Название: Редуцированные полукольца

Вид работы: дипломная работа

Рубрика: Математика

Размер файла: 65.63 Kb

Скачать файл: referat.me-217628.docx

Краткое описание работы: Основные понятия, леммы и предложения. Доказательство основной теоремы. Полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания. Основные трудности при работе с полукольцами.

Редуцированные полукольца

Министерство Образования Российской Федерации

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

«Редуцированные полукольца»

Работу выполнил студент

математического факультета

Подпись____________

Научный руководитель:

К.физ.-мат. наук

.

Подпись____________

Рецензент:

Д. физ.-мат. наук,профессор

.

Подпись____________

Допущен к защите в ГАК

Зав. кафедрой ___________________.

«___»________________

Декан факультета _______________.

«___»________________

Киров , 2003 .

План.

1. Введение.

2. Основные понятия, леммы и предложения.

3. Доказательство основной теоремы.

1.Введение

Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и × называется полукольцом , если выполняются следующие аксиомы:

1. (S , +) - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

2. (S , ×) - полугруппа с нейтральным элементом 1;

3. умножение дистрибутивно относительно сложения:

a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc

длялюбыхa, b, c Î S;

4. 0a = 0 = a0 длялюбогоa Î S.

Итак, по принятому нами определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания и именно это вызывает основные трудности при работе с полукольцами.

В настоящей работе рассмотрен такой класс полуколец, как редуцированные полукольца.

Определение 2. Полукольцо S называется редуцированным , если для любых a , b Î S выполняется a = b , как только a + b = ab + ba .

Целью данной работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

1. S слабо риккартово;

2. " a, b Î S (D(a) Ç D(b)= Æ Þ = Æ );

3. все идеалы O p , P Î S pec S , первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

4. все идеалы O M , M Î Max S , первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P Í M Þ O p = O M для " P Î S pec S и M Î Max S ;

5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

6. " a, b Î S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);

Эта теорема обобщает факты, доказанные в классе колец ([1]).

2.Основные понятия, леммы и предложения

Для доказательства нашей теоремы нам потребуется определить некоторые понятия и вывести несколько фактов.

Определение 3. Полукольцо S называется симметрическим , если для любых элементов a , b , b ¢ ,c Î S выполняется

abc = ab ¢c Û acb = acb ¢.

Определение 4. Элемент a Î S называется нильпотентным , если в последовательности a , a , a ,…, a , … встретится нуль.

Предложение 1. Редуцированное полукольцо S является симметрическим полукольцом без нильпотентов .

Доказательство: Пусть ab = ab ¢. Тогда

baba = bab ¢a иb ¢aba = b ¢ab ¢a ,

откуда

baba + b ¢ ab ¢ a = bab ¢ a + b ¢ aba

или иначе

(ba )+ (b ¢a )= bab ¢a + b ¢aba .

В силу редуцированности ba = b¢a , т.е.

ab = ab ¢Þba = b ¢a . (1)

Аналогично доказывается ba = b ¢a Þab = ab ¢.

Пусть ab = ab ¢. Тогда с помощью (1) ba = b ¢a , откуда bac = b ¢ac и acb = acb ¢. Значит, имеем:

ab = ab ¢Þ acb = acb ¢, ba = b ¢a Þbca = b ¢ca. (2)

Пусть сейчас abc = abc ¢. Тогда

abc = ab ¢c Þacbc = acb ¢c Þacbac =acb ¢ac Þacbacb =acb ¢acb и

acbacb ¢= acb ¢acb ¢Þ ( acb ) + ( acb ¢) = acb ¢acb + acbacb ¢Þacb = acb ¢.

Таким же образом доказывается другая импликация.

Пустьa + b = ab + ba влечётa = b . Приb = 0 получаемa = 0 Þa = 0. Если с = 0 для некоторого натурального n > 2, то c = 0 для k ÎN с условием n£ 2. Получаем, что c = 0, и так далее. На некотором шаге получим c = 0, откуда с = 0. Предложение доказано.

Пример. Рассмотрим полукольцо S = {0, a , b , 1}, операции в котором заданы следующим образом:

+	a b 1
a b 1	a b 1 b b b 1 b 1

·	a b 1
a b 1	a a a b b b a b 1

Пример этого полукольца показывает, что, во-первых, в определении симметричности полукольца импликации нужны в обе стороны, поскольку aa = ab , но aa ¹ ba . Во-вторых, S – полукольцо без нильпотентов, более того, без делителей нуля; однако симметрическим, в частности, редуцированным, оно не является. В этом проявляется отличие от колец, поскольку известно, что отсутствие нильпотентов в кольце влечёт кольцевую симметричность.

Определение 5. Собственный двусторонний идеал P полукольца S называется первичным , если AB ÍP влечёт A ÍP или B ÍP для любых идеалов A и B . Первичный идеал коммутативного полукольца называется простым.

Определение 6. Правый идеал P полукольца S называется псевдопростым , если ab = 0 влечёт a ÎP или b ÎP для "a , b ÎS .

Предложение 2. Идеал P полукольца S первичен тогда и только тогда, когда для любых элементов a , b Î S P найдётся элемент s Î S такой, что asb Ï P . Если S - коммутативное полукольцо, то идеал P прост тогда и только тогда, когда a , b Ï P влечёт ab Ï P .

Доказательство: Пусть P первичен и элементы a , b ÏP . Тогда главные идеалы (a ) и (b ) не лежат в P , как и их произведение. Значит, некоторый элемент t ÎaSb не принадлежит P , поскольку t = для некоторых u , v , w Î S , то хотя бы для одного i Î {1,…,k } a v b ÏP , ибо в противном случае каждое слагаемое uav b w лежит в P , и следовательно, t ÎP .

Обратно. Пусть произведение идеалов A и B лежит в P , но A P . Тогда найдётся a ÎA P . Предположим, что B P . Получим, что некоторый элемент b ÎB P и по условию asb ÏP для подходящего s ÎS . Но тогда и AB P , и следовательно, P - первичный идеал.

Утверждение для коммутативного случая очевидно.

Определение 7. Подмножество T полукольца называется m - системой , если 0 ÏT , 1 ÎT и для любых a , b ÎT найдётся такой s ÎS , что asb ÎT .

Пример. Рассмотрим множество T = {a , a , a , … , a }, где n Î N и a ¹ 0. Оно является подмножеством полукольца R неотрицательных действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения. 0 ÏT , 1ÎT и для "a ,a ÎT $с = 1ÎS : a с a = a ÎT . Таким образом, T является m - системой.

Легко увидеть, что если P – первичный идеал, то S P является m -системой. И хотя дополнение до m - системы не обязано быть первичным идеалом, следующее утверждение показывает, что между ними существует глубокая связь.

Предложение 3. Пусть T - m - система, а J - произвольный идеал полукольца S , не пересекающийся с T . Тогда любой максимальный идеал среди содержащих J и не пересекающихся с T первичен.

Доказательство: Пусть P ÊJ , P ÇT = Æ и P - максимальный в семействе идеалов, удовлетворяющих этим условиям. Допустим, что aSb ÍP для некоторых a , b ÏP . Идеалы P + SaS и P + SbS строго содержат идеал P , и значит, пересекаются с T . Пусть m Î (P +SaS ) ÇT , r Î (P +SbS ) ÇT и msr ÎT для некоторого s ÎS . Но, с другой стороны,

msr Î (P +SaS ) × (P +SbS ) ÍP +SaSbS ÍP .

Получили противоречие, что P пересекается с T . Значит, предположение, что aSb ÎP неверно, и P - первичный идеал. Предложение доказано.

Определение 8. Собственный идеал M полукольца S называется максимальным идеалом, если M ÍA влечёт M = A или A = S для каждого идеала A .

Предложение 4. Максимальный идеал полукольца первичен.

Доказательство: Рассмотрим нулевой идеалJ и не пересекающуюся с ним m -систему T = {1}. Любой максимальный идеал M полукольца содержит J и не пересекается с T , значит, по предложению 3 он будет первичным.

Определение 9. Для любого a ÎS множество

Ann aS = {t ÎS : ("s ÎS ) ast =0} называется аннулятором элемента a .

Ann aS является двусторонним идеалом полукольца S .

Ann a ={s ÎS : as = 0} -правыйидеалиAnn aS ÍAnn a .

Определение 10. Для любого идеала P множество O p = {s ÎS : ($t ÏP ) sSt = 0} = {s ÎS : AnnsS P } называется O - компонентой идеала P .

Лемма 1. O p является идеалом для любого первичного идеала P .

Доказательство: Пусть a , b ÎO p . Тогда aSt = 0 и bSu = 0 для некоторых t , u ÏP . В силу первичности P tsu ÏP для подходящего s ÎS . Для любого v ÎS

(a + b )vtsu = (avt )su + b (vts )u = 0.

Далее, (as )vt = a (sv )t = 0, (sa )vt = s (avt ) = s 0 = 0, поэтомуa + b , sa, as ÎO p , иO p -идеал.

Лемма 2. Пусть P Í M - первичные идеалы полукольца.

Тогда O M Í O p Í P.

Доказательство: Пусть a ÎO M , тогда aSt = 0 для некоторого t ÏM . Поскольку t ÏP , то a ÎO p , и значит, O M ÍO p . Для любого s ÎS 0 = ast ÎP . Поскольку P первичен, то a ÎP или t ÎP , отсюда a ÎP , и следовательно, O p ÍP .

Лемма 3. Для произвольных первичных идеалов P и P ¢ симметрического полукольца S верна импликация:

P Ç P ¢ не содержит первичных идеалов Þ O p P ¢ .

Доказательство: Предположим, что O p ÍP ¢. Полагая A = S P и B = S P ¢, рассмотрим множество AB всевозможных конечных произведений элементов из A ÈB . Покажем, что AB ÇO p = Æ. В самом деле, если s ÎAB ÇO p , то sb = 0 для некоторогоb ÎA , т.е. {0} ÎAB . Поскольку s является произведением элементов из A ÈB , то в силу первичности идеалов P и P ¢ и свойства симметрических полуколец uv = 0 для подходящих u ÎB , v ÎA . Откуда u ÎO p P ¢- противоречие.

Таким образом, AB является m -системой, и значит, существует первичный идеал Q , не пересекающийся с AB и содержащий O p . А так как A ÈB ÍAB , то P ÇP ¢ÊQ . Получили противоречие с условием, значит наше предположение неверно, и Op P ¢.

Следствие 1. Для произвольных первичных идеалов P и P ¢ в симметрическом полукольце, если O p Í P ¢ , то пересечение P и P ¢ содержит хотя бы один первичный идеал.

Определим множество (a , b ) = {s ÎS : "x ÎS (axs = bxs )} - идеал полукольца S для "a , b ÎS .Очевидно, (a , 0) = Ann aS .

Для произвольного идеала A обозначим - пересечение первичных идеалов полукольца S , содержащие идеал A .

Определение 11. Полукольцо S называется строго полупервичным , если для любых элементов a , b ÎS выполняется

= (a , b ).

Определение 12. Пересечение rad S всевозможных первичных идеалов в S называется первичным радикалом полукольца S .

Определение 13. Полукольцо называется полупервичным , если его первичный радикал равен нулю.

Предложение 5. Полукольцо S полупервично тогда и только тогда, когда = Ann aS для всех a Î S .

Доказательство: При a = 1 rad S = = Ann S = 0, т.е. S - полупервично.

Пусть S - полупервичное полукольцо и b Î. Для каждого первичного идеала P , либо P содержит Ann aS , либо Ann aS не содержится в P . В первом случае b ÎP , во втором случае a ÎO p ÍP . Тогда aSb rad S = 0, откуда b ÎAnn aS . Следовательно, ÍAnn aS . Другое включение справедливо всегда.

Следствие 2. Строго полупервичное полукольцо является полупервичным.

Предложение 6. Всякое редуцированное полукольцо S строго полупервично.

Доказательство: Пусть c Ï(a , b ) для a , b ÎS . Тогда ac ¹bc и из редуцированности S вытекает, что acac + bcb c¹acbc + bcac . Элементы cac и cbc отличны друг от друга, и значит, ac ¹bc в силу симметричности редуцированного полукольца. Аналогично ac ¹bc , и следовательно, ac ¹bc . По индукции ac ¹bc . Значит, T = {1, c , c ,…} -m -система, не пересекающаяся с (a , b ), и поэтому найдётся первичный идеал P , содержащий (a , b ), при этом c ÎS P . Значит, c Ï, откуда Í (a , b ). Другое включение справедливо всегда.

Получили = (a , b )Þ по определению 12 S - строго полупервично, что и требовалось доказать.

Обозначим через S pec S множество всех первичных идеалов полукольца S . Для любого идеала A полукольца S положим

D (A ) = {P ÎS pec S : A P }.

МножествоD ({0}) = {P ÎS pec S : {0}P } = Æ, аS pec S = D (S ).

D (A ) ÇD (B ) = { P ÎS pec S : A P ÙB P } = { P ÎS pec S : AB P } = D (AB ).

S pec S является топологическим пространством с семейством открытых множеств видаD (A ).

Лемма 4. Для любого идеала A полупервичного полукольца S

= {P Î S pec S: Ann A Í P}.

Доказательство: Обозначим через Y правую часть доказываемого равенства. Если P ÎD (A ), т.е. A P , то Ann A ÍP , т.е. P ÎY . Откуда ÍY , ибо Y замкнуто.

Обратно, пусть P Ï. Тогда P лежит в некоторой окрестности D (B ), где B - некоторый идеал в S , не пересекающийся с.

D (A ) ÇD (B ) = Æ, тогдаAB Írad S = 0, т.е. B ÍAnn A .

Тогда P не содержит Ann A , иначе P содержал бы B . Следовательно, P ÏY . Получили Y Í.

Лемма 5. Пусть P - первичный идеал редуцированного полукольца S . Тогда P = O p Û P - минимальный первичный идеал.

Доказательство: Пусть P = O p , P ¢ÎS pec S и P ¢ÍP . Тогда O p ÍO P¢ÍP ¢. Поэтому P ¢= P , и P минимален.

Обратно, пусть дан минимальный первичный идеал P редуцированного полукольца S . Предположим, что существует a ÎP O p . Степени элемента a образуют m -систему (0 Ï{a }, 1Î{a } и для "a ,a Î{ a } $с = 1ÎS : a с a = a Î{ a }),не пересекающуюся с O p . Действительно, если a ÎO p , n ÎN , то a b = 0 для некоторого b ÎS P . Но тогда (ab )= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое без нильпотентов, и значит ab = 0, то естьa ÎO p ;противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P ¢O p , не содержащий a, который будет первичным. Из следствия 1 вытекает, что в S существует первичный идеал, лежащий в P ÇP ¢,что противоречит минимальности P . Значит, P ÍO p . Также O p ÍP (Лемма 2). Тогда P = O p .

Лемма 6. Любой первичный правый идеал симметрического полукольца псевдопрост.

Доказательство: В самом деле, если a , b ÎS P , то asb ÏP для подходящего s ÎS , откуда asb ¹ 0 и ab ¹ 0.

Определение 14. S – слабо риккартово Û"a ÎS "b ÎAnn aS

Ann aS + Ann b = S

Пример. Обозначим через N – полукольцо всех неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения и умножения. Возьмём a = 0 Î N . Тогда Ann aS = N . В результате получим, что Ann aS + Ann b = N . Теперь возьмём a Î N {0}. Тогда Ann aS = {0}, а Ann b = N . В результате получим, что Ann aS + Ann b = {0} + N = N . Таким образом, N – слабо риккартово полукольцо. Аналогично, любое полукольцо без делителей нуля будет являться слабо риккартовым.

3. Доказательство основной теоремы.

Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

1. S слабо риккартово;

2. " a, b Î S (D(a) Ç D(b)= Æ Þ = Æ );

3. все идеалы O p , P Î S pec S , первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

4. все идеалы O M , M Î Max S , первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P Í M Þ O p = O M для " P Î S pec S и M Î Max S ;

5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

6. " a, b Î S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);

Доказательство: Пусть S - редуцированное полукольцо. Такое S - симметрическое (по предложению 1), поэтому S обладает всеми свойствами симметрических полуколец. Доказательство проведём по схеме 1)Þ3)Þ4)Þ5)Þ6)Þ1) и 2)Û6).

1) Þ 3). Исходя из 1), покажем, что каждый идеал O p вполне первичен. ПустьP ÎS pec S иab ÎO p приa, b ÎS.

Тогда$с ÎS P : abSc = 0,т.е. absc = 0 для" s ÎS .

Возьмём s = 1 Þabc = 0 Þbc ÎAnn aS (по определению Ann aS ). НоAnn aS ÍAnn a . Тогдаbc ÎAnn a . Поусловию 1) S -слабориккартово, т.е. Ann aS + Ann bc = S дляa ÎS , bc ÎAnn aS .

$e ÎAnn aS , f ÎAnn bc : e + f = 1 (1ÎS).

Предположим, что a ÏO p ÞAnn aS ÍP (по определению Ann aS ) Þe ÎP .

Тогда f ÏP , т.к. в противном случае 1ÎP . Но P - первичный идеал ÞP - собственный Þ 1ÏP .

f ÎAnn bc Þbcf = 0. Т.к. S - симметрическое ÞbScf = 0. Но cf ÏP (т.к. c ÏP , f ÏP , а P - первичный идеал) Þb ÎO p .

Таким образом, получили, что все идеалы O p , P ÎS pec S , вполне первичны.

3) Þ 4). По условию 3 все идеалыO p , где P ÎS pec S , первичны. Но M ÎMax S – является первичным идеалом (предложение 4), т.е. M ÎS pec S . Но тогда по условию 3) данной теоремы следует, что все идеалы O M , где M ÎS pec S и M ÎMax S , первичны.

Пусть P ÍM . Тогда O M ÍO p (лемма 2).

Если a ÎO p , т.е. ab = 0 при некотором b ÎS P и s = 1ÎS , то a ÎO M , ибо b ÏO M ÍP , а ab = 0 ÎO M и O M псевдопрост (доказано выше). Значит и O p ÍO M . Тогда O p = O M .

4) Þ 5). Пусть P – первичный идеал из S иP ÍM . По условию 4) данной теоремы O M – первичный идеал и так как P ÍM ÞO p = O M . Также O p ÍP (Лемма 2). Докажем, что O M – минимальный первичный идеал в S , лежащий в P . Пусть в P лежит Q - минимальный первичный идеал полукольца S . Но Q ÍM ÞO M ÍO Q ÍQ . По условию 4) данной теоремы O M = O Q . . Так как Q – минимальный первичный идеал ÞO Q = Q (Лемма 5). По свойству транзитивности равенства получаем, что O p = OM=Q .

Докажем теперь единственность такого первичного идеала. Пусть P ¢- произвольный минимальный первичный идеал в S , отличный от Q и лежащий в M . Тогда O P¢= O M (по условию 4)). Также O P¢ = P ¢ .

Тогда получили равенство Q = O Q = O M = O P¢= P ¢ . Единственность доказана.

Так как все первичные идеалы полукольца S содержатся в M ÎMax S , то мы получили, что каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал.

5) Þ 6). Пусть ab = 0, но Ann a + Ann b ¹S для некоторых a , b ÎS .

Тогда Ann a + Ann b ÍM для подходящего M ÎMax S .

Рассмотрим единственный минимальный первичный идеал P , содержащийся в M . ТогдаO M ÍP (Лемма 2). Предположим, что $a ÎP O M . Степени элемента a образуют m -систему (0 Ï{a }, 1Î{a } и для "a ,a Î{a } $с = 1ÎS : a с a = a Î{ a }),не пересекающуюся с O M . Действительно, еслиa ÎO M , n ÎN , то ab = 0 для некоторого b ÎS M . Но тогда (ab )= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое и значит ab = 0, то есть a ÎO M ; противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P ¢O M , не содержащий a , который будет первичным.

Пустьq, w ÎS P иq, w ÎS P ¢. Тогда $s ÎS : qsw ÏP Þqsw ÏP ÇP ¢ÞP ÇP ¢-первичный идеал, что противоречит минимальности P . ЗначитP ÍOM и P = OM . Первичный идеалO M псевдопрост, поэтому a ÎO M или b ÎO M . Откуда по определению нуль-компонент Ann a M ÚAnn b M ÞAnn a + Ann b M Þ противоречие ÞAnn a + Ann b = S .

6) Þ 1). Возьмём"a, b ÎS : ab = 0 Þb ÎAnn aS .

Из условия 6) данной теоремы вытекает равенство:

Ann a + Ann b = S . Так как в симметрическом полукольце Ann aS = Ann a , то Ann aS + Ann b = S . Таким образом, полукольцо S -слабо риккартово, что и требовалось доказать.

2) Û 6). Пустьa, b ÎS иab = 0. D (a ) ÇD (b ) = {P ÎS pec S : a ÏP Ùb ÏP } = { P ÎS pec S : ab ÏP } (всилупервичности) = D (ab ) = D (0) = Æ.

Обратно, D (a ) ÇD (b ) ={P ÎS pec S : a ÏP Ùb ÏP } ={P ÎS pec S : ab ÏP }=D (ab ) =ÆÞab = 0, таккакD (x ) = ÆÛx = 0.

Таким образом, ab = 0 ÛD (a ) ÇD (b ) = Æ.

Так как S – симметрическое полукольцо на основании предложения 1, то к нему можно применить предложение 6, то есть S строго полупервично. По следствию 2 S является и полупервичным. Теперь мы можем применить лемму 4. На основании этой леммы

= {S ÎS pec S : Ann a ÍP ÙAnn b ÍP } = Æ.

ТогдаAnn a + Ann b M для"M ÎMax S ÍS pec S ÞAnn a + Ann b = S .

Вдругуюсторону, пустьAnn a + Ann b = S ÞAnn a M ÚAnn b M дляподходящегоM ÎMax S ÍS pec S.

Тогда = {S ÎS pec S : Ann a ÍP ÙAnn b ÍP } = Æ. Таким образом, условия 2) и 6) равносильны.

Теорема доказана полностью.

C войство:

Если редуцированное полукольцо S слабо риккартово, то для любого правого идеала A и элементов a , b полукольца S выполняется импликация:

ab = 0 и a + b Î A Þ a Î A.

Доказательство: Пусть даны в S правый идеал A и такие элементы a и b , что ab = 0 и a + bÎA . Так как условие 6) доказанной теоремы равносильно тому, что S слабо риккартово, то мы можем доказать это свойство, исходя из него. Тогда Ann a + Ann b = S , то есть c + k = 1 при некоторых c ÎAnn a и k ÎAnn b .

c ÎAnn a Þac = 0 (по определению аннулятора).

k ÎAnn b Þbk = 0.

a = a ×1 + 0 = a ×(c + k ) + bk = ac + ak + bk = ac + (a + b )×k = (a + b )×k ÎA .

Получили a ÎA , что и нужно было доказать.

Литература.

1. Е.М. Вечтомов. «Функциональные представления колец». – М.: МПГУ им. Ленина, 1993. – 190 с.

2. В.В.Чермных. «Полукольца». Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. - 131 с.