Referat.me
/ / Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Название: Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Вид работы: доклад

Рубрика: Математика

Размер файла: 18.79 Kb

Скачать файл: referat.me-214798.docx

Краткое описание работы: Типовые методы решения уравнений.

Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Валентин Подвысоцкий

Уравнение:

X4 + TX2 + PX + Q = 0 (1)

имеет четыре корня X1 , X2 , X3 , X4 .

Известно, что:

X1 + X2 + X3 + X4 = 0, (2)
X1 X2 + X1 X3 + X1 X4 + X2 X3 + X2 X4 + X3 X4 = T, (3)
X1 X2 X3 + X1 X2 X4 + X1 X3 X4 + X2 X3 X4 = –P, (4)
X1 X2 X3 X4 = Q. (5)

Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:

X1 X2 + X3 X4 = T + (X1 + X2 )2 , (6)
(X1 + X2 )(X1 X2 – X3 X4 ) = P. (7)

Составляем квадратное уравнение:

Y2 – (X1 X2 +X3 X4 )Y + X1 X2 X3 X4 = 0, (8)

где Y1 = X1 X2 , Y2 = X3 X4 .

Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая A = (X1 + X2 )2 перепишем уравнение (8) в виде:

Y2 – (T + A)Y + Q = 0.

Решая уравнение (8) получаем:

X1 X2 = 1 /2 (T + A2 + ([T + А]2 – 4Q)1/2 ), (9)
X3 X4 = 1 /2 (T + A2 – ([T + A]2 – 4Q)1/2 ). (10)

Таким образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:

X1 X2 – X3 X4 = ([T + A]2 – 4Q)1/2 . (11)

Учитывая, что A1/2 = X1 + X2 перепишем формулу (7) в виде:

X1 X2 – X3 X4 = Р/А1/2 . (12)

Подставляя в ф-лу (12) ф-лу (11) получаем

P/A1/2 = ([T + A]2 – 4Q)1/2 . (13)

Путем простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А:

A3 + 2TA2 + (T2 – 4Q)A – P2 = 0. (14)

Таким образом решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (13), где A=(X1 +X2 )2 и двух квадратных уравнений:

X2 – (X1 + X2 )X + X1 X2 = 0, (15)
X2 – (X3 + X4 )X + X3 X4 = 0. (16)

Используя ф-лы (9), (10) и учитывая, что X1 + X2 = – (X3 +X4 ) перепишем ф-лы (15), (16) в виде:

X2 – A1/2 X + 1 /2 (T+A + ([T + A]2 – 4Q)1/2 ) = 0, (17)
X2 + A1/2 X + 1 /2 (T+A – ([T + A]2 – 4Q)1/2 ) = 0. (18)

Полное уравнение четвертой степени X4 + KX3 + TX2 + PX + Q = 0 сводится уравнению (1) путем замены переменной X на переменную Y = X + K/4.

Похожие работы

  • Решение систем линейных алгебраических уравнений 2

    Нижегородский Технический Университет Институт Радиотехники и Информационных Технологий Кафедра «Прикладная Математика и Информатика» Отчёт по лабораторной работе №2

  • Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

    Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени Валентин Подвысоцкий Уравнение: X4 + TX2 + PX + Q = 0 имеет четыре корня X1, X2, X3, X4.

  • Гипотеза Биля

    Доказательство гипотезы Биля методами элементарной алгебры: сочетание методов решения параметрических уравнений и замены переменных (теорема Ферма). Ее формулировка в виде неопределенного уравнения, которое не имеет решения в целых положительных числах.

  • Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора

    Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.

  • Алгебра матриц. Системы линейных уравнений

    Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.

  • Краткое доказательство гипотезы Билля

    Гипотеза Билля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение: не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, при условии, что больше 2.

  • Функционально-графический подход к решению задач с параметрами

    Выполнение алгебраических преобразований, логическая культура и техника исследования. Основные типы задач с параметрами, нахождение количества решений в зависимости от значения параметра. Основные методы решения задач, методы построения графиков функций.

  • Решение произвольных систем линейных уравнений

    Рассмотрение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Сущность теорем и их доказательство. Особенность трапецеидальной матрицы. Решение однородных и неоднородных линейных алгебраических уравнений, их отличия и применение метода Гаусса.

  • Доказательство теоремы Ферма для n=4

    Формулирование и доказательство великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры с использованием метода замены переменных для показателя степени n=4. Необходимые условия решения уравнения. Отсутствие решения теоремы в целых положительных числах.

  • Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

    Кафедра: Автоматика и информационные технологии "ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ" Екатеринбург 2006 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ