криволинейных и поверхностных интеграло
СОДЕРЖАНИЕ 1.Геометрические приложения интегралов 1.1 Геометрические приложения двойных интегралов………….. 3 1.2 Геометрические приложения тройных интегралов………….. 5