Название: Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине
Вид работы: курсовая работа
Рубрика: Математика
Размер файла: 189.02 Kb
Скачать файл: referat.me-214671.docx
Краткое описание работы: Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана КУРСОВАЯ РАБОТА ПО СЕТОЧНЫМ МЕТОДАМ Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине
Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО СЕТОЧНЫМ МЕТОДАМ
Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине
Преподаватель: Станкевич И.В.
Группа: ФН2-101
Студент: Смирнов А.В.
Москва 2002
Содержание
Постановка задачи....................................................................................................................................................................... 3
Решение............................................................................................................................................................................................ 4
Триангуляция............................................................................................................................................................................ 5
Метод конечных элементов.................................................................................................................................................. 6
Список литературы:................................................................................................................................................................... 12
Постановка задачи
Рассчитать установившееся температурное поле в плоской пластине, имеющей форму криволинейного треугольника с тремя отверстиями (см. рисунок).
К внешним границам пластины подводится тепловой поток плотностью . На внутренних границах конструкции происходит теплообмен со средой, характеризующийся коэффициентом теплообмена
и температурой среды
. Коэффициент теплопроводности материала пластины
Рис. 1
Решение
Введем декартову систему координат , выбрав начало координат и направим оси x
и y
так, как показано на рис.2.
Рис. 2
Задача теплопроводности в пластине запишется в виде
(1)
(2)
(3)
где - направляющие косинусы вектора внешней нормали к граничной поверхности,
- граничная поверхность, на которой происходит теплообмен с коэффициентом теплообмена
,
- граничная поверхность, на которой задан тепловой поток плотности
.
Решение уравнения (1) с граничными условиями (2) и (3) можно заменить задачей поиска минимума функционала
. (4)
Решать поставленную задачу будем с помощью метода конечных элементов. Для этого сначала проведем триангуляцию нашей области.
Триангуляция.
Результат триангуляции представлен на рис.3.
Рис. 3
Все выбранные узлы заносятся в список, который содержит информацию о координатах узлов. Номер узла определяется его номером в списке. Кроме списка вершин будем вести еще список треугольников. В глобальном списке треугольников будет храниться информация о каждом построенном треугольнике: номера (Top1, Top2, Top3 ) трех узлов, составляющих данный элемент и номер границы. Номер треугольника определяется его номером в списке. Договоримся, что у каждого треугольника границе может принадлежать только одна сторона и если такая сторона есть, то вершины, которые она соединяет, будут стоять на первых двух позициях (Top1 и Top2 ). Обход треугольника совершается против часовой стрелки.
Метод конечных элементов
Выберем произвольный треугольник (с номером e
). Обозначим его вершины и
. Каждому узлу треугольника поставим в соответствие функцию формы
, (5)
где , A
– площадь треугольника. Тогда температуру в пределах треугольника можно определить с помощью функций форм и значений температуры
в узловых точках
. (6)
Функционал (4) можно представить в виде суммы функционалов , каждый из которых отражает вклад в функционал (4) элемента с номером e
. (7)
Минимум функционала (4) находим из условия
(8)
Функционал можно представить в виде
(9)
Здесь , глобальный вектор температур
,
- матрица градиентов, которая для функций формы (5) примет вид
,
. Локальный вектор температур
. Здесь матрица геометрических связей
имеет размерность
. Элементы этой матрицы определяются следующим образом:
; все остальные элементы равны нулю.
Продифференцируем функционал (9):
Из выражения (8) с учетом последнего соотношения получаем , где матрица теплопроводности элемента
; вектор нагрузки элемента
.
В силу особенностей проведенной триангуляции можно выделить три группы конечных элементов. В первую входят треугольники, у которых сторона i – j принадлежит одной из внешних границ. Во вторую – те, у которых та же сторона принадлежит одной из внутренних границ. И, наконец, третью группу составляют элементы, стороны которых лежат внутри рассматриваемой области.
В зависимости от того, к какой группе принадлежит конечный элемент с номером e
, матрица и вектор
будут определяться несколько различным образом.
Обозначим
.
Поверхностные интегралы можно посчитать с помощью относительных координат . Отрезки, соединяющие любую фиксированную точку P
треугольника e
c его вершинами, разбивают этот элемент на три треугольные части площадью
. Координаты
определяются из соотношений
.
Используя относительные координаты, можно получить следующие соотношения:
Если конечный элемент с номером e
принадлежит к первой группе, то . Если ко второй, то
. Наконец, если элемент принадлежит к третьей группе, то
.
Вектор температур, удовлетворяющий условию (8) минимума функционала (4), находим решением системы линейных алгебраических уравнений
, (10)
где глобальная матрица теплопроводности K и глобальный вектор нагрузки F определяются по формулам
,
. (11)
Для решения задачи (10) применялся следующий алгоритм:
· Вычисление разложения матрицы
(
).
· Оценка числа обусловленности. Если число обусловленности больше (
определяется точностью вычислительной машины), то выдается предупреждение, так как малые отклонения в коэффициентах матрицы
могут привести к большим отклонениям в решении.
· .
.
Реализация описанного выше метода проводилась на языке программирования С++ и FORTRAN в среде интегрированной среде разработки Microsoft Visual C++ 6.0. Конечные результаты данной работы приведены на рис.4 - 7.
|
Рис. 4 |
|
Рис.5 |
|
Рис.6 |
|
Рис.7 |
Список литературы:
1. Амосов А.А, Дубинский Ю.А, Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1994. – 544 с.
2. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979. – 392 с.
3. Станкевич И. В. Сеточные методы (лекции и семинары 2002 года).
Похожие работы
-
Сегнетоэлектрики
Сегнетоэлектрики представляют собой специфический класс сред, характеризующийся высоким значением диэлектрической проницаемости (на основной кривой поляризации).
-
Уравнение Лапласа и гармонические функции
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА И ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Основные понятия Мы начнем с самого простого и важного из эллиптических уравнений, а именно с уравнения Лапласа.
-
Двухсеточный метод решения уравнения Лапласа
Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Якутский государственный университет им. М.К.Аммосова»
-
Колебательно движение материальной точки
Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный горный институт имени В.Г. Плеханова (технический университет)
-
Решение задачи линейного программирования симплексным методом
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования «Волгоградский государственный технический университет»
-
Расчет приводной станции конвейера
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный университет дизайна и технологии
-
Математическая модель всплытия подводной лодки
Московский Государственный Технический Университет имени Н.Э. Баумана. Курсовая работа По предмету “Дифференциальные уравнения.” Тема: Математическая модель всплытия подводной лодки
-
Построение линии пересечения 2-х конусов и цилиндра
Министерство общего и профессионального образования РФ Брянский Государственный Технический Университет кафедра «Высшая математика» Расчетно-графическая работа №1
-
Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников
БЕЛОРУССКИЙ АГРАРНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ КУРСОВАЯ РАБОТА на тему “вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников”
-
Расчет стационарного токораспределения в условиях смешанной кинетики
Рассматривается математическая модель стационарного электрического поля в электрохимической системе с учетом омического падения потенциала в электролите и концентрационных ограничений в приэлектродных диффузионных слоях.