Название: Новое уравнение теплопроводности
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 14.84 Kb
Скачать файл: referat.me-217135.docx
Краткое описание работы: Известно, что обычное уравнение теплопроводности перестает адекватно описывать явление теплопередачи в достаточно малых системах. Причина проста: это уравнение базируется на диффузионном механизме распространения носителей температуры.
Новое уравнение теплопроводности
Игорь Иванов
Известно, что обычное уравнение теплопроводности перестает адекватно описывать явление теплопередачи в достаточно малых системах. Причина проста: это уравнение базируется на диффузионном механизме распространения носителей температуры, то есть, для его справедливости необходимо, чтобы каждый носитель на своем пути испытывал большое число столкновений с рассеивающими центрами. Если же размер системы сравнивается с длиной свободного пробега носителей между столкновениями, то это приближение перестает выполняться. В таком случае транспорт тепла имеет скорее "баллистический", чем диффузионный характер: носители летят по инерции, а не диффундируют. В работе [G.Chen, Phys.Rev.Lett.86, 2297 (2001)] было выведено и проанализировано диффузно-баллистическое уравнение теплопроводности, учитывающее оба типа движения носителей.
Под термином "уравнение теплопроводности" в математической физике скрывается целый класс похожих уравнений, описывающих эволюцию неоднородности той или иной физической величины во времени. Это может быть, например, распространение тепла или диффузия примесных атомов. На микроскопическом уровне, во всех этих случаях та или иная характеристика среды переносится некоторыми носителями: атомами, электронами, фононами и т.п. Проходя через среду, эти носители испытывают столкновения с центрами рассеяния (атомами вещества, примесями и т.д.), что в целом приводит к некоему эффективному сопротивлению со стороны среды.
При выводе соответствующего "уравнения теплопроводности" делается, однако, два существенных предположения.
Первое -- это многократные столкновения каждого носителя с рассеивающими центрами. При этом носитель "забывает" свою начальную скорость и направление движения до "влета" в среду, что и приводит к достаточно простым уравнениям.
Второе упрощение состоит в пренебрежении "запаздыванием" диффузионного транспорта. Действительно, если в начальный момент времени область повышенной температуры была локализована, то, как следует из классического уравнения теплопроводности, спустя ничтожное время температура начнет возрастать сразу во всем объеме. Таким образом, в уравнении теплопроводности считается, что носители движутся бесконечно быстро, что на самом деле не так.
Ясно, что оба этих приближения начнут приводить к неверным результатам при изучении теплопереноса в небольших системах, то есть, в системах, линейные размеры которых сопоставимы с длиной свободного пробега носителей. Поэтому в этих случаях необходимо модифицировать классическое уравнение теплопроводности -- или отказаться от него вовсе.
С одной стороны, казалось бы, в чем тут принципиальная трудность? Берешь аккуратное кинетическое уравнение Больцманна и считаешь на его основе транспорт в любой системе. Это, конечно, так, но только точное уравнение Больцманна достаточно сложно для повсеместного использования в численном счете. Поэтому давно возникло желание остаться в рамках уравнения теплопроводности, лишь слегка адаптировав его с учетом баллистических эффектов.
Первые такие попытки были предприняты С.Каттанео в 1958 году [C.Cattaneo, C.R.Acad.Sci.247, 431 (1958)], который вывел уравнение теплопроводности с учетом конечной скорости распространения тепла. Затем, в работе [G.D.Mahan and F.Claro, Phys.Rev.B 38, 1963 (1988)] была построена нелокальная модель теплопередачи, учитывающая баллистический эффект. Несмотря на разумность базовый идей, ни та, ни другая модель все же не давала хорошего численного согласия с точным решением уравнения Больцманна в случае небольших систем.
В работе [G.Chen, Phys.Rev.Lett.86, 2297 (2001)] работяющая модель, наконец, была построена. Стартуя с того же уравнения Больцманна в приближении времени релаксации, автор явным образом разбивает функцию распределения на две части -- чисто баллистическую и чисто диффузную -- и каждую исследует по отдельности. В результате автор приходит к дифференциальному уравнению на температуру, лишь немного более сложному, чем обычное уравнение теплопроводности.
Для выявления преимуществ нового уравнения, автор численно проанализировал случай теплопередачи в тонком слое вещества, на который падает однородный поток "горячих" фононов. Решались три уравнения теплопроводности -- обычное, уравнение Каттанео и новое диффузно-баллистическое уравнение. Их решения сравнивались с точным решением кинетического уравнения Больцманна. Было найдено, что новое уравнение несравненно лучше описывает транспорт тепла, нежели предыдущие модели.
Автор подчеркивает, что диффузно-баллистическое уравнение теплопроводности может уже сейчас использоваться в разнообразных научных и инженерных программах, имеющих дело с системами небольшого размера. Кроме того, та же самая методика должна оказаться полезной и в других родственных задачах, например, при изучении течения газов в микроструктурах и электронного транспорта в наноэлектронике.
Похожие работы
-
Локальная и нелокальная задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта
Доказана однозначная разрешимость локальной и нелокальной краевых задач для нагруженных уравнений 2 порядка оператора Геллестедта.
-
Расчёт распространения тепла вдоль многослойного цилиндра
ГОУ ВПО «Сургутский государственный университет Ханты-Мансийского автономного округа — Югры» Кафедра прикладной математики Курсовая работа по предмету «Численные методы» на тему
-
Двухсеточный метод решения уравнения Лапласа
Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Якутский государственный университет им. М.К.Аммосова»
-
Классификации гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных
Классификация гиперболических уравнений в общей классификации уравнений математической физики. Классификация уравнений: волновое, интегро-дифференциальные, уравнение теплопроводности. Методы решения в зависимости от видов гиперболических уравнений.
-
Передний край теоретической физики: теплопроводность одномерного кристалла
Теоретическая физика и проблема микроскопического описания тел. Теплопроводность одномерной цепочки: постановка проблемы. Правильный путь, возможно, найден.
-
Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области
Прусаков Д. В. «Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области» 1998- 99 уч. г Введение 3 1.Постановка задачи 3
-
Отображение геометрических структур
ABSTRACT Mapping geometrical arrangements of a fiber space of differential equations, bound mapping of Hopf-Colle is under construction. Устанавливается изоморфизм
-
Приближенное решение интегрального уравнения
Решение краевой задачи. Методы конечно-разностных, центрально-разностных отношений и метод прогонки. Приближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с помощью методов Галеркина, Ритца и коллокации, сравнение результов.
-
Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
Типовые методы решения уравнений.
-
Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана КУРСОВАЯ РАБОТА ПО СЕТОЧНЫМ МЕТОДАМ Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине