Название: Интеграл Пуассона
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 59.78 Kb
Скачать файл: referat.me-216873.docx
Краткое описание работы: Пусть –суммируемые на - периодические, комплекснозначные функции. Через
Интеграл Пуассона
.
Пусть ¦(x ) , g (x ),x ÎR1 –суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f * g(x) будем обозначать свертку
f
*
g(x)
=
dt
Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p]и
cn ( f*g ) = cn ( f )× cn ( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )
где {cn ( f )} -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
cn
= -i n t
dt
, n = 0, ±1,±2,¼
Пусть ¦ÎL1 (-p,p) . Рассмотрим при 0£r <1 функцию
¦r
( x ) = n
( f ) r|
n
|
ei n x
, x Î[-p,p] , ( 2 )
где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0£r <1 . Коэффициенты Фурье функции ¦r (х)равны
cn
( fr
) = cn
× r|
n
|
, n = 0 , ±1,±2,¼, а это согласно (1) значит, что ¦r
( x ) можно представить в виде свертки :
¦r
( x ) = , ( 3 )
где
, t Î[-p,p]. ( 4 )
Функция двух переменных Рr (t) , 0 £r<1 , t Î[-p,p] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .
Следовательно,
Pr
( t ) = , 0£r <1, t Î[-p,p] . ( 5 )
Если ¦Î L1 ( -p,p ) -действительная функция , то , учитывая , что
c-n ( f ) = `cn ( f ) , n = 0,±1,±2,¼,из соотношения (2) мы получим :
fr
( x ) =
=, ( 6 )
где
F ( z ) = c0
( f ) + 2 ( z = reix
) ( 7 )
- аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦ÎL1 ( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция
u ( z ) = ¦r (eix ) , z = reix , 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой
v (z) = Im F (z) = . ( 8 )
Утверждение1.
Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге |z |<1+e(e>0)функция и ¦ (x) = u (eix ) , xÎ[-p, p] . Тогда
u (z) = ( z = reix
, | z |<1 ) ( 10 ).
Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:
=
, | z |<1+ e .
Но тогда
и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦r (x ) при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:
а) ;
б) ;
в) для любого d>0
Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦(х)º1.
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство
;
если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то
.
Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
( 12 )
Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим
.
Следовательно,
.
Для данного e>0 найдем d = d (e) такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку
.
Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства
.
Теорема 1 доказана.
Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
Определение1.
Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции
называется функция
где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.
Определение 2.
Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0
.
Теорема 2 (Фату).
Пусть - комплекснозначная функция из
. Тогда
для п.в.
.
Доказательство.
Покажем, что для и
, ( 13 )
где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) [*] . Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку
(К - абсолютная константа).
Пусть - такое число, что
.
Тогда для
.
Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций
,что
,
( 14 )
для п.в.
.
Согласно (13) при xÎ (-2p,2p)
Учитывая , что по теореме 1 для каждого xÎ [-p,p] и (14)
Из последней оценки получим
при n®¥.
Теорема 2 доказана.
Замечание.
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p,p] , когда точка reit
стремится к eix
по некасательному к окружности
пути.
[*]
Мы считаем , что f (x)
продолжена с сохранением периодичности на отрезок [-2p,2p] (т.е.
f (x) = f (y)
, если x,y
Î [-2p,2p] иx-y=2
p
) и f (x) = 0
, если |x
|>2p.
Похожие работы
-
Некоторые свойства многогранника. Задачи о P-медиане
В данной статье рассматривается известная NP-трудная задача оптимального размещения на графе - задача о p-медиане.
-
Геометрия 10 класс Бевз профиль
ШАНОВНІ СТАРШОКЛАСНИКИ! Ãåîìåòðіÿ – îäíà ç íàéäàâíіøèõ, íàéøëÿõåòíіøèõ, êîðèñíèõ і öіêàâèõ íàóê. Ó íіé – çãóñòîê çíà÷íîї ÷àñòèíè çàãàëüíîëþäñüêîї êóëüòóðè, íàäáàíîї ëþäñòâîì çà êіëüêà òèñÿ÷îëіòü. À ùå âîíà є íåçàìіííèì іíñòðóìåíòàðієì äëÿ íàóêîâöіâ і âèðîáíè÷íèêіâ, çàñîáîì äëÿ ðîçâèòêó ëîãі÷íîãî ìèñëåííÿ, ïðîñòîðîâîї óÿâè, ðàöіîíàëіçàòîðñüêèõ çäіáíîñòåé òà іíøèõ êîðèñíèõ ÿêîñòåé âîëі і õàðàêòåðó ìîëîäі.
-
Шпора по математическому анализу
13. Линейные неоднородные диф ур-я n- го порядка с правой частью квазимногочлена. 1)Квазимногочлены и их свойства 2)Правило нахождения частного решения в нерезонансном случае
-
Теория случайных функций
В курсовой работе рассмотрены варианты задач, по теории случайных функций.
-
Интеграл Пуассона
Определение интеграла Пуассона и ядра Пуассона, основные теоремы.
-
Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке
В настоящей статье в предложена формула в виде ряда для вычисления интеграла от гармонической функции по круговой луночке. Эта формула является обобщением теоремы о среднем.
-
О структуре вселенной
Структура Вселенной необычайно сложна и для ее описания не обойтись без математики. Но читателю нечего опасаться: мы воспользуемся лишь математикой из школьной программы (возведением в степень и извлечением корня).
-
Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения
Интеграл по комплексной переменной. Определение 1 : Кривая Г называется гладкой ,если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную. Определение 2
-
Двойной интеграл в полярных координатах
усть в двойном интеграле при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая x = r cos , y = r sin . (2) бласть интегрирования S разобьем на элементарные ячейки
-
Глобальная взаимосвязь фундаментальных физических констант
Новая фундаментальная проблема физики. Точность фундаментальных констант. Универсальные суперконстанты.