Название: Двойной интеграл в полярных координатах
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 26.94 Kb
Скачать файл: referat.me-216707.docx
Краткое описание работы: Методика расчетов.
Двойной интеграл в полярных координатах
![]() |
Пусть в двойном интеграле
(1)
при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая
x = r cos j, y = r sin j. (2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки DSi с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j = ji (лучи) (рис.1).
Введем обозначения:
Drj = rj+1 - rj,
Dji = ji+1 - ji
![]() |
Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки DSi с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rjDji и Drj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:
DSi = rj Dji Drj (3)
Что касается ячеек DSij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки Mij$Sij для простоты выберем вершину ячейки DSij с полярными координатами rj и ji. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:
xij = rj cos ji, yij = rj sin ji.
Иследовательно,
f(xij,yij) = f(rj cos ji, rj sin ji) (3')
Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'),
получаем:
(4)
где d - максимальный диаметр ячеек DSij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины ji и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Ojr. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции
f(r cosj, r sinj)r,
![]() |
соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами Dji и Dri. Следовательно
(5)
Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
(6)
Выражение
dS = rdjdr
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).
![]() |
Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами
Где r1(j), r1(j) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a,b]. (рис 2).
Имеем
![]() |
(8)
Где
F(r,j) = rf(rcosj, rsinj)
Пример 1.
![]() |
Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл
Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).
Так как
то применяя формулу (6),
получим
Область S определена
Неравенствами
Поэтому на основании формулы (8) имеем
Пример 2.
![]() |
В интеграле
(9)
перейти к полярным координатам.
Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).
В полярных координатах уравнения
этих прямых записываются
следующим образом: j=0,
j=p/4, rcosj=1 и,
следовательно, область S
определяется неравенствами
Отсюда на основании формул
(6) и(8), учитывая, что
![]() |
![]() |
имеем
Похожие работы
-
Формулы по математическому анализу
Формулы дифференцирования Таблица основных интегралов Правила интегрирования Основные правила дифференцирования Пусть С—постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие
-
Кратные интегралы
Министерство образования и науки Российской Федерации Курсовая работа По дисциплине: Высшая математика (Основы линейного программирования) На тему: КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
-
Дискретная теория поля
Определение понятия поверхностного интеграла первого и второго рода, их основные свойств, примеры вычисления и его перевода в обыкновенный двойной. Рассмотрение потока векторного поля через поверхность, как механического смысла поверхностного интеграла.
-
Расчет двойного интеграла при помощи метода Симпсона
Текст программы на C, численным методом рассчитывающая двойной интеграл.
-
Полярные сияния
Полярные сияния чаще всего наблюдаются в двух неправильной формы зонах, окружающих северный и южный магнитные полюсы Земли и простирающихся на широтах 60-70°.
-
Двойной интеграл в полярных координатах
усть в двойном интеграле при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая x = r cos , y = r sin . (2) бласть интегрирования S разобьем на элементарные ячейки
-
Билеты по математическому анализу
Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Билет № Сформулируйте понятие полного дифференциала функции двух переменных и объясните его геометрический смысл.
-
Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников
БЕЛОРУССКИЙ АГРАРНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ КУРСОВАЯ РАБОТА на тему “вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников”
-
Геометрические и физические приложения двойных, тройных, криволинейных и поверхностных интеграло
СОДЕРЖАНИЕ 1.Геометрические приложения интегралов 1.1 Геометрические приложения двойных интегралов………….. 3 1.2 Геометрические приложения тройных интегралов………….. 5
-
Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах. Площа
Пошукова робота на тему: Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах. Площа поверхні. План Довжина дуги кривої в декартових і полярних координатах