Простые числа Мерсенна. Совершенные числа

Простые Числа Мерсенна, совершенные числа.

Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна - числа вида 1)М_р = 2^р -1 , где р - простое число. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук, друга Декарта и Ферма. Так как М₂ =3, М₃ =7, М₅ =31, М₇ =127 , то это - простые числа Мерсенна. Однако, число 2)М₁₁ =2047=23 ^. 89 простым не является. До 1750 года было найдено всего 8 простых чисел Мерсенна: М₂ , М₃ , М₅ , М₇ , М₁₃ , М₁₇ , М₁₉ , М₃₁ . То, что М₃₁ - простое число, доказал в 1750 году Л. Эйлер. В 1876 году французский математик Эдуард Люка

установил, что число

3)М₁₂₇ =170141183460469231731687303715884105727

- простое. В 1883 г. Сельский священник Пермской губернии И.М.Первушин без всяких вычислительных приборов доказал, что число М₆₁ =2305843009213693951 является простым. Позднее было установлено, что числа М₈₉ и М₁₀₇ - простые. Использование ЭВМ позволило в 1952-1964 годах доказать, что числа М₅₂₁ , М₆₀₇ , М₁₂₇₉ , М₂₂₀₃ , М₂₂₈₁ , М₃₂₁₇ , М₄₂₅₃ , М₄₄₂₃ , М₂₆₈₉ , М₉₉₄₁ , М₁₁₂₁₃ - простые. К настоящему времени известно уже более 30 простых чисел Мерсенна, одно из которых М₂₁₆₀₉₁ имеет 65050 цифр. Большой интерес к простым числам Мерсенна вызван их тесной связью с совершенными числами.

Натуральное число Р называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей кроме Р .

Евклид доказал, что если р и 2^р -1 - простые числа, то число 4)Р_р =2^р-1 (2^р -1)=2^р-1 М_р является совершенным.

Действительно, делителями такого числа, включая само это число, являются 5)1,2, ... ,2^р-1 ,М_р ,2М_р , ... ,2^р-1 М_р .

Их сумма S_p =(1+2+ ... +2^р-1 )(М_р +1) =(2 ^р -1) ^. 2 ^р = 2 ^. 2^р-1 М_р . Вычитая из S само число Р_р , убеждаемся, что сумма всех делителей числа Р_р равна этому числу, следовательно Р_р - совершенное число.

Числа Р₂ =6 и Р₃ =28 были известны ещё пифагорейцам. Числа Р₅ =496 и Р₇ =8128 нашел Евклид. Используя другие простые числа Мерсенна и формулу 4, находим следующие совершенные числа:

6)Р₁₃ =33550336, Р₁₇ =8589869056, Р₁₉ =137438691328,Р₃₁ =2305843008139952128.

Для всех остальных чисел Мерсенна числа Р_р имеют очень много цифр.

До сих пор остаётся загадкой, как Мерсенн смог высказать правильное утверждение, что числа Р_17, Р_19, Р₃₁ являются совершенными. Позднее было обнаружено, что почти за сто лет до Мерсенна числа Р_17, Р₁₉ нашел итальянский математик Катальди - профессор университетов Флоренции и Болоньи. Считалось, что божественное провидение предсказало своим избранникам правильные значения этих совершенных чисел. Если учесть, что ещё пифагорейцы считали первое совершенное число 6 символом души, что второе совершенное число 28 соответствовало числу членов многих учёных обществ, что даже в двенадцатом веке церковь учила: для спасения души достаточно изучать совершенные числа и тому, кто найдёт новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство, то становится понятным исключительный интерес к этим числам.

Однако и с математической точки зрения чётные совершенные числа по-своему уникальны.Все они - треугольные. Сумма величин, обратных всем дилителям числа, включая само число, всегда равна двум. Остаток от деления совершенного числа, кроме 6, на 9 равен 1. В двоичной системе совершенное число Р_р начинается р единицами, потом следуют р-1 нулей. Например:

7)Р₂ = 110, Р₃ = 11100, Р₅ = 111110000, Р₇ =1111111000000 и т.д.

Последняя цифра чётного совершенного числа или 6, или 8, причём, если 8, то ей предшествует 2.

Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид 2^{р-1 .} М_р , где М_р -простое число Мерсенна. Однако до сих пор не найдено ни одного нечётного совершенного числа. Высказано предположение(Брайен Такхерман,США), что если такое число существует, то оно должно иметь не менее 36 знаков.